1、考研数学（数学一）模拟试卷 460 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y= ( )（A）有一个驻点。（B）有两个极值点。（C）有一个拐点。（D）在整个定义域上凹凸性不变。2 若 y=xex+x 是微分方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1。（B） a=1，b=1，c=-2 。（C） a=-3，b=-3，c=0。（D）a=-3，b=1 ，c=1 。3 设幂级数 an(x-2)n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 (x-2)2n 的收敛半径为( )（A）2。（B） 4。（C）（D）无法确定。4 设 D 是由抛
2、物线 y=x2 与曲线 y= 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 f(x， y)dxdy=( )5 线性方程组 Ax=b 经初等变换其增广矩阵化为 若方程组无解，则 a=( )（A）-1 。（B） 1。（C） 2。（D）3。6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+a22+ax32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 是正定的，则( )（A）a-2。（B） -2a -1。（C） a0。（D）a1。7 设 A，B，C 是三个随机事件， P(ABC)=0，且 0P(A)C1，则一定有( )（A）P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。（B） P(A+B)|C=P(A|C
3、)+P(B|C)。（C） P(A+C)+C)=P(A)+P(B)+P(C)。（D）P(A+B) )。8 设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是( )（A）E(X-Y)=0。（B） D(X-Y)=0。（C） E(X2-Y2)=0。（D）EX(Y-E(Y)=0。二、填空题9 10 设函数 f(x，y，z)=xy 2z3，则 rot(gradf)=_。11 设 z= ，则 dz|(1，0) =_。12 与曲线(y-2) 2=x 相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为_。13 设 n 阶方阵 A、B 相似，A 2=2E，则行列式|AB+A-
4、B-E|=_。14 某乒乓球厂生产的乒乓球的直径服从正态分布，其标准差长期稳定在 5，现抽取了一个容量为 n=400 的样本，测得其直径的样本均值为 40 毫米，则这批乒乓球直径的置信水平为 095 的置信区间为_。(注：标准正态分布函数值(196)=0 975，(1 645)=095。)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 求函数 f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)的极值。17 设函数 f(x)=sinx-0x(x-t)f(t)dt，其中 f(x)是连续函数，求 f(x)的表达式。18 设对 x0 的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面都有 xf(x)dydz-xy
5、f(x)dzdx-ze2xdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+) 内具有连续一阶导数，且 f(x)=1，求 f(x)。18 设函数 f(x)=x+ ，数列 xn满足 x1=1 且 xn+1=f(xn)，19 求 f(x)的极值；20 21 已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，它的三个解向量为 1， 2， 3，且 1+22=(2，0，5，-1) T， 1+23=(4，3，-1，5) T， 3+21=(1，0，-1，2) T，求方程组的通解。22 设实二次型 f=xTAx 经过正交变换化为标准形 f=2y12-y22-y32，又设 =(1，1，1) T满足 A*=，求 A。22 袋中
6、装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi 表示第 i 次取到的白球数，i=1，2。23 求(X 1，X 2)的联合分布；24 计算 PX1=0，X 20和 PX1X2=0。25 设总体 X 的概率分布为其中(012)是未知参数，利用总体 X 的样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值和最大似然估计值。考研数学（数学一）模拟试卷 460 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 y= 的定义域是除了 x=-1 的全体实数，对其求导，可知导函数有两个零点，即
