1、考研数学（数学一）模拟试卷 398 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，若 f(0)存在，则 k 为( )。（A）3（B） 4（C） 5（D）62 设级数 收敛，则( )。3 若 P(x，y)，Q(x，y) 在单连通域 G 内有一阶连续偏导数，且对 G 内任意简单闭曲线 L 有 ，则曲线积分与路径无关； P(x，y)dxQ(x ，y)dy 是某个函数 (x，y)的全微分。这四种说法中正确的是( )。（A）（B） （C） （D）4 下列积分中，积分值等于 0 的是( )。5 设 A 是三阶矩阵， 11，2，2 T， 22，1，1 T， 31，1，t
2、 T 是线性非齐次方程组 AXb 的解向量，其中 b1，3，2 T，则( )。（A）t1，必有 r(A) 1（B） t1，必有 r(A)2（C） t1，必有 r(A)1（D）t1，必有 r(A) 26 设 则必有( )。（A）AP 1P2B（B） AP2P1 B（C） P1P2A B（D）P 2P1AB7 二维随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X，Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别为X，Y 的边缘密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度函数 fXY (xy)为( )。（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）f X(x)f Y(y)8 设 XN
3、(1 ， 2)，YN(2， 2)，且相互独立，ZX Y，则 P(Z0)的值( )。（A）小于 12（B）大于 12（C）等于 12（D）不确定，与 有关二、填空题9 设 f(x)在点 xa 处可导，则 。10 以 yc 1xexc 2ex 为通解的二阶常系数齐次线性方程为。11 二重积分。12 已知函数 u3x 2y2yzz 3， 4xyz 3， 点 P(1，1，1)，u 在点 P 处沿该处 grad 方向的方向导数为。13 设随机变量 X 服从参数为 n100，p02 的二项分布； Y 服从参数为 3的泊松分布，且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X3Y)。14 已知三元二次型 X TAXx
4、 12ax 22x 322x 1x22ax 1x32x 2x3 的秩为 2，则其规范形为。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 。16 设 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b) 内可导，且 f(x)0，证明函数在(a，b) 内也有 F(x)0。17 ()试证明当 0x 时，()求级数 的和。18 设 f(x)和 g(x)在a，b 上连续，试证至少有一点 c(a，b)，使 f(c) cbg(x)dxg(c)acf(x)dx。19 设函数 f(r)(r0)有二阶连续导数，并设 满足求 u 的一般表达式。19 设 。20 将 A 表示成若干个初等矩阵的乘积；21 将
5、 A 表示成一个主对角元为 1 的下三角矩阵 R 和一个上三角矩阵 S 的乘积。21 已知四元齐次线性方程组(i) 的解全是四元方程(ii)x1x 2x 30 的解。22 求 a 的值；23 求齐次方程组(i) 的通解；24 求齐次方程(ii)的通解。25 设某种器件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 20 小时，在使用中当一个器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此连续下去，已知每个器件进价为 a 元，试求在年计划中应为此器件做多少预算，才可以有95的把握保证一年够用(假定一年按 2000 个工作小时计算)。26 设 XB(1，p)，X 1，X 2，X n 是来自
6、X 的一个样本，试求参数 p 的极大似然估计。考研数学（数学一）模拟试卷 398 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 利用导数定义和洛必达法则及变限积分求导法则求之。2 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 利用级数收敛的定义判别之。解一 仅(C)入选，因的前 n 项部分和为 Sn （a i ai1 ）（a 1 a 2）（a 2 a3）（a 3 a 4）（a n a n1 ） a 1 a n1 ，而a 1，故仅(C)入选。解二 对选项(A) 、(B)、(C)均可举反例说明不成立，因而仅(C) 入选。取 收敛，下面
7、说明选项(A) 、(B)、(D)都不成立，事实上 发散，(A)不成立。3 【正确答案】 B【试题解析】 解题思路 利用平面上的第二类曲线积分与路径无关的等价条件解 因为对任意闭曲线 L， 等价于曲线积分与路径无关，也等价于 P(x，y)dx Q(x，y)dy 是某个函数 (x，y) 的全微分，而后者成立的充要条件是 在 G 内恒成立，因此正确，仅(B)入选。4 【正确答案】 D【试题解析】 解题思路 利用第二类曲面积分的奇偶对称性的结论判别之：设关于坐标平面 xOy 对称，则其中 1 是在坐标平面 xOy 的上侧部分。解一 由高斯公式得到(：x 2y 2z 2R2)。因 关于平面 xOy 对称
