1、考研数学（数学一）模拟试卷 409 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)具有二阶连续导数，且 ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标2 设 是由曲面 及 z=1 所围成的区域 f(x，y，z)连续，则3 设 a 是常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 的取值有关4 若 y=xex+x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则( )（
2、A）a=1 ，b=1，c=1（B） a=1，b=1，c=一 2（C） a=一 3，b=一 3，c=0（D）a= 一 3，b=1，c=15 设矩阵 ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=D，则|B+E|=( )（A）一 6（B） 6（C）（D）6 （A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P37 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度函数 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知F(0)= ，则( )8 假设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是
3、来自总体 X 的简单随机样本，则( )（A）X 2 2(1)（B） Y2 2(10)（C）（D）二、填空题9 设有曲线 过原点作其切线，则以曲线、切线及 x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到的表面积为_。10 设有直线 则过 L1 且与 L2 平行的平面方程为_。11 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fx(0，1，一 1)=_。12 微分方程 的通解为_。13 设四阶方阵 A=(， 2， 3， 4)，B=(， 2， 3， 4)，其中 ， 2， 3， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=一 1，则|A
4、一 3B|=_。14 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，已知PX1+X20=1 一 e-1，则 E(X1+X2)2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 一 ，上连续，且有16 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(A)=f(B)=0，求证：()存在 (a，b)，使 f()+f()=0；()存在 (a，b) ，使 f()+f()=0。17 设 f(x)具有二阶连续导数 f(0)=0，f(0)=1，且 xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)及
5、此微分方程的通解。18 计算曲面积分 其中 S 是曲面 x2+y2=R2 及两平面 z=R，z=一R(R 0)所围成立体表面的外侧。19 设函数 f(x)是以 2为周期的周期函数，且 f(x)=ex(0x2)，其中 0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数20 线性方程组 有公共的非零解，求 a，b 的值和全部公共解。21 已知(1 ，一 1，0) T 是二次型 xTAx=x12+x32 一 2x1x2+2x1x3+2bx2x3 的矩阵 A 的特征向量，利用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。22 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(
6、0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值。试求：()(X，Y) 的联合概率密度；()关于 Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y1。23 已知总体 X 的概率密度 (0)，X 1，X 2，X 3，X n是来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2。( )求 Y 的数学期望 E(Y)；()求 的矩估计量 和最大似然估计量 。考研数学（数学一）模拟试卷 409 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 由极限的保号性知，存在 0，当 0|x 一1| 时， 又因(x 一 1)20(x1)，所以当 0|x 一 1| 时，f“
7、(x)0，因此 f(x)在(1，1+)单调递增，从而当 1 一 x1 时，f(x)f(1)=0，当 1x1+ 时，f(x)f(1)=0，由取得极值的充分条件 f(1)是 f(x)的极小值。故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 是由锥面 及平面 z=1 所围成的锥体(如图)，则在直角坐标系下化为累次积分为故选 C。3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是微分方程)，y“一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应齐次方程的解，其特征方程 r22r+a=0 有二重根 r1=r2=1，则 a=1；x 是非齐次方程的解，将 y=x 代入方
8、程 y“一 2y+ay=bx+c 知 b=1，c=一 2。故选 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程向 B+E 靠拢，用分组分解因式有(AB+A)+(B+E)=一E，即 (A+B)(B+E)=一 E，两边取行列式，用行列式乘法公式得|A+E|.|B+E|=1 ，故选C。6 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2 和 AP1P3 是对矩阵 A作列变换，故应排除 C，D。把矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加至第 3 行，再将 1，2 两行互换得到矩阵 B；或者把矩阵 A 的 1，2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第3 行也可得到矩
9、阵 B，而 P2P3A 正是后者。故选 B。7 【正确答案】 D【试题解析】 由 -+f(x)dx=a-+f1(x)dx+b-+f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均符合这个要求。因此只好通过 确定正确选项。由于8 【正确答案】 C【试题解析】 由总体 xN(0， 2)可知置N(0， 2)，故 且相互独立，由 2 分布，F 分布，t 分布的典型模型可知，选项 A，B 不成立。事实上， 2(1)，故 A 不成立； 2(10)，故 B 不成立；F(1 ，10) ，故 D 不成立；而 所以 C 成立。故选 C。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 x 一 3y+z+2=0【
10、试题解析】 设所求平面的法向量为 n，则根据题意可知由于所求平面过 L1，则点(1，2，3)在所求平面上，则所求平面为(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0，即 x 一 3y+z+2=0。11 【正确答案】 1【试题解析】 根据 f(x，y，z)=e x+y2z 可知，f x(ex，y 2z)=ex+y2zx，等式x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得 1+z x+yz+xyzx=0， 令 x=0，y=1，z=一 1 得 zx=0。 则 fx(0，1，一 1)=e0=1。12 【正确答案】 =C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 13 【正确答案】
11、一 56【试题解析】 因为 A=(， 2， 3， 4)，B=(， 2， 3， 4)，所以 A 一3B=(， 2， 3， 4)一(3， 2，3 3，3 4)=(一 3一 22 一 23 一 24)， 因此有 |A-3B|=|-3，-2-2 2，-2 3，-2 4|=一 8|一 3， 2， 3， 4| =一 8(|， 2， 3， 4|一3|， 2， 3， 4|)=一 8(|A|一 3|B|)=一 56。14 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XiP( i)且 X1 与 X2 相互独立，因此 E(Xi)=D(Xi)=i(i=1，2)，E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12
12、)+2E(X1)E(X2)+E(X22)=1+12+212+2+22=1+2+(1+2)2。 下面计算 1+2 的值，由于 P(X 1+X20)=1 一 P(X1+X20)=1一P(X1+X2=0)=1 一 P(X1=0，X 2=0)=1 一 P(X1=0)P(X2=0)=1 一 e1.e2=1 一 e(1+2)=1一 e-1。 所以 1+2=1。 故有 E(X1+X2)2=1+2+(1+2)2=2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由全微分方程的充要条件 x2+2xy 一 f(x)=f“(x)+2xy，即 f“(x)+f(x)=x2。解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2。由 f(0)=0，f(0)=1，求得C1=2，C 2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 2。于是原方程为 xy2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】