7、 x=1 和 x=-3，故函数有两个驻点。函数二阶导函数是 可知 y“只有一个无定义的点 x=-1，没有零点，且y“(1)0，y“(-3)0，故 x=1 是极小值点，x=-3 是极大值点，即函数有两个极值点。注意到 x=-1 不是定义域的内点，所以 x=-1 不是函数的拐点，故函数不存在拐点，但是 y“在 x=-1 的左、右两侧符号相反，所以 x=-1 是函数凹凸性的分界点，即当x-1 时，函数是凸的，当 x-1 时，函数是凹的。故选 B。2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是微分方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应齐次方程的 解，其特征方程 r2-2
8、r+a=0 有二重根 r1=r2=1，则 a=1；x 是非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“-2y+ay=bx+c 知 b=1，c=-2。故选 B。3 【正确答案】 A【试题解析】 幂级数 an(x-2)n 在 x=6 处条件收敛，因此 anxn 的收敛半径为R=4，因为 anxn 有相同的收敛半径，所以 xn 的收敛半径为4，因此 (x-2)2n 的收敛半径为 2。故选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D 如图所示： 可知两曲线的交点为(-1，1)和(1，1)。若先对 y 积分，再对 x 积分，则 虽然积分区域关于 y 轴对称，但 f(x，y)的奇偶性并不清楚，故选项
9、A 不对。若先对 x积分，再对 y 积分，则故选 B。5 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=-1 时，r(A)=4，r( )=4，方程组必有唯一解，故选项 A 不正确；当 a=1 时，仍有 r(A)=r( )=4，故选项 B 不正确；当 a=2 时，r(A)=r( )4，方程组有无穷多解，故选项 C 不正确；当 a=3 时， r(A)r( )，方程组无解，故选 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 二次型 f(x1x2，x 3)的矩阵为 ，因其是正定的，所以其顺序主子式全大于零，即一阶顺序主子式 a0；二阶顺序主子式 =a2-10，即 a1或 a-1 ；三阶顺序主子式 =(a-1)2(a+
10、2)0，即 a-2。取交集，得 a1。故选 D。7 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，由于 P(A)或 P(B)是否为零未知，因此选项 A 中的等式不一定成立。选项 B，P(A+B)C=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AC)+P(BC)，故 P(A+B)|C= =P(A|C)+P(B|C)，可见选项 B 正确。选项C，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(8c)+P(ABC)，由于不能确定P(AC)，P(AB) ，P(BC)的概率是否全为零，因此选项 C 不一定成立。选项D，P(A+B) )，而 P(AB )=P(AB)-
11、P(ABC)，其值是否为零不能判断，因此选项 D 中的等式也不一定成立。故选 B。8 【正确答案】 D【试题解析】 (X，Y) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是它们的相关系数 XY=0。而对任何两个随机变量 X 与 Y 有 XY=0 Cov(X，Y)=0 E(XY)=E(x)E(Y)，而 E(XY)=E(X)E(Y) 又可以变形为 E(XY)-E(X)E(Y)=EX(Y-E(Y)=0。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 当 x0 +时，10 【正确答案】 (0，0，0)【试题解析】 gradf=( )=(y2z2，2xyz 2，3xy 2z2)，rot
12、(gradf)=(6xyz 2-6xyz2，3y 2z2-3y2z2，2yz 2-2yz2)=(0，0，0)。11 【正确答案】 dy【试题解析】 在 z= 两边取对数得到 lnz= ln(x+y)-ln(x-y)，由一阶全微分形式的不变性，两边求全微分得到 当 x=1，y=0 时，x=1，代入上式得到 dz= (dx+dy)-(dx-dy)= dy，即 dz|(1，0) = dy。12 【正确答案】 y=-2x+【试题解析】 在曲线方程两边对，x 求导得 2(y-2)y=1，即 y= 当 y=3 时，y=12，即曲线在(1，3)处的法线斜率为-2，由 y= =-2，得y=74 ，x=116。
13、所以切点为(116，74)，切线方程为13 【正确答案】 1【试题解析】 因为方阵 A、B 相似，所以 A+E 与 B+E 也相似，故|A+E|=|B+E| ，则 |AB+A-B-E|=|(A-E)(B+E)|=|A-E|B+E| =|A-E|A+E|=|(A-E)(A+E)| =|A 2-E|=|E|=1。14 【正确答案】 (3951，4049)【试题解析】 根据题意，可构造统计量 N(0，1)。由置信水平 1-=095可得 =005，则分位数 z1-2 =z0975 =196，所以置信区间的上、下限分别为40+1 96 4049 和 40-196 =3951 ，即置信区间为(3951 ，
