1、考研数学（数学二）模拟试卷 436 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微3.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：2.00）A.f(x，y)在 D 取到最小值和最大值B.f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在 D 内取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在 D
2、 内既取不到最大值又取不到最小值4.设 f(t)= arctan(1+x 2 +y 2 )dxdy，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.x=x 0 为 f(x)的极大值点B.x=x 0 为 f(x)的极小值点C.(x 0 ，f(x 0 )为曲线 y=f(x)的拐点D.(x 0 ，f(x 0 )不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)f(x+a)D.f(b+y)
3、f(a+y)7.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：2.00）A.至少有一个根B.只有一根C.没有根D.有无根无法确定8.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 1 A * P 1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为B.设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化C.设 A 有
4、r 个非零特征值，则 r(A)=rD.正定矩阵一定可逆二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 t0，D t =(x，y)0xy，ty1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方组 AX=0 的解， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_1
5、7.设 y=y(x)由 x 3 +3x 2 y2y 3 =2 确定，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_18.设 g(x)二阶可导，且 f(x)= （分数：2.00）_19.讨论方程 lnx=kx 的根的个数（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)， 使得 abe = 2 f()f()（分数：2.00）_21.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等
6、，求 f(x)（分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 z= 满足 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 436 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微 解析：解析：由 =0=f(0，0)得 f(x，y
7、)在(0，0)处连续， 即 f(x，y)在(0，0)处可偏导且 f x (0，0)=0，f y (0，0)= 3.设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足： （分数：2.00）A.f(x，y)在 D 取到最小值和最大值B.f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在 D 内取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值 解析：解析：对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为 ACB 2 = 4.设 f(t)= arctan(1+x 2 +y 2 )dxdy，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.
8、D.解析：解析：由 f(t)= arctan(1+x 2 +y 2 )dxdy= 0 2 d 0 t rarctan(1+r 2 )dr =2 0 t rarctan(1+r 2 )dr 5.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.x=x 0 为 f(x)的极大值点B.x=x 0 为 f(x)的极小值点C.(x 0 ，f(x 0 )为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x 0 ，f(x 0 )不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：f(x 0 )= 0， 由极限的保号性，存在 0，当 0
9、xx 0 时， 6.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.0B.f(x+b)C.f(x+b)f(x+a) D.f(b+y)f(a+y)解析：解析： a b f(x+y)dy= a b f(x+y)d(x+y)= a+x b+x f(u)du， 则 7.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：2.00）A.至少有一个根B.只有一根 C.没有根D.有无根无法确定解析：解析：当 x1 时，由 f(x)f(1)=f()(x1)k(x1)得 f(x)f(1)+k(x1)，于是8.设 A 为三阶矩阵，特征值为 1 = 2 =1，
10、 3 =2，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 3 ， 2 + 3 ， 3 )，则 P 1 1 A * P 1 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A * 的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ， 9.下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为B.设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化C.设 A 有 r 个非零特征值，则 r(A)=rD.正定矩阵一定可逆 解析：解析：若 A 为正定矩阵，则 i 0(i=1，2，n)， 由A= 1 2 n 0 得
11、 r(A)=n，应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 t0，D t =(x，y)0xy，ty1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dxdy）解析：解析：令 = ，由 f(x，y)连续得 f(1，2)=3， 由 14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
12、：正确答案：*）解析：解析：15.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方组 AX=0 的解， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1 =0， 2 =2， 因为 A 为实对称阵，所以 1 T 2 =k 2 2k+1=0，解得 k=1， 又因为E+A=0，所以 3 =1 为 A 的特征值，令 3 =1 对应的特征向量为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 y=y(x)由 x 3 +3x 2 y2y 3 =2 确定，求 y=y(
13、x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 +3x 2 y2y 3 =2 两边对 x 求导得 3x 2 +6xy+3x 2 y6y 2 y=0， )解析：18.设 g(x)二阶可导，且 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1， 当 f(x)在 x=0 处连续时，a=g(0) )解析：19.讨论方程 lnx=kx 的根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：情形一：当 k=0 时，方程只有唯一实根 x=1； 情形二：当 k0 时，令 f(x)=lnxkx(x0)， 情形三：当 k0 时，f(x)= k0，f
14、(x)在(0，+)内单调增加， 由)解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)， 使得 abe = 2 f()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：21.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案
15、：(正确答案：曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积为 0 x f(t)dt；曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长为 ，根据题意得 两边对 x 求导得 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 令 D 0 ：x 2 +(y+1) 2 1， )解析：23.设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 z= 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(1)=1 得 C 1 =1，于是 f(x)= )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a6，a+2b40 时，因为 r(A) ，所以 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)当 a6，a+2b4=0 时， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，表达式为 =2 1 2 +0 3 ； 当 a=6 时， )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A= 得 解得 a=3，b=1，=1 ()由EA= =(1)(4)=0 得 1 =0， 2 =1， 3 =4 将 =0 代入(EA)X=0 得 AX=0， 将 =4 代入(EA)X=0 得(4EA)X=0， )解析：
