[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷486及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学一)模拟试卷 486 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续,且 则( )(A)x=0 为极大值点(B) x=0 为极小值点(C) (0,f(0)为拐点(D)x=0 不是极值点,(0,f(0) 也不是拐点2 圆 的面积为( )(A)16(B) 8(C) 4(D)23 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 y(x)dx为( )(A)一 ln3(B) ln3(C)(D)4 设 f(x,y)在(0,0)处连续,且 则( ) (A)f(x,y)在(0,0)处不可偏导(

2、B) f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微(C) fx(0, 0)=fy(00)=4 且 f(x,y)在(0,0)处可微分(D)f x(0,0)=f y(0,0)=0 且 f(x,y)在(0 ,0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 的解,则( )(A)当 t2 时,r(A)=1 (B)当 t2 时,r(A)=2(C)当 t=2 时,r(A)=1 (D)当 t=2 时,r(A)=26 设 A,B 为三阶矩阵且 A 不可逆,又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )(A)8(B) 16(C) 2(D)07 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(

3、x)+08F 1(2x),其中 F1(y)是服从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函数,则 D(X)为( )(A)036(B) 044(C) 064(D)18 设总体 XN(0, 2),(X 1,X 2,X 3)为总体 X 的简单随机样本, 为样本均值,S2 为样本方差,则 =( )(A)(B) 4(C)(D) 2二、填空题9 设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为10 11 过点(2 ,3)作曲线 y=x2 的切线,该曲线和切线围成的图形的面积为_12 设 f(x)在区间-3 ,0) 上的表达式为 f(x)= 则其正弦级数在点 x=20 处收敛于 _13 设 A 为三阶实对称

4、矩阵, 为方程组 AX=0 的解, 为方程组(2EA)X=0 的一个解,|E+A|=0,则 A=_14 设总体 XE(),且 X1,X 2,X n 为总体 X 的简单随机样本,令则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2,),且 un(1)= 求级数 un(x)的和函数16 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)=g(b)=0,g(x)0,试证明存在 (a,b) 使17 设 L: (x0,y0),过 L 上一点作切线,求切线与抛物线所围成面积的最

5、小值18 设 u=f(x, y)满足 du=y2dx+(2xy+1)dy,且 f(0,0)=1,计算 其中是 被 x2+(y 一 1)2=1 所截的部分19 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行,当飞行到原点时被发现,随即从 x 轴上点(x0,y 0)处发射导弹向飞机击去,其中 x00若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件; ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T20 设 的一个特征向量(I)求常数 a,b 的值及1 所对应的特征值;()矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化,对 A 进行相似对角化;若 A 不

6、可对角化,说明理由21 当常数 a 取何值时,方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时,求出其通解22 设随机变量 X 在(1,4)上服从均匀分布,当 X=x(1x4)时,随机变量 Y 的条件密度函数为 fY|X(y|x)= (I)求 Y 的密度函数;()求 X,Y 的相关系数;() 令 Z=XY,求 Z 的密度函数23 设总体 X 的密度函数为X1,X 2,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,令 (I)求 Y 的分布函数;()讨论 作为参数 的估计量是否具有无偏性考研数学(数学一)模拟试卷 486 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案

7、】 B【试题解析】 因为f(x)连续,所以 f(0)=0,再由极限保号性,存在 0,当 0|x| 时,f(x)0=f(0),即 x=0 为 f(x)的极小值点,应选 (B)2 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2+z2 一 4x 一 2y+2z19 化为 (x 一 2)2+(y 一 1)2+(z+1)225,球的半径为 R=5,球心(2,1,一 1)到平面 2x+2yz+2=0 的距离为截口圆的半径为 截口圆的面积为 16,应选 (A)3 【正确答案】 D【试题解析】 令 P(x,y)=2xy, Q(x,y)=x 2 一 1,因为 所以2xydx+(x2 一 1)dy=0 为全微分方程由

8、 2xydx+(x2 一 1)dy=0,得 2xydx+x2dydy=0,整理得 d(x2yy)=0,通解为 x2yy=C由初始条件 y(0)=1 得 C=一 1,从而特解为 y(x)= 于是 应选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0,0)=1,因为 一 1x 2+y2,所以其中 为当(x,y)(0,0)时的无穷小,于是f=f(x , y)一 f(0,0)=0x+0y+ 故 f(x,y)在(0,0)处可微,且 fx(0,0)=f y(0,0)=0 ,选(D) 5 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2 时, 1 一 2= 为 AX=0 的两个线性无关的解,从而 3 一 r(

