1、考研数学（数学一）模拟试卷 435 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设 则( )（A）f(0)一 1（B） f“(0)=1（C） f“(0)=1（D）f (4)(0)=12 设 f(x)满足 f“(x)+(1 一 cosx)f(x)+xf(x)=sinx，且 f(0)=2则( )（A）x=0 是 f(x)的极小值点（B） x=0 是 f(x)的极大值点（C）曲线 y=f(x)在点(0 ，f(0) 的左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的（D）曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的3
2、 设 存在，则( )4 f(x)=一 cosx+(2x 一 3)3+ 在区间(，+)上的零点个数( )（A）正好 1 个（B）正好 2 个（C）正好 3 个（D）多于 3 个5 设 有通解 k(1，0，2，一 1)T，其中 k 是任意常数，A 中去掉第 i(i=1，2，3， 4)列的矩阵记成 Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是( )（A）A 1y=0（B） A2y=0（C） A3y=0（D）A 4y=06 设二次型 f(x1，x 2，x 3)一(x 1+2x2+x3)2+x 1+(a4)x 2+2x32+(2x1+x2+ax3)2 正定，则参数 a 的取值范围是 ( )（A）a=2 （B）
3、 a=一 7（C） a0（D）a 任意7 设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则必可作为新分布函数的是( )8 随机变量 XN(2，4) ，YN(2 ，5)，且 D(X+Y)=DXDY+14，则下列正确的是( )（A）E(XY)=EXEY+2(DXDY)（B） D(XY)=DY（C） X，Y 独立（D）X，Y 不相关二、填空题9 设空间区域10 02xsin8xdx=_11 微分方程 满足初始条件 的特解是_12 直线 在 yOz 平面上的投影直线 l 绕 Oz 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为_13 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足 A=，A=，则
4、AA，其中 A=_14 设 X1，X 2，X 50 取自 X 的一组简单随机样本，由中心极限定理得 =_(答案用 (x)表示)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求曲面 4z=3x2+3y2 一 2xy 上的点到平面 xyz=1 的最短距离16 设 l 为自点 O(0，0) 沿曲线 y=sinx 至点 A(，0) 的有向弧段，求平面第二型曲线积分17 设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明：18 设 =(x，y，z)|x 2+y23z，1z4 ，求三重积分19 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：20 设 A=(aij)Ann，A ij 是
5、A 中元素 aij 的代数余子式21 设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、第 j 列的元素 aij=i.j，求 ()r(A)； ()A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由22 等边三角形 ROT(如图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X ， Y)在三角形 ROT 内均匀分布) 求：()点 Q 到底边 0T 的距离的概率密度； ()f X|Y(x|y)23 设总体 X 的概率密度为 其中 ， 是未知参数利用总体 X 的如下样本值：一 05，03，一 02，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计
6、值与最大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 435 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由麦克劳林公式有， 所以当x0 时， 另一方面，由于 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，由带有佩亚诺余项的泰勒公式展开到 n=4，有推知 f(0)=0，f(0)=0， f“(0)=0， f“(0)=1，f (4)(0)任意，故应选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 由所给 f“(x)+(1 一 cosx)f(x)+xf(x)=sinx，有 f“(0)=0，f“(x)+sinx.f(x)+(1 一 cosx)f“(x)+xf(
7、x)+f(x)一 cosx，于是 f“(0)=1 一 f(0)=一 10，即有而 f“(0)=0，所以 于是存在 x=0 的某去心邻域 且 x0 时，f“(x)0，曲线 y=f(x)是凹的；当 x 且 x0 时，f“(x)0，曲线 y=f(x)是凸的故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 也可以举例说明(A)、(C)、(D)都不正确4 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(x)在( 一，+)上至少有 3 个零点又因 f(x)=sinx+6(2x 一 3)2+ ，f“(x)=2cosx+24(2x 一 3)，f“(x)=一 3sinx+480所以 f(x)在区间(一，+)上最多有 3 个