8、，2z 是 z 的奇函数，故 或曲面关于 xOy 对称，z 2 为 z 的偶函数，故，仅(D) 入选。解二 排除(A) 、(C)，因这两个广义积分发散,又由格林公式得到 (D：x 2y 21)1 20 排除(B)，仅(D)入选。5 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 令 B 1， 2， 3，则 ABb，b ，b，r(AB)r(b，b，b)1。 注意到 t1 时，r(B) 3，从而 r(AB)r(A)1，也可由方程组 AXb 解的结构原理直接推出 r(A)1。 解一 将已知关系式Aib(i1，2，3)合并成一个矩阵等式：A 1， 2， 3A 1，A 2，A 3b，b ，b ，令 B 1， 2
9、， 3 ，则 ABb，b，b。 当 t1 时，因 B 中第 2，3 行成比例，故 r(B)2，这时由r(AB)1 只能得到 r(A)r(AB)1，(A)、(B)都不对， 当 t1 时，因 r(B)3，故 r(AB)r(A)1，仅(C)入选。解二 B 1， 2， 3，当 t1 时，r(B)3，从而 1， 2， 3线性无关。 1 2， 2 3 是齐次方程 AX0 的两个线性无关的解，则 nr(A)2，即 3r(A) 2，故 r(A)321，但 AO(若 AO ，则 AXb 无解与题设矛盾)，故必有 r(A)1，所以 r(A)1，仅(C) 成立。6 【正确答案】 C【试题解析】 解 因为由 A 变到
10、B 使用的都是初等行变换，故用对应的初等矩阵 P1，P 2 分别左乘 A，于是得到 P1(P2A)P 1P2AB ， 仅 (C)入选。7 【正确答案】 A【试题解析】 解 f XY (x y) f X(x)，仅(A)入选。8 【正确答案】 A【试题解析】 解 因 XN(1， 2)，YN(2， 2)，且相互独立，则 ZXYN(12，1 22(1) 22)N(1，2 2)。 因而 P(Z1)12，因P(Z0)P(Z1)，故 P(Z0)12，仅(A)入选。二、填空题9 【正确答案】 2f(a)【试题解析】 解10 【正确答案】 y“2yy0【试题解析】 解 由题设知，方程以 r1 为二重特征根，从而
11、特征方程为 (r 1)20， 即 r 2 2r10， 于是二阶常系数齐次线性方程应为 y“2yy0。11 【正确答案】 【试题解析】 解 由右图易知12 【正确答案】 【试题解析】 故 gradu P 6ij5k。 同法可求得 gradv P4i4j3k ，其单位向量记为l0，则 l0 ，故13 【正确答案】 91【试题解析】 解 由题设知，XB(100，02)，Y(3)，因此有D(X)npq10002(102)16， D(Y)3，故 D(2X3Y)4D(X) 9D(Y)4169391。14 【正确答案】 y 12y 32【试题解析】 解 因 ，且 r(A)2，故A 0。易求得A(a2)(a
12、1) 2。于是由 r(A)2 知，a2。由 EA(3)( 3)0 可知 A 的特征值为 3，0，3。在正交变换下该二次型的标准形为3y123y 32，故其规范形为 y12y 32。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 证 由 f(t)在a ，b上连续，故 axf(t)dt 在区间a，b内可导，于是由定积分中值定理得 axf(t)dtf()(xa)，其中 在a，x上，于是由于 f(x)0，故 f(x)单调下降，所以 f(x)f()，又 ax，故 F(x)0。17 【正确答案】 解 () 令 f(x)sinx，将其在(0， )展成余弦级数，因 b
13、n0，18 【正确答案】 证 由上述证题思路易知，应设辅助函数 F(x) axf(t)dtxbg(t)dt。 由 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，可知 F(x)存在，且 F(x)f(x) xbg(t)dtg(x) axf(t)dt， xa，b， 又 F(a) F(b)0， 由罗尔定理知，至少存在一点 c(a，b)，使 F(c)0。由式即得 f(c) cbg(x)dxg(c) acf(x)dx。19 【正确答案】 20 【正确答案】 用初等矩阵表示上述变换关系，得到21 【正确答案】 其中为主对角元为 1 的下三角矩阵， 为上三角矩阵。22 【正确答案】 因方程组(i)的解全是方程(ii)
14、 的解，故方程组(i) 与方程组(iii)同解，且其系数矩阵有相同的秩，因而 a0，这是因为：如 a0，则 r(A)1，r(B)2。 当 a0 时，易求得 r(A)3，这是因为 A中有子行列式 对 B 进行初等行变换，得到故当 2a10 即 a12 时，r(B)3，此时方程组(i)与方程组(iii)同解。23 【正确答案】 由 及基础解系的简便求法，即得方程组(i)的基础解系为 12 ，12，1，1 T，其通解为 k，k 为任意实数。24 【正确答案】 注意到方程(ii)为四元方程，即 x1x 2x 30x 40。由即可写出其基础解系为 11，1，0，0 T， 21，0，1，0T， 30，0，
15、0，1 T，其通解为 k11k 22k 33， 其中 k1，k 2，k 3 为任意常数。25 【正确答案】 解 设年计划购进 n 个此种器件，则预算应为 na 元，每个器件使用寿命为 Xi(1in)，则 Xi 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，依题意知 120， E(X i)1， D(X i)1 2，根据独立分布的中心极限定理，得到解得 n118，故年计划预算最少为 118a 元。26 【正确答案】 解 设 x1，x 2，x n 是相应于样本 X1，X 2，X n 的一个样本值，X 的分布律为 P(Xx)p x(1p) 1x (x0，1)，故似然函数为(可以看成在对应样本观测值处的联合分布律)，故解得 p 的极大似然估计量为 。
