1、考研数学（数学一）模拟试卷 436 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是( )（A）设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f(x)在(a，b)内没有零点（B）设 f(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在 (a，b)内至少有 2 个零点（C）设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a ，b) 内至多有 1 个零点（D）设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有 1 个零点2 设函数 则 f(x)的间断点( )（A）不存在（B）有 1 个（C）有 2
2、 个（D）有 3 个3 设 f(x)=3u(x)一 2v(x)，g(x)=2u(x)+3(x)，并设 都不存在下列论断正确的是( )4 设正项级数 收敛，正项级数 发散，则 中结论正确的个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设 A，B，C ，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足ABCD=0，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是( )（A）r10（B） 10r12（C） 12r16（D）r166 下列二次型中，正定二次型是( )（A）f 1(x1， x2，x 3，x 4)=(x1 一 x2)2+(x2
3、 一 x3)2+(x3 一 z4)2+(x4 一 x1)2（B） f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+z4)2+(x4+x1)2（C） f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1 一 x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 z4)2+(x4 一 x1)2（D）f 4(x1， x2，x 3，x 4)=(x1 一 x2)2+(x2+x3)2+(x3+z4)2+(x4+x1)27 设叉为来自总体 XN(， 2)(其中 2 未知)的一个简单随机样本的样本均值，若已知在置信水平 1 一 下， 的显著长度为 2，则在显著性水平 下，对于假设检验问题 H0：=
4、1 ，H 1：1，要使得检验结果接受 H0，则应有( )8 设 XP(2)，其中 0 是未知参数，x 1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本值，则P(X=0的最大似然估计值为( )二、填空题9 设 l 为曲线 y=y(x)在区间一 1x1上的弧段，则平面第一型曲线积 l(|x|3+y)ds=_10 设“一 u(x，y，2)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S为曲面 x2+y2+z2=2az(a0) 的外侧，则11 设 ex2 是 f(x)的一个原函数，则 0+x3f“(x)dx=_12 设 exsin2x 为某 n 阶常系数线性齐次微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是_，该方程为_
5、13 设 其中 ai(i=1，2，3)为实数，则存在可逆矩阵 C，使得 CTAC=B，其中 C=_14 设 Y 服从(0，3)上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则行列式的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数，并设介于曲线 与它的斜渐近线之间的从 x=1 延伸到 x+的图形的面积为有限值，求 b 及该面积的值16 求 y“+y一 2y=minex，1的通解17 设有向曲面 S 为锥面 的下侧，且介于 z=1 与 z=4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分18 ()证明 () 设 a 是满足 的常数，证明19 ()求幂级数 的收敛半径、收
6、敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数()求数项级数 的和，应说明理由20 已知 1， 2 及 1， 2 均是 3 维线性无关向量组 ()若 不能由 1， 2 线性表出，证明 1， 2， 线性无关 ()证明存在三维向量 ， 不能由 1， 2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表出21 设二次型 f(x1，x 2，x n)一 XTAX，且|A|0()证明：存在 n 维向量 0，使得 0TA00；()设 ，求 0，使得 0TA0022 设 X1，X 2，X n 来自总体 X 的一个简单随机样本，X 的密度函数为()求 的最大似然估计量 ，并求 ；()求 的矩估计量 ，并求 ；()数理统计中有一个均
7、方误差准则(MSE 准则)：23 设 是 的估计量，称 为估计量 与参数真值 的均方误差，简记为求证： 均方误差是评价点估计的最一般的标准，均方误差越小的估计越好请问在均方误差准则下，当 n2 时，哪个更好?考研数学（数学一）模拟试卷 436 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由罗尔中值定理，用反证法即可得其他均可举出反例例如，f(x)=x3x+6=(x+2)(x 2 一 2x+3)只有唯一零点 x=2，但 f(x)=3x21 有两个零点，所以(A)不成立此例也说明(B)不成立又例如 f(x)=2+sinx，在(一，+)内
8、没有零点，但 f(x)=cosx 在(一，+) 内有无穷多个零点，所以(D)不成立2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(x)有两个间断点3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=3u(x)一 2(x)，g(x)=2u(x)+3(x)可得举例说明(A)、(B)都不正确由于(C)正确，所以 (D)必不正确4 【正确答案】 A【试题解析】 正项级数 所以当 n 足够大时，有必收敛的反例： 的反例：的反例： 可见只有正确5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A0，D0，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2 ，|B|0，|C|0 ，故 r(B)=4，r(C)=4 从而有 r(A)+
