1、考研数学（数学一）模拟试卷 424 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(z)在 x=0 的某一邻域内有连续的四阶导数，且当 x0 时，f(x)0，若 F(x)=在 z 一 0 点连续，则必有( )（A）f(0)=1（B） f(0)=2（C） f“(0)=3（D）f (4)(0)=42 设 F(x)=0xtf(x 一 t)dt，其中 f(x)可导，且 f(0)=0， f(x)0，则 y=F(x)在(0，+)内( )（A）递增且为凹弧（B）递减且为凸弧（C）递减且为凹弧（D）递增且为凸弧3 设 f(x，y)为连续函数，则使 f(x，y)dy 成立的
2、充分条件是( )（A）f(一 x， y)=一 f(x，y)（B） f(一 z，一 y)=f(x，y)（C） f(一 x，一 y)=一 f(x，y)且 f(一 z，y)=f(x ，y)（D）f(一 x， y)=f(x，y)且 f(x，一 y)=f(x，y)4 （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）可能收敛也可能发散5 设规阶方阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组： 1， 2， n，： 1， 2， n，： 1， 2， n，如果向量组线性相关，则( )（A）向量组线性相关（B）向量组线性相关（C）向量组与都线性相关（D）向量组与至少有一个线
3、性相关6 设 A 是秩为 3 的 4 阶矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解若1+2+3+=(0，6，3，9) T，2 2 一 3=(1，3，3，3) T，k 为任意常数，则 Ax=b 的通解为( )（A）(0 ，6，3，9) T+k(1，1，2，0) T（B） (0，2，1，3) T+k(一 1，3，0，6) T（C） (133，3) T+k(1，1，2，0) T（D）(一 1，3，0，6) T+k(一 2，0，一 3，0) T7 设随机变量 X1 和 X2 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）max(X
4、1，X 2)（B） min(X1，X 2)（C） X1+X2（D）X 1 一 X28 设总体 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X m 与Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，若统计量服从 t(n)分布，则 =( )（A）（B）（C） 2（D）4二、填空题9 函数 y=y(x)由微分方程 及 y(1)=0 确定，则曲线 y=y(x)的斜渐近线方程为_10 11 设函数 f(x，y)在点(0， 0)处可微，且 fx(0，0)=1，f y(0，0)=一 1，则极限12 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度向量 gra
5、du|M 为_13 已知三阶矩阵 记它的伴随矩阵为 A*，则三阶行列式14 设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 又设 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 记 a=PX 一 1，则概率 Pya)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)三阶可导，且 f“(a)0，16 设函数 f(x)连续， (a 为常数)，又 F(x)=0xf(xy)dy求 F(x)并讨论F(x)的连续性17 设二元函数 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，并满足方程 ，且u(x，2x)=x ， ux(z，2x)=x。，求 u“xx(x，2x)，u“ xy(x，2x)，u“ xy(x，2x)18
6、 设有微分方程 y+p(x)y=x2，其中 ，求在(一，+) 内的连续函数 y=f(x)，使其满足所给的微分方程，且满足条件 y(0)=219 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 一 2，0)的分段光滑的简单闭曲线，试就 L 的不同情况计算曲线积分：L取正向20 设 A 是 n(n1) 阶方阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，已知A1=2，A 2=3，A n 一 1=n，A n=0，且 n0 ()证明 1， 2， n 线性无关； () 求 Ax=0 的通解； ()求出 A 的全部特征值和特征向量，并证明 A 不可对角化21 设 A 为 n 阶方阵，证明：r(A+E)+r(AE)=n 的充
7、要条件是 A2=E22 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 试求(I)(X， Y)的分布函数； ()(X，Y)的两个边缘概率密度；( )(X ，Y)的两个条件密度；23 设总体 X 的概率密度为 其中 0， 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自 X 的简单随机样本试求 ， 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 424 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 F(x)在 x=0 点连续，故有因此 f“(0)=3，故选(C) 2 【正确答案】 A【试题解析】 令 xt=u，则 F(x)= 0xtf(xt)dt=0x(
