1、考研数学（数学一）模拟试卷 396 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 F(x)在0，2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导2 设 f(x)=xex+1+ ，则 f(x)在( ，+)内（A）没有零点（B）只有一个零点（C）恰有两个零点（D）恰有三个零点3 设 f(x)在 ，有定义，且 f(0)=f(0)=0， =a0，又 收敛，则 p的取值范围是（A） ，+)（B） ( ，+)（C） (1，+)（D）1 ，+)4 设 F(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F(x 0，y 0)=0，则 (x
2、0，y 0)0 是F(x，y)=0 在点(x 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 y=y(x)，它满足 y0=y(x0)，并有连续的导数的条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充分且必要（D）既不充分又不必要5 设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解6 已知 4 维列向量 1， 2， 3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零
3、且与 1， 2， 3均正交，则秩 r(1， 2， 3， 4)=（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示其中 a0，b0，则一定有（A）X 与 Y 不相关（B） X2 与 Y2 不相关（C） X+Y 与 XY 不相关（D）X 2+Y2 与 X2Y 2 不相关8 设 X1，X 2，X n+1 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，记 ，S2= 已知 ，则 k，m 的值分别为二、填空题9 数列极限 I= =_10 设曲线的参数方程为 则对应于 t 的曲线段的弧长 s=_11 函数 F(x)= 的值域区间是_12 累次积分 I= (x2+y2
4、)dy=_13 已知 ，则 Ax=0 解空间的规范正交基是 _14 设试验的成功率 p=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 a=_(1)=08413，(3)=09987)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在( ，+)有连续的导数，且 f(0)=0，f(0)=1，() 求常数 A 使得 F(x)在(，+)连续 () 确定 A 后，求 F(x)并证明 F(x)在( ，+)连续16 计算二重积分 I= ，其中 D 为 x2+y2=1，x 2+y2=2x 所围中间一块区域17 证明下列命题： () 设 f(
5、x，y)定义在全平面上，且 =0， =0，则 f(x，y)恒为常数； () 设(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足 ，u2+v2=C(常数 )， 则 u(x，y)，v(x，y)恒为常数18 求函数 f(x)= 的麦克劳林展开式19 设 f(x)在0，1连续，在 (O，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1 ，求证：使得 20 已知向量 =(a1，a 2，a 3，a 4)T 可以由 1=(1，0，01) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，1，3) T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出 ()求 a1，a 2，a 3，a 4 应满足的条件； () 求向量组 1， 2，
6、 3， 4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1， 2， 3， 4 和它的极大线性无关组线性表出21 已知矩阵 ，试判断矩阵 A 和 B 否相似，若相似则求出可逆矩阵 P，使 P1 AP=B，若不相似则说明理由22 袋中装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi 表示第 i 次取到的白球数，i=1，2 () 求(X 1，X 2)的联合分布； ( )求 PX1=0，X 20，PX 1X2=0； ()判断 X1，X 2 是否相关，是正相关还是负相关23 设随机变量 XiN(0，1)，i=1，2
7、 且相互独立，令 Y1=*234，Y 2= +，试分别计算随机变量 Y1 与 Y2 的概率密度考研数学（数学一）模拟试卷 396 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时，当 1易验证F(x)在0，2上连续( 关键是考察 sinx x=1= (x 1)2x=1)当 x1 时显然 F(x)可导，且 F (1)=(sinx) x=1=cosx x=1= ，F +(1)=( (x1) 2) x=1=(x1) x=1=0，F +(1)F (1)， F(x)在点 x=1 处不可导故应选(C)
8、2 【正确答案】 C【试题解析】 求 f(x)，分析其单调性区间由于因此 x=1 是 f(x)的最小值点，且 f(1)=又 由连续函数的介值定理，在(，1)与(1，+)内必存在 f(x)的零点又因 f(x)在(， 1)与(1，+)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点因此，f(x)在( ，+)恰有两个零点故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 实质上是确定 n+ 时无穷小 关于 的阶由泰勒公式，4 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数 定理知，在题设条件下，F y(x0，y 0)0 是方程 F(x，y)=0在点(x 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 y=y(x)，满足 y0=y(
9、x0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件如 F(x，y)=x 3xy，F(0，0)=0，F y(0，0)= x x=0=0，但 F(x，y)=0 确定函数 y=x2(满足 y(0)=0) 因此选(B)5 【正确答案】 A【试题解析】 若 是()的解，即 An=0，显然 An+1=A(An)=A0=0，即必是()的解可排除(C) 和(D) 若 是() 的解，即 An+1=0假若 不是()的解，即An0，那么对于向量组 ，A ， A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k 1A+k2A2+k nAn=0， 用 An 左乘上式，并把An+1=0，A n+2
10、=0，代入，得 kAn=0 由于 An0，必有 k=0对 k1A+k2A2+k nAn=0， 用 An1 左乘上式可推知 k1=0 类似可知ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A ，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以 必有 An=0，即()的解必是()的解由此可排除(B)故应选(A)6 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(a11，a 12，a 13，a 14)T， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)T， 3=(a31，a 32，a 33，a 34)T，那么 i 与 1， 2， 3 均正交，即内积=0(j=1，2，3，4)亦即 j(j=1，2，3，4)是齐次方程组的非零解由
