1、考研数学（数学三）模拟试卷 436 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则（A）x=0 是 f(x)的无穷间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点（B） x=0 是 f(x)的可去间断点， x=1 是 f(x)的无穷间断点（C） x=0 是 f(x)的无穷间断点， x=1 是 f(x)的跳跃间断点（D）x=0 是 f(x)的跳跃间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点2 曲线 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 则有（A）F(1)=0（B） F(1)=0（C）（D）4 设常系数线性微分方程 y+ay+2y=b ex 的一个特
2、解为 y=(1+x+ex)ey，则常数 a，b的值分别为（A）a=3 ，b=1（B） a=3，b=一 1（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 3，b=一 15 设非齐次线性方程组 Ax=b 无解，则必有（A）A 的行向量组线性无关（B） A 的行向量组线性相关（C） A 的列向量组线性无关（D）A 的列向量组线性相关6 设 A 为 nm 实矩阵，且秩 r(A)=n,考虑以下命题： AA T 的行列式AA T0； AA T 必与 n 阶单位矩阵等价； AA T 必与一个对角矩阵相似； AAT 必与 n 阶单位矩阵合同， 其中正确的命题数为（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X
3、 与 Y 相互独立，且 X 服从区间一 1，2上的均匀分布，Y 的分布律为 则概率 PXY=（A）（B）（C）（D）8 设总体 X 与 Y 都服从标准正态分布 N(0，1)，X 1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值与方差分别为 X，S X2 与 Y，S Y2，则（A）（B） SX2+SY2 2(2n 一 2)（C）（D）二、填空题9 曲线 上点 M 处的切线垂直于直线 2x 一 y=0，则点 M 的坐标为_10 微分方程 2x3y=y(2x2y 2)满足 y(1)=1 的解为_11 曲线 直线 y=2 及 y 轴所围的
4、平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为_12 无穷级数 =_。13 设 1=(1， 2，0) T， 2=(一 1，0，2) T 分别是 3 阶矩阵 A 属于特征值一 1，1 的特征向量，记 =(一 2，一 2，2) T，则 A=_14 从 1，2，5 这 5 个数字中不放回地每次取一个数，先后取两次，以 X，Y分别表示先后两次取到的数字，则 DY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 试就 a 的不同取值，讨论方程 的实根个数，并指出根所在的区间或位置17 设 z=xf(xy，xy 2)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求18 计算二重积分 其中D=
5、(x，y) x1 ，y1)18 设幂级数 在(一，+) 内收敛，其和函数 y(x)满足y一 2xy一4y=0，且 y(0)=0，y(0)=119 证明：20 求 y(x)的表达式21 已知线性方程组同解，求a，b，c 的值，并求其通解21 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3322 求矩阵 A 的特征值；23 问 A 能否相似对角化；若能，请求出相似变换矩阵 P 与对角阵 A；若不能，请说明理由24 设随机变量 X 的概率密度函数为 (I)求常数A 的值；()求 X 的分布函数；() 求 Y=2X+1 的概
6、率密度函数 g(y)25 设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，记 ()求 U 和 V 的联合分布；()求概率 PU0V=0)；()求 U 和 V 的相关系数考研数学（数学三）模拟试卷 436 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，1 是函数 f(x)的间断点又故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点而 故 x=1 是 f(x)的可去间断点2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 的定义域为(一，一 1)(0，+) 因故 y=1 是曲线的一条水平渐近线显然 x=0，一 1 是函数的
7、间断点，而 可见 x=一 1 是曲线的一条铅直渐近线，x=0 不是曲线的铅直渐近线又故曲线没有斜渐近线3 【正确答案】 C【试题解析】 当 x1 时， 当 x1时，显然 F(x)在(一，+)上连续，且 由于 f(x)不连续，故 F(x)不一定可导本题中 x=1 是 f(x)的第一类间断点，因此 F(x)一定不可导( 导函数没有第一类间断点)4 【正确答案】 D【试题解析】 因该方程的一个特解为 y=(1+x+e x)ey=ex+xex+e2x，根据方程右端函数f(x)=bex 可知，上述解中的 e2x 不可能是非齐次方程的特解，必对应齐次方程的通解项，从而可知对应齐次方程的特征方程有一个根为