9、A)2,r(A)1,又由 AO 得 r(A)1,即 r(A)=1,应选(A)6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1, 2, 3),由 AB+2B=O 得 Ai=一 2i(i=1,2,3),由 r(B)=2 得 =一 2 至少为 A 的二重特征值,又由 r(A)3 得 3=0,故 1=2=-2, 3=0,A+4E 的特征值为 1=2=2, 3=4,故|A+4E|=16,应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1),其密度函数为 f1(x)= 其分布函数为且 E(X1)=D(X1)=1,则 E(X12)=D(X1)+E(X1)2=2由E(X)=-+xf(x)dx=02 -+

10、xf1(x)dx+16 -+xf1(2x)dx=02E(X 1)+04 -+2xf1(2x)d(2x)=02E(X 1)+04E(X 1)=06,E(X 2)=-+x2f(x)dx=02 -+x2f1(x)dx+16 -+x2f1(2x)dx =02E(X 12)+02 -+(2x)2f1(2x)d(2x)=02E(X 12)+0 2E(X12)=08,得 D(X)=E(X2)一E(X) 2=08036=044,选(B)8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(a,a 2),由已

11、知条件得 解得 a=1 及 a=3,切点分别为(1,1) 及(3,9),两条切线分别为 L1:y 一 1=2(x1),即 L1:y=2x-1;L 2: y 一 9=6(x 一 3),即 L2:y=6x-9,所围成的面积为 A=12x2 一(2x 一 1)dx+23x2 一(6x 一 9)dx=12(x 一 1)2dx+23(x 一 3)2dx=12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓,则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数,13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为1=0,2=2,因为 A 为实对称矩阵,所以 1T

12、2=k2 一 2k+1=0,解得 k=1,于是又因为|E+A|=0,所以 3=一 1 为 A 的特征值,令 3=-1 对应的特征向量为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 un(x)=un(x)+xn-1ex,即 un(x)一 un(x)=xn-1ex 得16 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt,显然函数 (x)在区间a,b上连续,函数 (x)在区间(a, b)内可导,且 (x)=f(x)xbg(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt =f(x)xbg(

13、t)dt+g(x)axf(t)dt 另外,又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a,b) 使 ()=0,即 f() bg(t)dt+g()af(t)dt=0,由于 g(b)=0 及 g(x)0,所以区间(a,b)内必有 g(x)0,从而就有 xbg(t)dt0,于是有17 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x,y) L,过点 M 的 L的切线方程为 令 Y=0,得 切线与 x 轴的交点为 令X=0,得 切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 S(x,y)= 其次求最优解18 【正确答案】 由 du=y2dx+(2xy+1)dy=y2dx+2xy dy+

14、dy=d(xy2+y)得 f(x,y)=xy2+y+C,由 f(0,0)=1 得 C=1,从而 f(x,y)=xy 2+y+119 【正确答案】 (I)设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t),y(t),其运行轨迹方程为y=y(x)在某时刻 t0,飞机的位置为 B(0,vt),因为导弹的速度方向始终指向飞机,从而在 t 时刻,导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等,于是有 两边对 x 求导数,得因为导弹的速度大小为2v,所以y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0,y(x 0)=020 【正确答案】 (I)根据特征值、特征向量的定义,有 A1=1,即于是有 解得 a=1,b=1,=3,则()由|EA|=0,得 1=2=2, 3=32E A= 因为 r(2EA)=2,所以 A 不可对角化21 【正确答案】 原方程组的通解为 X=k(一 1,0,1) T+(2,一 1,0) T(k 为任意常数);若 a1,则当 a=2 时,方程组无解; 原方程组的通解为 X=k(1,1,1) T+(2,2,0) T(k 为任意常数)22 【正确答案】 (I)随机变量 X 的边缘密度函数为 fX(x)= 则(X, Y)的联合密度函数为则 Y 的边缘密度函数为 fY(y)=-+f(x,y)dx23 【正确答案】

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