1、考研数学（数学一）模拟试卷 470 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且 f(x)在 x=0 处连续（D）可导但 f(x)在 x=0 处不连续2 若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f(x)-f(x)=x，则 -f(x)cosxdx=( )（A）f()-f(-)（B）（C） f()-f(-)（D）3 极限 =( )（A）0（B） 1（C） -1（D）24 设 F(x)= ，则 F(0)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）不存在5 设 n 维列向量 1，
2、2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2不可由 1， 2， 3 线性表示，则对任意常数 k 必有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关6 下列各组矩阵相似的是( )7 对于任意两个事件 A 和 B，( )（A）若 AB ，则 A，B 一定独立（B）若 AB= ，则 A，B 有可能独立（C）若 AB= ，则 A，B 一定独立（D）若 AB= ，则 A， B 一定不独立8 设 X1，X 2，X n，为独立同分布序列，且 X 服
3、从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，Z n= Xi 近似服从_（A）N(2 ，4)（B）（C）（D）N(2n ，4n)二、填空题9 曲线 的斜渐近线方程为_10 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex-yey=zez 所确定，则du=_.11 定积分 I= sinx.arctane xdx=_12 设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 (x+2y+3z)dxdydz=_.13 设 A 为 3 阶方阵，如果 A-1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式A11+A22+A33=_.14 设 A 和 B 独立，P(A)=0
4、5，P(B)=0 6，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0，证明存在一点 a，b，使abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx16 计算 ，其中为下半球面 的上侧，a 为大于零的常数17 设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，且具有连续的二阶导数证明：18 已知曲线 L 的方程为，计算曲线积分 I=L(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz19 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(a)=g(b)=1，在(a，b)内 f(x)，g(x) 可导，且 g(x)+g(x)0，f
5、(x)0证明：20 设方程组 ，有三个解：=(1，0，0) T，=(-1，2，0)T， =(-1，1，1) T记 A 为方程组的系数矩阵，求 A21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2， () 求二次型 f 的秩； ()求正交变换 Q，使二次型 f 化为标准形22 设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ()问 X，Y 是否独立?( ) 求 Z=2X+Y 的密度 fZ(z)；() 求 PZ323 设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y) 的分布函数，若已知 Cov(X，Y)= ()求a，b，c；( )求 E(X2+Y2)考研数学（
6、数学一）模拟试卷 470 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 先考查在 x=0 处 f(x)是否可导；若可导，则进一步考查 f(x)的连续性，否则只考查 f(x)的连续性当 x0 时，f(x)=arctan 当 x0 时，f(x)=arctan 所以因此 f(x)在 x=0 处可导，且 f(x)在 x=0 处连续故应选(C) 2 【正确答案】 B【试题解析】 利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可 -f(x)cosxdx=-f(x)dsinx=f(x)sinx - -f(x)sinxdx =-f(x)
7、dcosx=f(x)cosx -f(x)cosxdx =f(-)-f()-f(x)cosxdx =f(-)-f()-f(x)+xcosxdx =f(-)-f()-f(x)cosxdx-xcosdx =f(-)-f()-f(x)cosxdx-0 =f(-)-f()-f(x)cos xdx，移项，得 -f(x)cosxdx= 故应选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 因为所以 故应选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 由 F-(0)与 F+(0)便可得 F(0)当 x0 时，令 u=xt，则，从而 01f(xt)dt=0xf(u). du= 01f(u)du于是由导数定义：显然 F-(0)
8、=F+(0)=1，即 F(0)=1故应选 (A)5 【正确答案】 A【试题解析】 设有一组数字 1， 2， 3， 4，满足 11+22+33+4(k1+2)=0， 若 4=0，则有条件 1=2=3=0，从而推出 1， 2， 3，k 1+2 线性无关 若40，则 k1+2 可由 1， 2， 3 线性 表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，故2 也可由 1， 2， 3 线性表示，矛盾，所以， 4=0，从而(A)项正确对于其余三个选项，也可用排除法 当 k=0 时，可排除(B)、(C)项；当 k=1 时，可排除(D)项 故应选(A) 6 【正确答案】 B【试题解析】 因为相似矩阵的秩相等，由
9、 的秩为 1，而 的秩为 2，故(A) 项中的矩阵不能相似因为相似矩阵的行列式的值相等，由于=8，故(C)项中的矩阵不相似因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等由于 的对角线元素之和为 6，而的对角线元素之和为 4，故(D)中的矩阵不相似因此只能选 (B)事实上， 都与对角矩阵 相似，因而相似故应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB 推不出 P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出事件 A，B 一定独立，排除(A)项；若 AB= ，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C)、(D)项也不成立；故正确选项为(B)故应选(B)8 【正确答案】 B【试题解析