11、于 1， 2， 3 线性无关，故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 43=1 个解向量从而 r(1， 2， 3， 4)=1故应选(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 从题设条件可得 EX=EY=0 ， EXY=aaa+a=0 cov(X，Y)=EXYEXEY=0 ，=0， 即 X 与 Y 不相关，故应选(A) 进一步分析，X 2 与 Y2的联合概率分布应为EX2=4a+2b， EY 2=6a， EX2Y2=4a对于选项 (B)：X 2 与 Y2 不相关 EX2Y2=EX2EY2 6a(4a+2b)=4a 6a+3b=1与 6a+2b=1 且 b0 相矛盾，故选项(B)不成立对于选项(C) 和(
12、D)：X+Y 与 XY 不相关 cov(X+Y，XY)=0 DX=DY EX2=EY2 4a+2b=6a a=bX 2+Y2 与 X2Y 2 不相关cov(X2+Y2，X 2Y 2)=0 DX2=DY2 2a(4a+2b)=6a2b a=b若令a=015 ，b=005，ab，则 X+Y 与 XY 相关且 X2+Y2 与 X2Y 2 也相关，故选项(C)与(D)均不成立8 【正确答案】 A【试题解析】 故 k=， m=n 1，所以选(A)二、填空题9 【正确答案】 12【试题解析】 这是求 0型数列的极限，先转化为 型极限：10 【正确答案】 ln2【试题解析】 因 从而，当 t 时曲线的弧微分
13、于是，相应曲线段的弧长11 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 F(x)是( ，+)上连续的偶函数，且由F(x)在(，0，在0，+) 由于 F(0)=0，又因此，函数 F(x)的值域区间是12 【正确答案】 34【试题解析】 直接计算是不方便的，这是二重积分 (x2+y2)dxdx 的累次积分，其中 D：0x2，0y 它是由 y= ，即(x1) 2+y2=1(y0)与 x 轴围成的区域，如图所示 现改用极坐标变换，D 的极坐标表示 01 2 ，0r2cos于是13 【正确答案】 【试题解析】 对 Ax=0 的系数矩阵 A 作初等行变换，有得基础解系 1=(1，5，3，0)T， 2=(2， 1
14、，0，3) T正交化有 2=1=(1，5，3，0) T， 2=(2，1，0，3)T (1，5，3，0) T= (3，0，1，5) T，单位化得 1= (1，5，3，0) T， 2=(3，0，1，5) T14 【正确答案】 084【试题解析】 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数 ”，则 X 服从参数为n=100，P=020 的二项分布，且 EX=np=20， = =4根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布N(0，1)，于是 =P16X32= (3)( 1)=(3)1(1)=0998701587=084，其中 (u)是标准正态分布函数三、解答题解答应写出文字说明、证
15、明过程或演算步骤。15 【正确答案】 本题讨论的函数 F(x)是分段函数，且表达式中含变限积分，被积函数还含参变量 x，先作变量替换化为纯变限积分的情形：()因 x0 时显然 F(x)连续，要使 F(x)在(， +)连续，只需 F(x)在 x=0 连续，即 A=()x0 时，由连续性运算法则及变限积分函数的连续性知，x0 时 F(x)连续，又F(0)= ，从而 F(x)在 x=0 也连续，因此 F(x)在( ，+)处处连续16 【正确答案】 D 如图， 关于 x轴对称 于是 其中 D1=Dy0在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块) 其中，两圆周的交点是 于是17 【正确
16、答案】 () 即证 f(x，y)=f(0 ，0) ( x，y)由于因此 f(x，y)=f(0，0) ( x，y) ()由所给条件即证由 u2+v2=C 利用题中条件，导出 的关系将 代入上式此方程组的系数行列式 =u2+V2=C若C=0 u=0，v=0；若 C0 u(x，y)为常数同理可证：v(x ，y)为常数18 【正确答案】 用分解法及逐项求导法求 f(x)的展开式先将 f(x)分解，即19 【正确答案】 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理： 取 c(0，1) ，分别在0，c与c ，1上用拉格朗日中值定理(0，c)，(c ，1)使得关键是取 c(0，1)及 f(
17、c)使得左端为 2，只需取 f(c)使得则达目的 因为 0=f(0) (0，c)，77(c，1) ，使得故得证20 【正确答案】 () 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，即方程组x11+x22+x33+x44= 有解对增广矩阵作初等行变换，有听以向量 可以由 1， 2， 3， 4 线性表出的充分必要条件是： 1 2+3 4=0 ()向量组 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=6 1+623 3 ()方程组的通解是： x1=a1a 2+2a36t，x 2=a22a 3+6t，x 3=a33t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以=(a1a 2+2a36t)
18、1+(a2 2a3+6t)2+(a33t) 3+t4，其中 t 为任意常数由把 4代入，得 =(a 1a 2+2a3)1+(a22a 3)2+a3321 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2=3=1 由矩阵 B 的特征多项式得到矩阵 B 的特征值也是 1=3， 2=3=1 当 =1 时，由秩知(EA)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化而(EB)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =1时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A 和B 不相似22
19、 【正确答案】 ()X 1 的可能取值为 0，1；X 2 的取值为 0，1，2由乘法公式可得 得联合分布与边缘分布如下表()PX 1=0，X 20=PX1=0，X 2=1+PX1=0，X 2=2= PX1X2=0=1PX 1X20=1PX 1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=2=1 或 PX 1X2=0=PX1=0，X 2=0+PX1=0，X 20+PX10，X 2=0= ()由边缘分布知 EX1=58，EX 2= ，而 EX1X2= 故cov(X1，X 2)=EX1X2EX 1EX2= 由于协方差不为零且为负数，故知 X1，X 2 负相关23 【正确答案】 () 因 X1 与 X2 独立且同服从标准正态分布 N(0，1)，故(X 1，X 2)的联合概率密度为 f(x1，x 2)= 当 y0 时， PY1y=0；当 y0 时，于是 Y1 的概率密度为 ()f(x 1，x 2)=于是 Y2 的概率密度为