9、r(B)+r(C)+r(D)10又由 ABCD=0，其中 B，C 可逆，得 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12故 10r126 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 存在 x1(1，1，1，1) T，使得 f1(x1)=0，f 1 不正定 (B) 存在 x2(1，一 1，1，一 1)T，使得 f2(x2)=0，f 2 不正定 (C) 存在 x3(1，1，一 1，一 1)T，使得f3(x3)=0，f 3 不正定 由排除法知，应选 (D)7 【正确答案】 D【试题解析】 因 2 未知，置信区间为 则置信区间长度为 要使得检验结果接受 H0
10、，则应有8 【正确答案】 D【试题解析】 先求 的最大似然估计值的一般形式对于样本值 x1，x 2，x n，似然函数为两边取自然对数得解得 的最大似然估计值 由于函数 u=e 具有单值反函数 =一 lnu，由最大似然估计的不变性知 PX=0)=e 的最大似然估计值为 ex 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 为 t 的偶函数，所以 为 x 的奇函数，所以10 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 3；y“一 3y“+7y一 5y=0【试题解析】 所以方程至少有 3 个特征根：1，1+2i，12i特征方程为
11、(r 一 1)r 一(1+2i)r 一(12i)=0，即 r3 一 3r2+7r 一 5=0，微分方程为 y“一 3y“+7y一 5y=013 【正确答案】 【试题解析】 A 是实对称矩阵，其对应的二次型为 f=xTAx=(x1，x 2，x 3)=a1x12+(a1+a2)x22+(a1+a2+a3)x32+2a1x1x2+2a1x1x3+2(a1+a2)x2x3=a1(x1+x2+x3)2+a2(x2+x3)2+a3x32得f=a1y12+a2y22+a3y32，其中14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 介于曲线 与它的斜渐近
12、线 y=x 一 1 之间的从 x=1 延伸到 x+的图形的面积为 显然 h(x)在(1，+) 上无奇点，又 b 为常数，故 x 足够大时，h(x)恒为正或恒为负，所以 A 与I=1+h(x)dx 的敛散性相同而 如果 b1 时，那么无论 b1 还是 b1，都有 I 发散，即 A发散，均与 A 为有限值矛盾，故 b=一 1，此时 A=ln216 【正确答案】 将 y“+y一 2y=minex，1的右边写成分段表达式：分别解之对于 y“+y2y=e x，特征方程为 r2+r2=(r+2)(r1)，对应的齐次微分方程的通解为 Y=C1e2x +C2ex令非齐次微分方程的一个特解为y1*=Axex，由
13、待定系数法可求得 故相应非齐次微分方程的通解为对于 y“+y2y=1 ，容易求得通解为为使所得到的解在 x=0 处连续且一阶导数连续，则C1，C 2，C 3，C 4 之间应满足 解得 从而得原方程的通解为 其中 C1，C 2 为任意常数17 【正确答案】 S 下侧的单位法向量记为 n=(cos，cos ，cos) 所给曲面可写为 x2+y2 一 z2=0，n=(2x，2y，一 2z)，18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 令 u=x2，化为 u 的幂级数 所以收敛半径R=1，收敛区间为 (一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一1，1)当 x=1 时，易知原幂级数
14、收敛，所以收敛域为一 1，1在收敛域一1，1上，令其和函数为 在区间(一 1，1)内，令 ()由于幂级数的和函数 S(x)在其收敛域上为连续函数，所以由()得到的 S(x)的表达式，有20 【正确答案】 () 设有数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k3=0，其中 k3=0(若k30，则 (k11+k22)，这和 不能由 1， 2 线性表出矛盾)则k11+k22=0已知 1， 2 线性无关，得 k1=k2=0故 1， 2， 线性无关()1， 2 是 2 个 3 维向量，不可能表出所有 3 维向量， 1， 2 也一样若 不能由1， 2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表，则 即为所
15、求现设 1 不能由 1， 2线性表出，但可由 1， 2 线性表示，设为 1=x11+x22；设 2 不能由 1， 2 表出，但可由 1， 2 线性表出，设 2=y11+y22，则向量 =1+2 既不能由 1， 2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表出，向量 即为所求因若 =1+2=k11+k22，则1= 2=(k1 一 y1)1+(k2 一 y2)2，这和 1 不能由 1， 2 线性表出矛盾(或2=+2(k1 一 x1)1+(k2x2)2，这和 2 不能由 1， 2 线性表出矛盾)21 【正确答案】 设 A 有特征值 i，i=1，2， n，则 可知 A 有奇数个特征值小于零设 00，其对应的
16、特征向量为 0，则有 A0=00，其中00两边左乘 0T，得 0TA0=00T0因 00，故有 0T00又 00，故0TA0=00T00，得证存在 n 维向量 0，有 0TA00()由()可知先求 A 的特征值 =(+4)(2一 7+122)=(+4)(2)(5)得 A 的负特征值 0=一 4由( 0EA)X=(4E A)X=0，22 【正确答案】 () 设在(0，1) 上随机投掷两点 X1，X 2(0X 1，X 21)，则(X1，X 2)服从区域 (0，1)(0，1)上的二维均匀分布，其联合概率密度 f(x1，x 2)=1，令 X=|X1 一 X2|0，1)当 x0 时，F X(x)=0；当 xl时，F X(x)=1；当 0x1 时，其中 D 如图中阴影所示23 【正确答案】 () 似然函数为显然 L()是 的单调增函数，因此 的最大似然估计量为 又 Xmin 的密度函数为 g(x)=nen(x) ，x，故()MSE 准则的定义得到