10、】 E(X)= =2，D(X)= =4，则当 n 充分大时， Xi 近似服从N(2n，4n) ，可者 Xi 近似服从 故应选 (B)二、填空题9 【正确答案】 y=x+【试题解析】 直接用斜渐近线方程公式进行计算即可因为=1故所求斜渐近线方程为 y=x+ 故应填 y=x+10 【正确答案】 【试题解析】 利用多元函数全微分公式与隐函数求导法即可得设 F(x，y，z)=xex-yey-zez，则 F x=(x+1)ex，F y=-(y+1)ey，F z=-(z+1)ez11 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分的性质、换元积分法及恒等式： arctane x+arctane-x I=-sinx
11、.arctanex.dx+ sinx.arctanex.dx对于积分 -sinx.arctanexdxsint.arctane-t(-dt)= sint.arctane-t.dt= sinx.arctane-xdx 代入上式，于是，故应填12 【正确答案】 【试题解析】 在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算利用轮换对称性，知 ，于是 (x+2y+3z)dxdydz= xdxdydz=601xdx01-xdy01-x-ydz =01xdx01-x(1-x-y)dy=301(x-2x2+x3)dx 故应填13 【正确答案】 1【试题解析】 注意到 A11+A22+A33 恰为伴随矩阵 A*的主
12、对角线元素之和，即 A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出 A*的特征值即可因为 A-1 的特征值为 1，2，3，所以A -1=123=6，从而A = 又因为AA*=AE= E，所以 A*= A-1故 A*的特征值为 所以 A11+A22+A33=1故应填 114 【正确答案】 【试题解析】 利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果故应填三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0，由最值定理，知 f(x)在a ，b上有最大值 M 和最小值 m，即 mf(x)M ，故 mg(x)f(x
13、)g(x)Mg(x)所以 abmg(x)dxabf(x)g(x)dxabMg(x)dx，即 m M由介值定理知，存在 a，b，使 即 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx16 【正确答案】 补一块有向平面 S-： 其法向量与 z 轴正向相反，从而得到其中，为+S -围成的空间区域，D 为 z=0 上的平面区域 x2+y2a2于是【试题解析】 由于已知积分曲面是非封闭曲面，因此补上一块有向曲面 S-，使+S-构成封闭曲面，然后利用高斯公式即可17 【正确答案】 对方程两边分别对 x，y 求导，可得由此解得，所以， 将上式分别对x，y 求导，得x， y，相加得到【试题解析】 利用隐函数
14、求偏导数的方法是直接求偏导数；并注意在求导过程中将 z 看作因变量， x，y 看作自变量，求出相应的偏导数并整理即可得所求的结论18 【正确答案】 参数法由 L 的方程： 知若以 为参数，则L 的方程可表示为 所以 I=L(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz= +cos).sin+2sin.cos-2cos2.sin3d= -sin.cos+2cos2.sin3)d= (2sin2.cos-1)sin.cosd【试题解析】 本题可采用两种方法计算曲线积分：一种方法是直接将曲线积分化为定积分；另一种方法是利用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分进行计算19 【正确答案】 令 (x
15、)=exg(x)，则由题设可知 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是存在 (a，b)，使得 又因为 g(a)=g(b)=1，所以 又令 (x)=ex，则 f(x)，(x)在a， b上满足柯西中值定理，于是存在 (a，b)，使得 由(*)、(*)可得【试题解析】 ，将 和 均看作变量，则上式可写成 辅助函数可令 (x)=exg(x)，(x)=ex20 【正确答案】 () 将方程组(i) 改写为 令 ，得(i) 的基础解系 1=(0，-1 ，1，0) T， 2=(-1，0，0，1) T，故方程组(i) 的通解为 k11+k22，k 1，k 2 为常数又将方程组 (ii)改写为 令，得(
16、ii)的基础解系 1=(0，1，0，-2) T， 2=(-2，0，1，0) T，故方程组(ii)的通解为 k 11+k22，k 1，k 2 为常数(11)联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换，可得从而解得基础解系 =(-2，-1，1，2)T所以方程组(i)和(ii)的公共解为 k，k 为常数【试题解析】 若两个方程组都给了一般表示式，则求公共解，只需联立求通解即可21 【正确答案】 () 实对称矩阵 A 的特征多项式为 E-A=(-1) 2(-3)，故 A 的特征值为 1=2=1， 3=3于是，A 与对角矩阵 相似，又因为 A 与 B 相似，故 B
17、也与对角矩阵 相似，因此，B 的特征值为 1=2=1， 3=3，且R(E-B)=1，又因为 x+5=1+2+3=5，解得 x=0由得 y=-2，z=3()经计算可知，将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P1= ，即 P1-1AP1= 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2= ，即 P2-1BP2= 取 P=P1P2-1=有 PAP=P 2P1-1AP1P2-1=P2 P2-1=B.【试题解析】 将 A，B 分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B 相似22 【正确答案】 ()X 的概率密度为 fX(x)= 在 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为
18、 当 0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=f X(x)fYX (yx)= 在其他点处，有f(x，y)=0，即 () 当 0y1 时，Y 的概率密度为 fY(y)=-+f(x，y)dx= y1 dx=-lny；当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0因此()PX+Y1【试题解析】 利用条件密度公式求出 f(x，y)，再利用 f(x，y)求边缘密度及概率23 【正确答案】 () 设 T=X1+X2，其中 X1，X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间因为 XE(5)(i=1，2)且相互独立，故 X1，X 2 的密度函数为则由卷积公式 f(t)-+fX(t-y)fY(y)dy，可得()因为 XiE(5)(i-1 ，2)且相互独立，由 E(Xi)= ，D(X i)= (i=1，2)，可得 E(T)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)= D(T)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=【试题解析】 先求随机变量之和的分布，再利用指数分布求期望和方差