8、x 一 u)f(u)du =x0xf(u)du0xuf(u)du， F(x)= 0xf(x)dx，F“(x)=f(x)， 因为 f(x)0，故 f(x)单调增加，当 x0时，f(x)f(0)=0 ， 所以 F“(z)0，F(x)0，故选(A)3 【正确答案】 D【试题解析】 此时 f(x，y)既是关于 z 的偶函数，又是关于 y 的偶函数，故选(D)4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由|AB|=0，得|A|=0 或|B|=0，故向量组 与至少有一个线性相关，故选(D)6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题 由 r(A)=
9、3，知齐次方程组 Ax=0 的基础解系只有一个解向量 由非齐次线性方程组解的性质，知 ( 1+2+3)一 3(22 一 3)=(1 一 2)+4(3 一 2)=(一 3，一 3，一 6，0) T 是 Ax=0的解，所以 Ax=0 的基础解系为(1，1，2，0) T 又 2 2 一 3=2+(2 一 3)=(1，3，3，3) T 是 Ax=b 的解，所以 Ax=b 的通解为(1，3，3，3) T+k(1，1，2，0)T，故应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查两个相互独立的指数分布的随机变量函数的分布，是一道有一定难度的综合题设 X1，X 2 的分布函数为 F(x)，则 max(X
10、1，X 2)的分布函数为 所以(A)选项错误min(X 1，X 2)的分布函数为所以 min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布，故应选(B) 进一步分析，由 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)= ，知选项(C)错误；由E(X1 一 X2)一 E(X1)一 E(X2)=0 ，知选项(D) 错误8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查两个正态总体的抽样分布，属于基础题由题设，知从而二、填空题9 【正确答案】 y=一 x【试题解析】 从而斜渐近线为 y=一 x10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 一
11、 58【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 所以F(x)在 x=0 处连续当 x0 时，因为 f(x)连续，所以变上限积分 0xf(t)dt 也是连续的，于是 F(x)是连续的综上：F(x)在( 一，+)上是连续的17 【正确答案】 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，2x)+u y(x，2x)2=1，(1)又ux(x，2x)=x 2，(2) 代入(1)式得(2)式两端对 x 求导，得u“xx(x， 2x)+u“xy(x，2x)2=2x ，(4)(3) 式两端对 z 求导得 u“
12、yx(x，2x)+u“ yy(x，2x)2=一 x，(5)18 【正确答案】 当 x1 时，微分方程为 y+y=x2，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 y=e 一dx (x2e 一dx +c1)=e 一 x(x22x+2)ex+c1，当 x1 时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为由于方程的解在点 x=1 处连续，所以由于 y(0)=2，所以c=0，所以19 【正确答案】 以下就 L 的情况讨论(1)当点 (2，0)，(一 2，0)都在闭曲线 L 所围区域的外部时，I1=0，I 2=0，从而 I=0；(2)当点(2，0)，(一 2，0)都在闭曲线 L 所围区域的内部时，则分别
13、作以这两个点为圆心，以 1， 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们也都在区域内部，方向都取正向，记 D1，D 2 分别为 C1，C20 【正确答案】 () 设 k11+k22+knn=0，依次在等式两边左乘A，A 2，A n 一 2， A n 一 1，分别得 k 11+k23+kn 一 1n=0， k 121 【正确答案】 本题主要考查矩阵秩的性质、特征向量的求法及矩阵的相似对角化，是一道有难度的综合题 先证充分性：由 A2=E，得(A+E)(AE)=0，从而 r(A+E)+r(A+E)n， 又 r(A+E)+r(AE)=r(A+E)+r(EA)r(2E)=n 所以 r(A+E)+r(AE)=n 再证必要性：设 r(A+E)=r，则齐次线性方程组(一 EA)x=0 有 n 一r 个线性无关的解，设为 1， n 一 r，即 1， n22 【正确答案】 本题主要考查二维连续型随机变量的分布函数、边缘概率密度、条件密度及其概率，是一道有一定难度的综合题(I)由 F(x，y)= 一 x一 yf(u，)dudv，得当 x0 或 y0 时，f(x，y)=0 ，从而 F(x， y)=0当 0x1，0y2 时，23 【正确答案】 本题考查总体概率密度含有两个未知参数的最大似然估计量，是一道有难度的综合题似然函数为
