1、考研数学（数学一）模拟试卷 397 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ( )。（A）（B）（C） 1（D）12 设 ，则 fx(2，2)( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）43 直线 ( )。（A）异面（B）相交一点（C）平行但不重合（D）重合4 若视为曲面 x2y 2z 2a 2(y0，z0)的上侧，则当 f(x，y，z)为下述选项中的函数( )，曲线积分 。（A）e xsinz（B） x3y2（C） xycos(1z 2)（D）x 4y45 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。（A） 1 2，
2、2 3， 3 4， 4 1（B） 1 2， 12 3， 1 2 3，5 2 3（C） 1 2 3， 1 2 3， 13 29 3（D） 1 3， 22 3 4， 12 3 4， 23 32 46 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )。（A）A，B 的秩相等（B） A，B 的全部特征值相同（C） A，B 的行列式相等（D）A，B 的二次型具有相同的标准形7 设 A，B 为随机事件满足条件 1P(A)0， 1P(B) 0， 且 P(AB)0，则成立( )。8 设有随机变量 X，已知 E(X) ，D(X) 2，则对常数 C(C)必有( )。（A）E(X C)
3、2E(X 2)E(C 2)（B） E(XC) 2E(X ) 2（C） E(XC) 2E(X ) 2（D）E(X C)2E(X ) 2二、填空题9 设 若 f(x)在点 x0 处可导，则a， b。10 若 2f(x)sin 3x2sin 2x0f(x)dxsinx 0f(x)dx，则 0f(x)dx。11 设 ，其中 f(，) 是连续函数，则dz。12 ，其中 L 为 x22y 21 的正向。13 A 是 n 阶矩阵，AXb 有唯一解，则二次型 f(x1，x 2，x n)X T(ATA)X 的正惯性指数 p。14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2
4、)，如果二阶行列式 Y ，则 2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内有二阶导数 f“(x)，又设连接点 A(a，f(a)及点 B(b，f(b)的线段与 f(x)的图形有交点 P，而 P 点异于 A，B 两点，证明存在点 c(a，b)，使得 f“(c)0。16 求 ，a 为任意正实数。17 求由方程 2x22y 2z 28xz z80 所确定的隐函数 zz(x ，y)的极值。18 计算 x2ydx(x 2y 2)dy(xyz)dz，其中 L 为 x2y 2z 211， zx 2y 21 的交线，从 z 轴正向往负向看，L 是逆时针
5、的。19 求微分方程 y“aye bx(a，b 为实常数，且 a0，b0)的通解。20 如果 A 是一个 r 行 n 列的其秩为 r 的矩阵，A 的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而 B 是一个任意 r 阶可逆矩阵，则矩阵 BA 的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。21 用非退化(可逆) 的线性变换化二次型 f(x 1，x 2，x 3)4x 1x22x 1x32x 2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换。22 测量某物体高度时，测量误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0，5 2)，即 X 的概率密度为 ， x ，求测量误差的绝对值X的数学期望与方差。23 设 X1，X
6、2，X 10 是取自正态总体分布 N(， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记 已知 P(Ta)005，求 a 的值。考研数学（数学一）模拟试卷 397 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 注意 求参数方程 xx(t)，yy(t) 二阶导数的公式是：不要将二阶导数求错!常出现的错误的做法是其原因是忘记了t 是中间变量，x 才是自变量。2 【正确答案】 D【试题解析】 解 因 f(x，2)x 2，故 fx(2，2)(x 2) x2 4，仅(D) 入选。 注意 如不先将 y2 代入 f(x，y) 中化简其表示式而是直接对 x 求