8、零点综上知，f(x)在( 一，+) 上正好有 3 个零点5 【正确答案】 B【试题解析】 A 34x=0 有通解 k(1，0，2，一 1)T将 A 按列分块，设A=(1， 2， 3， 4)，即有 1+O2+23 一 4=1+23 一 4=0，即 A2y=0 有非零解=(1，2，一 1)T，故应选 (B)其余选项(A)、(C)、(D)均不成立如(A) 选项，若(A)成立，即 A1y 一( 2， 3， 4)y=0 有非零解，设为( 1， 2， 3)，则有12+23+31=0，即 01+12+23+34=0，这和原方程组的通解 k(1，0，2，一1)T 矛盾故(A) 不成立， (C)、(D)类似6
9、【正确答案】 D【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)是平方和形式，故 f(x1，x 2，x 3)0方程组(*)的系数行列式 故对任意的以，方程组(*)都有唯一零解，即对任意 x0，均存在 f(x1，x 2，x 3)0，f 正定，故应选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 应用分布函数的必要条件排除，由于 Gi(x)(i=1，2，3，4)是分段函数形式，x=1 是分界点，于是立即想到要判断 =Gi(1)=0 是否成立因为0F(1)1，经计算得利用排除法，可得正确选项为(C) 8 【正确答案】 B【试题解析】 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX DY+14，把 DX=4，D
10、Y=5 代入上式，得Cov(X，Y)=20，故(C) 、 (D)错误；(A)选项不成立，因为 E(XY)=Cov(X，Y)+EXEY=2+22=6，而EXEY+2(DXDY)=22+2(45)=2；(B)选项成立，因为 D(XY)=DX+Dy 一 2Cov(X，Y)=4+DY 一 22=DY二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 02xsin8xdx=02(2t)sin 8sin(2t)(dt)= 0228tdt02tsin8tdt，因此 02xsint8xdx=02sin8tdt=02sift8tdt=11 【正确答案】 【试题解析】 代入原方程，得解之得
11、 sinu=Cx再以 由初始条件得出(x=2 时，y 取正)12 【正确答案】 x 2+y2 一 z2+4z 一 4=0【试题解析】 直线 L： 在 yOz 平面上的投影直线 l 的方程为 y+z2，即 y=2 一 z，它绕 Oz 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 即x2+y2=44z+z2，即如答案所示13 【正确答案】 【试题解析】 由题设条件|A|=0 知 A 有特征值 1=0，又由 A= 及 A= 知A(+)=+，A()= ( )，故 A 有特征值 2=1， 3=1A 是3 阶矩阵，有 3 个不同的特征值，故 AA，其中14 【正确答案】 22(02)【试题解析】 由中心极限定理三、解答
12、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设曲面上的点的坐标为(x，y，z)，其到平面 xyz=1 的距离为在约束条件 3x2+3y2 一 2xy 一 4z=0 下，求 d2 的最小值为此，令16 【正确答案】 17 【正确答案】 不妨认为 yx0(因若 xy0，则变换所给不等式左边的 x 与y，由行列式的性质知，左式的值不变)，则 由柯西中值定理，存在 (x，y)使上式 记 f(u)=eu 一 ueu，有 f(0)=1，f(u)=一 ueu0(u 0)，所以当 u0 时，f(u)1，从而知 e一 e1于是得证18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 |A
13、|=1，A 可逆，A *=|A|A1 =A1 =21 【正确答案】 () 由题设条件知()由 A 的特征多项式故 A 有特征值1=2= n 1=0， n= 当 1=2= n1 =0 时，方程组(EA)x=0 就是方程组Ax=0，其同解方程组是 x1+22+nxn=0，解得对应的特征向量为k11+k22+kn1 n1 ，其中 1=(一 2，1，0， 0)T， 2=(一3，0，1，0，0) T， n1 =(一 n，0，0，1) T，k 1，k 2，k n1 为不全为零的任意常数当 (nE 一 A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得方程组的同解方程组为解得对应的特征向量为 knn，其中 n=(1，2，n) T，k n 为任意的非零常数从而知 A 有 n 个线性无关特征向量，AA，取P=(1， 2， n1 ， n)=22 【正确答案】 () 因三角形 ROT 的面积为 故(X，Y) 的概率密度为点 Q(X，Y)到底边 OT 的距离就是 Y，因而求 Q 到 OT 的距离的概率密度，就是求(X，Y)关于 Y 的边缘密度，()如图：23 【正确答案】 因为 f(x；，)0 ，所以 a0，0又 +f(x；，)dx=1 0dx+01=+=1，