8、1=2进而可知 xex 必是非齐次方程的一个特解，不可能是齐次方程的通解项，因此齐次方程的另一特征根为2=1，于是可得齐次方程的特征方程为 ( 一 2)(一 1)=0， 即 2 一 3+2=0 齐次方程为 y一 3y+2y=0 设非齐次方程为 y一 3y+2y=f(x)，将 y=xex 代入可求得f(x)=一 ex因此原方程为 y一 3y+2y=一 ey， 可见 a=一 3，b= 一 1，应选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 因 Amnx=b 无解 ，以此可推得 r(Amn)m否则，若 r(Amn)=m，则必有 r(A)=r(A，b)=m，与条件矛盾故应选(B)6 【正确答案】 D【试题
9、解析】 显然 AAT 为 n 阶矩阵由条件可知 r(AAT)=r(A)=n，故 ，正确 由于 AAT 是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而正确 因 AAT 的秩为 n，故二次型 xTAATx 的秩为 n，从而 x TAATx=(ATx)T(ATx)0，即 xTAATx 是正定二次型，故 AAT 与 n 阶单位矩阵合同，也正确7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 因 而 SX2 与 SY2 相互独立，故由 F 分布与 2 分布定义，知可见选项(D) 正确，(B)错误可见(A)，(C)都不正确二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 曲线上任意一点处的切线斜率为 又
10、直线2xy=0 的斜率为 2，故由题设可知 于是点 M 的坐标是10 【正确答案】 x 2=y2(lnx+1)【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 曲线 是双曲线 y2 一 x2=1 的第一象限部分由微元法，得所求体积为(以 y 为积分变量简单)12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 (0，2，2) T【试题解析】 由题设条件可知， A 1=一 1， A 2=2，= 2 一 1， 故 A=A(2 1)=A2A 1=2+1=(0，2，2) T14 【正确答案】 2【试题解析】 Y 的所有可能取值为 1，2，3，4， 5，且 PY=1)=PX=1，Y=1+PX=2，Y=1)
11、+PX=5，Y=1=0+PX=2)PY=1X=2)+PX=5PY=1X=5 同理可得故随机变量 Y 的分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 问题等价于讨论函数 的零点个数及位置显然 f(x)的定义域为( 一，+)因 故 f(x)没有驻点，但在 x=a 处 f(x)不存在当 x(-，a) 时，f(x) 0；x (a，+)时，f(x)0，故 f(a)=一 a 一 2 是函数 f(x)在( 一 ，+) 内的极小值也是最小值因此，若 a一 2，则f(a)0，此时 f(x)无零点，原方程没有实根；若 a=一 2，则 f(a)=0，此时 f(x)
12、有唯一零点，原方程有唯一实根 x=a；若 a一 2，则 f(a)0，而由零点定理可知，f(x)在(一，a)与(a， +)内各有一个零点，分别为原方程的实根17 【正确答案】 18 【正确答案】 画出积分区域 D 的图形如图所示要先处理被积函数中的最小函数，为此用 y=x 分 D 为 D1，D 2 两部分，则要处理被积函数中的绝对值函数，利用对称性结论将简单些为此用 y=一 x 再划分 D1，D 2 分别为D11,D12,D21，D 22，考虑到 xxy是 x 的奇函数，而 D12 关于 y 轴对称；yxy是 y 的奇函数，而 D22 关于 x 轴对称，故有19 【正确答案】 因幂级数在(一，+
13、) 内收敛，故其和函数 y(x)在(一，+) 内任意阶可导，故有20 【正确答案】 由(I)可知，a 2=a4=a2n=0n=12，21 【正确答案】 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得取 x2，x 4 为自由变量，得基础解系为 1=(一 1，1，一 4，0) T， 2=(一 a，0，一3a，1) T代入() 中，得 方程组(I)与()的通解为 x=k1(一 1，1，一 4，0) T+k2(20，6，1) T，k 1，k 2 是任意常数22 【正确答案】 将题设三个向量等式条件合并成一个矩阵等式，得(A1， A2，A 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)，即有因 1， 2， 3
14、 线性无关，故矩阵C=(1， 2， 3)可逆，于是有 即矩阵 A 与 B 相似，从而 A 与 B 有相同的特征值由得矩阵 B 的特征值为 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，423 【正确答案】 对于矩阵 B，求方程组(EB)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =1 的两个线性无关的特征向量 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T求方程组(4EB)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =4 的特征向量 3=(0，1，1)T令 P1=(，) ，则有 P1 一 1BP1= 从而有 P1 一 1C 一1ACP1= 即(CP 1)一 1A(CP1)= 故矩阵 A 可相似对角化，且相似变换矩阵为 P=CP1=(1， 2， 3) =(一 1+2，一21+3,2+3)24 【正确答案】 (I)25 【正确答案】 (I)如图所示，因二维随机变量(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布，故 因U 和 V 的所有可能取值都是 0，1，且故(U，V) 的分布律为()由(I)可得 U，V，UV 的分布律分别为