7、偏导，那就麻烦多了!3 【正确答案】 B【试题解析】 解 易求得 L1 与 L2 的方向向量，由知，它们的方向向量分别为 n 1(2，1，1)，n 2(2，1，3)。因它们不成比例，故它们不平行，排除(C) 和(D) 。 为考察 L1 与 L2 是否有交点，只需考察由方程组与方程组组成的联立方程组是否有公共解，为此解方程组故其交点为 x0，y32，z12，排除(A) ，仅(B)入选。4 【正确答案】 D【试题解析】 解 因积分曲面关于坐标平面 yOz 对称，而 f(x，y，z)x 4y4 关于 x为偶函数，则 ，仅(D)入选。5 【正确答案】 D【试题解析】 解 因为 ( 1 2)( 2 3)
8、( 3 4)( 4 1)0，所以向量组(A)线性相关。 若令 1 1 2， 2 12 3， 3 1 2 3， 45 2 3。则1， 2， 3， 4 可由 1， 2， 3 线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示。因此 1， 2， 3， 4 线性相关，即向量组(B)线性相关。 关于(C)，由 1， 2， 3， 4线性无关知， 1， 2， 3 线性无关，若令 1 1 2 3， 2 1 2 3， 3 13 29 3，则 1， 2， 3 1， 2， 3 。因为是范德蒙行列式，不为 0，所以 r( 1， 2， 3)r( 1， 2， 3)3，即向量组(C) 线性无关，故仅 (C)入选。因 1 3， 2 2
9、3 4， 12 3 4， 23 32 4 1， 2， 3， 4而右边行列式等于 0，故(D)中向量组线性相关。6 【正确答案】 D【试题解析】 解一 因实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件是正负惯性指数相等，表现在 A，B 的二次型的标准形相同，因而仅(D)入选。解二 仅有 A，B 的秩相等不能保证正(或负)惯性指数相等，因而(A) 不对。(B)项为 A，B 合同的充分条件，但不是 A，B 合同的必要条件。(C)项仅证明 A 和 B 的秩相等，同(A) 项一样不能证明 A 与 B 合同，仅(D)入选。7 【正确答案】 D【试题解析】 仅(D)入选。解二 由排错法求之。如(A)成立，则 P(A
10、)P(B)，A B，但由推不出 ，故(A)不成立。 由(B)推得 P(A)P(B)，则 P(A)P(AB) ，但这与 P(AB)P(A) P(AB)0 矛盾，故(B)也不成立。1P(B)0，故(C) 也不正确，仅(D) 入选。8 【正确答案】 D【试题解析】 解 因 E(XC) 2E(X) 2E(X C)2(X) 2E(C 22XC2X 2) C 22C2 2 2 (C) 2E(C ) 20，故E(XC) 2E(X) 2。仅(D)入选。二、填空题9 【正确答案】 0,1【试题解析】 解一 f(x)在点 x0 处连续，故由 f (0)f (0)得到 1ab ，故 b1。 解二 由 f(x)在点
11、x0 处连续得到 a0。又由 f (0)f (0)得 b1。10 【正确答案】 【试题解析】 解题思路 在所给等式两端自 0 到 对 x 积分，并设常数 A 0f(x)dx。解 2A 0sin3xdx2A 0sin2xdxA 0sinxdx，利用 0sinnxdx2 0/2sinnxdx，由上式得到 2A2 0/2sin3xdx2A2 0/2sin2xdx2A 0/2sinxdx。11 【正确答案】 【试题解析】 解题思路 利用一阶全微分形式不变性及变限积分的求导公式求之，也可利用一阶全微分公式 求之。 解一 利用一阶全微分形式不变性求之：12 【正确答案】 【试题解析】 解题思路 将 L 的
12、方程代入积分中可简化计算，还可直接使用下列公式得到 其中 L 为D 的分段光滑正向边界闭曲线。解D：x 22y 21。13 【正确答案】 n【试题解析】 解题思路 正确理解 AXb 有唯一解的含义：对任意 X0，有AX0，因而能判定 f 为正定二次型。 解 因 AXb 有唯一解，故 AX0 只有零解，则任意 X0，必不是 AX0 的解，即 AX0，从而对任意 X0有 fX T(ATA)X(AX) TAX0， 即二次型 f 为正定二次型，故 f 的正惯性指数为 n。14 【正确答案】 【试题解析】 解题思路 利用方差的性质及方差的计算公式 D(X)E(X 2)E(X)2 求之。 解 由于 Xi