14、4049) 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 =e3，从而可知可解得=3-1=2。16 【正确答案】 解方程组 求得驻点(12， -1)，又因为 f“xx(x，y)=4(x+y 2+2y+1)e2x，f“ xy(x，y)=4(y+1)e 2x，f“ yy(x，y)=2e2x，所以 A=f“xx(12，-1)=2e0，B=f“ xy(12 ，-1)=0，C=f“ yy(12，-1)=2e。由 A0 且 AC-B2=4e20，可知在点(12，-1)处，函数取得极小值-e2。17 【正确答案】 由方程 f(x)=sinx-0x(x-t)f(t)dt 可知 f
15、(0)=0，且 f(x)可导。方程两边对 x 求导，得 f(x)=cosx-0xf(t)dt，且 f(0)=1，由 f(x)连续可知 f(x)可导，再对上式求导，得 f“(x)+f(x)=-sinx，该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2+1=0解得 =i，所以齐次微分方程的通解为 F(x)=C1sinx+C2cosx，由于i 是特征方程的根，所以设特解为 f*(x)=x(Acosx+Bsinx)，代入 f“(x)+f(x)=-sinx 可得A=12，B=0。故通解为 f(x)=C1sinx+C2cosx+ xcosx，代入初值 f(0)=0 和 f(0)=1可得 C1=1
16、2，C 2=0。故 f(x)= (sinx+xcosx)。18 【正确答案】 根据已知条件，结合高斯公式，有 0= xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-ze2xdxdy= (xf(x)+f(x)-xf(x)-e2x)dV，其中 是由 围成的有界封闭区域，由的任意性可知 xf(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x0)，即 f(x)+( e2x(x0) ，于是由于 所以(e2x+Cex)=0，即 C+1=0，C=-1 ，故 f(x)= ，x0。19 【正确答案】 令 f(x)=1- =0，解得驻点为 x=1，又因 f“(x)=2x 3，f“(1)=20，故 x=1 是极小值点，且 f(
17、1)=2；f“(-1)=-20，故 x=-1 是极大值点，且 f(-1)=-2。20 【正确答案】 由 xn+1=f(xn)=xn+ 可知，xn+12=xn2+ +2x n2+2x 12+2n=2n+1，于是有 xn2=xn-12+ +2x n-12+ +2x 12+2(n-1)+(1+ )，即 2n-1x n22n-1+(1+ )，所以 由极限的夹逼准则可知， =1。21 【正确答案】 由 1+22=(2，0，5，-1) T， 1+23=(4，3，-1，5)T， 3+21=(1，0，-1 ，2) T 可得 1=(-23，-12，-13，-13)T， 2=(43， 12，83，-13) T，
18、3=(73，2，-13，83) T， 原方程所对的齐次线性方程组的解为 3-1=(3，3，0，3) T， 2-1=(2，32，3，0) T， 显然以上两个向量是线性无关的，而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，故基础解系只含有两个向量，所以方程组的通解为 x=c 1(3，3，0，3) T+c2(2，32，3，0) T+(-23，-1 ，-13，-13) T， 其中 c1，c 2 为任意常数。22 【正确答案】 由于 f=xTAx 经过正交变换化为标准形 f=2y12-y22-y32，可知 A 的特征值为 2，-1，-1 。又由于 A*=，等式两边同时左乘 A 可得|A|=A，其中|A|=2
19、，可知 即为矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量。由于 A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知属于特征值-1 的特征向量满足 x1+x2+x3=0，解得基础解系为 1=(1，-1 ， 0)T， 2=(1，0，-1) T。可知 1， 2 即为属于特征值-1 的两个线性无关的特征向量。令 P=(， 1， 2)= 则有23 【正确答案】 X 1 的可能取值为 0，1；X 2 的取值为 0，1，2。由乘法公式可得PX1=0，X 2=0=38C 22C 72=156；PX 1=0， X2=1=38 C21C51C 72=528；PX 1=0，X 2=2=38 C52C 72=528；PX
20、1=1，X 2=0=58 C32C 72=556；PX 1=1，X 2=1=58 C41C31C 72=514；PX 1=1，X 2=2=58C 42C 72=528。得联合分布与边缘分布如下表：24 【正确答案】 根据上题中所求结果可得 PX1=0，X 20=PX1=0，X 2=1+PX1=0，X 2=2= =514，PX 1X2=0=1-PX1X20=1-PX1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=2=1-( )=1328。25 【正确答案】 (矩估计)E(X)=0 2+12(1-)+22+3(1-2)=3-4，已知 =2，令E(X)= ，解得 的矩估计值为 =14。(极大似然估计)对于给定的样本值，极大似然函数为 L()=2(2(1-)22(1-2)4=46(1-)2(1-2)4，lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2)， 令 =0，解得 1，2 =12 不符合题意，因此 的最大似然估计值为
