1、考研数学（数学二）模拟试卷 436 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微2 设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：，则( )（A）f(x，y)在 D 取到最小值和最大值（B） f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(x，y)在 D 内取到最大值取不到最小值（D）f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值3 设 f(t)= arctan(1+x
2、2+y2)dxdy，则 为( )4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f(x 0)0，则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大值点（B） x=x0 为 f(x)的极小值点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 f(x)连续，则 abf(x+y)dy 为( )（A）0（B） f(x+b)（C） f(x+b) f(x+a)（D）f(b+y)f(a+y)6 若 f(x)C1，+)，在1 ，+) 内可导，f(1)0， f(x)k0，则在(1 ，+) 内 f(x
3、)=0( )（A）至少有一个根（B）只有一根（C）没有根（D）有无根无法确定7 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1=(1 3， 2+3， 3)，则 P11 A*P1=( ) 8 下列结论正确的是( ) （A）设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为（B）设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化（C）设 A 有 r 个非零特征值，则 r(A)=r（D）正定矩阵一定可逆二、填空题9 积分 =_10 设 t0，D t=(x，y) 0xy，ty1)，则11 =_12 设 z=f(x，y)连续，且 =2，则 dz (1，2
4、) =_13 =_14 设 A 为三阶实对称矩阵， 为方组 AX=0 的解， 为方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0 ，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y=y(x)由 x3+3x2y2y 3=2 确定，求 y=y(x)的极值16 设 g(x)二阶可导，且 f(x)= ()求常数 a 的值，使得 f(x)在 x=0 处连续； ()求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性17 讨论方程 lnx=kx 的根的个数18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)， f(a)=f(b)=1证明：存在， (a，b)， 使得 abe =
5、2f()f()19 设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积值与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长值相等，求 f(x)20 计算 ，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域21 设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 z= 满足=0，若 f(1)=0，f(1)=1，求 f(x)22 设 ()当 a，b 为何值时， 不可由 1， 2， 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示，写出表达式23 设 为矩阵 A 的特
6、征向量 ()求 a，b 的值及 对应的特征值 ；() 求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 436 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 =0=f(0，0)得 f(x，y) 在 (0，0)处连续，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导且 fx(0，0)=0，f y(0，0)=故f(x，y)在(0，0)处可微选 (D)2 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为ACB 2= 0，所以 D 内任意一点都不是最值点，故 f(x，y)在D 内既取不到最小值又取不到最大值选
7、(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(t)= arctan(1+x2+y2)dxdy=02d0trarctan(1+r2)dr=20trarctan(1+r2)dr选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x 0)= 0，由极限的保号性，存在 0，当 0xx 0 时， 0当 x(x0，x 0)时，f“(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C) 5 【正确答案】 C【试题解析】 abf(x+y)dy=abf(x+y)d(x+y)=a+xb+xf(u)du，则=f(b+x)f(a+x)，选(C)6 【正确答案】 B
8、【试题解析】 当 x1 时，由 f(x)f(1)=f()(x 1)k(x1)得 f(x)f(1)+k(x1)，于是 =+因为 f(x)在1，+)上连续且 f(1)0，所以 f(x)=0 在(1，+)内至少有一个根又因为 f(x)k0，所以 f(x)单调增加，于是 f(x)=0 在(1，+)内有且仅有一个根，选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 若 A 为正定矩阵，则 i0(i=1，2，n)， 由A = 12 n0得 r(A)=n，应选(D) 二、填空题9 【正确答案】 【试题
9、解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 令 = ，由 f(x，y) 连续得 f(1，2)=3 ，由=2 得 f(x，y)2x+yf(1，2)=o()，即 z=f(x，y)f(1，2)=2(x 1)(y2)+o(p)，故 dz (1，2) =2dxdy13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以 1T2=k22k+1=0，解得 k=1，又因为E+A=0，所以 3=1 为 A 的特征值，令3=1 对应的特征
10、向量为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 x 3+3x2y2y 3=2 两边对 x 求导得 3x 2+6xy+3x2y6y 2y=0，3x2+6xy+3x2y6y 2y=0 两边对 x 求导得 6x+6y+6xy+3x2y“12yy 26y 2y“=0，x=0 时，y“(0)=10，x=0 为极大点，极大值为 y=1； x=2 时，y“(0)=10，x=2 为极小点，极小值为 y=116 【正确答案】 () 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，当 f(x)在x=0 处连续时，a=g(0)所以 f(x)在 x=0 处连续17 【正确答案】 情形一：当
11、 k=0 时，方程只有唯一实根 x=1；情形二：当 k0 时，令 f(x)=lnxkx(x0)，情形三：当 k0 时，f(x)= k0，f(x)在(0 ，+)内单调增加，由得方程有且仅有一个实根18 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 由微分中值定理，存在 (a，b)，使得所以 abe =2f()f()19 【正确答案】 曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x ，0) 且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积为 0xf(t) dt；曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长为，根据题意得 两边对 x 求导得20 【正确答案】 由对称性得
12、 令D0：x 2+(y+1)21，21 【正确答案】 由 f(1)=1 得 C1=1，于是 f(x)= ，故 f(x)=lnx+C2，又由 f(1)=0 得 C2=0，故 f(x)=lnx22 【正确答案】 (1)当 a 6，a+2b40 时，因为 r(A) ，所以 不可由 1， 2， 3 线性表示；(2)当 a6，a+2b4=0 时， 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =21 2+03；当 a=6 时，23 【正确答案】 () 由 A=得 解得 a=3，b=1，=1()由EA = =(1)(4)=0 得 1=0， 2=1， 3=4将=0代入(EA)X=0 得 AX=0，将 =4代入(EA)X=0 得(4EA)X=0，