13、相互独立，X 1X4 与 X2X3 也相互独立，且 XiN(0 ， 2)。依题意知 14D(Y)D(X 1X4X 2X3)D(X 1X4)D(X 2X3)，其中 D(X iXj)E(X iXj)2E(X iXj)2 E(X i2)E(Xj2)E(X i)E(Xj)2 (因 E(Xi)E(X j)0) E(X i2)E(Xj2)D(X i)E(X i)2D(Xj) E(Xi)2 D(X i)D(Xj)( 2)(2)(ij) 4，则 14D(Y)D(X 1X4) D(X2X3) 4 42 4，故 418， 2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 解 如右图所示，
14、设 P 点坐标为(x 0，f(x 0)，由拉格朗日中值定理，存在点 1(a，x 0)， 2(x0， b)使注意到 A，B ，P 三点在同一条直线上，因此 AP，PB 有相同斜率，故有 f( 1)f( 2)。 对函数 f(x)在区间1， 2上应用罗尔定理，则存在点 c(1， 2)，使 f“(c)0。16 【正确答案】 17 【正确答案】 解 为求隐函数的极值，先利用原方程求出驻点及其相应的函数值。由隐函数微分法得 令，解得 x2z，y0 代入原方程得 7z 2z80，又解得z11，z 287，于是驻点为 (2，0)及(167，0) 。故函数 zz(x，y) 在点(2，0)处得极小值 z1。故函数
15、 zz(x， y)在点(167，0)处得极大值87。18 【正确答案】 解一 用参数法计算，为此先求出曲线 L 在 xOy 上的投影曲线的方程。由 x 2y 21z 2 12， z 2z12(z4)(z3)0，因 z0，故 z3，因而 x 2y 213， 即 x 2y 22。用参数方程表示为 ，故L 的参数式方程为 解二 用斯托克斯公式求之，取曲面 S 为 L 所在的平面，其方程为 z3， x 2y 22，向上，于是 Lx2ydx(x 2y 2)dy(xyz)dz因曲面 S 关于 yOz 平面、zOx 平面对称，且被积函数 1 为偶函数，故19 【正确答案】 解 特征方程 r2ar 0，r0，
16、ra，故对应的齐次方程的通解为 Yc 1e0xc 2eaxc 1c 2eax。下求特解，当 ba 时，设 y*Ae bx，代入方程得当 ba 时，设 y*Bxe bx，代入方程得综上所述，微分方程的通解为：当 ba 时，yc 1c 2eax ；当 ba 时，yc 1c 2eax 。20 【正确答案】 证一 设 ，其中 j 为 A 的行向量，Bb ijrr，则，其中 j 为 BA 的行向量，则因 1， 2， r 线性无关，且 B 为满秩矩阵，即 r(B) r向量组( 1， 2， r)的个数，故 1， 2， r 线性无关。 因 j 为某齐次线性方程组的基础解系，则因 1， 2， r 均为1， 2，
17、 r 的线性组合，故 1， 2， r 也必为该齐次线性方程组的 r 个解，又它们线性无关，所以 1， 2， r 即 BA 的 r 个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系。 证二 设 j(j1，2，r)为齐次方程组 XTC0 的一个基础解系(XT 为行向量， j 也为行向量 )，则 jc0，其中 c 为 C 的任意列向量，则b1jjc0(j1，2，r)，因而 。同理有(i1，2，r)。即 BA 的 r 个行向量均为 XTC0 的解。 又因B 可逆，故秩(BA)秩(A)r，BA 的 r 个行向量线性无关，所以 BA 的 r 个行向量也形成该齐次方程组 XTC0 的基础解系。21 【正确答案】 解：
18、令 则 原式4y 124y 224y 1y3 4y 124y 1y3y 32y 324y 22 (2y 1y 3)24y 22y 32。再令则 原式z 124z 22 32。因此原二次型的标准形为z 124z 22 32。 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换，即 XPZ， 其中 Xx 1，x 2，x 3T， Zz 1，z 2，z 3T。为求此变换，由方程组得到 y 3z 3， y 2z 2， y 1 (z1z 3)2。将此代入方程组 得到所求的非退化的线性变换：22 【正确答案】 23 【正确答案】 由 t 分布的对称性及分位数知，显然 3a0。于是 P(3T3a)(3T3a)P(|3T|3a)005005010。查自由度为 9，010 的 t 分布表，得其上分位数为 1833，即 3a1833， a 0611。
