1、考研数学（数学一）模拟试卷 486 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 则( )（A）x=0 为极大值点（B） x=0 为极小值点（C） (0，f(0)为拐点（D）x=0 不是极值点，(0，f(0) 也不是拐点2 圆 的面积为( )（A）16（B） 8（C） 4（D）23 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）一 ln3（B） ln3（C）（D）4 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 则( ) （A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（
2、B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)=fy(00)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0 ，0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 的解，则( )（A）当 t2 时，r(A)=1 （B）当 t2 时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1 （D）当 t=2 时，r(A)=26 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2则|A+4E|=( )（A）8（B） 16（C） 2（D）07 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(
3、x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）036（B） 044（C） 064（D）18 设总体 XN(0， 2)，(X 1，X 2，X 3)为总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，S2 为样本方差，则 =( )（A）（B） 4（C）（D） 2二、填空题9 设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为10 11 过点(2 ，3)作曲线 y=x2 的切线，该曲线和切线围成的图形的面积为_12 设 f(x)在区间-3 ，0) 上的表达式为 f(x)= 则其正弦级数在点 x=20 处收敛于 _13 设 A 为三阶实对称
4、矩阵， 为方程组 AX=0 的解， 为方程组(2EA)X=0 的一个解，|E+A|=0，则 A=_14 设总体 XE()，且 X1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，令则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，)，且 un(1)= 求级数 un(x)的和函数16 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b) 使17 设 L： (x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最
5、小值18 设 u=f(x， y)满足 du=y2dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计算 其中是 被 x2+(y 一 1)2=1 所截的部分19 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v (I)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T20 设 的一个特征向量(I)求常数 a，b 的值及1 所对应的特征值；()矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不
6、可对角化，说明理由21 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解22 设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的条件密度函数为 fY|X(y|x)= (I)求 Y 的密度函数；()求 X，Y 的相关系数；() 令 Z=XY，求 Z 的密度函数23 设总体 X 的密度函数为X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 (I)求 Y 的分布函数；()讨论 作为参数 的估计量是否具有无偏性考研数学（数学一）模拟试卷 486 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
7、】 B【试题解析】 因为f(x)连续，所以 f(0)=0，再由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时，f(x)0=f(0)，即 x=0 为 f(x)的极小值点，应选 (B)2 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2+z2 一 4x 一 2y+2z19 化为 (x 一 2)2+(y 一 1)2+(z+1)225，球的半径为 R=5，球心(2，1，一 1)到平面 2x+2yz+2=0 的距离为截口圆的半径为 截口圆的面积为 16，应选 (A)3 【正确答案】 D【试题解析】 令 P(x，y)=2xy， Q(x，y)=x 2 一 1，因为 所以2xydx+(x2 一 1)dy=0 为全微分方程由
8、 2xydx+(x2 一 1)dy=0，得 2xydx+x2dydy=0，整理得 d(x2yy)=0，通解为 x2yy=C由初始条件 y(0)=1 得 C=一 1，从而特解为 y(x)= 于是 应选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0，0)=1，因为 一 1x 2+y2，所以其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是f=f(x ， y)一 f(0，0)=0x+0y+ 故 f(x，y)在(0，0)处可微，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0 ，选(D) 5 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2 时， 1 一 2= 为 AX=0 的两个线性无关的解，从而 3 一 r(
9、A)2，r(A)1，又由 AO 得 r(A)1，即 r(A)=1，应选(A)6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1， 2， 3)，由 AB+2B=O 得 Ai=一 2i(i=1，2，3)，由 r(B)=2 得 =一 2 至少为 A 的二重特征值，又由 r(A)3 得 3=0，故 1=2=-2， 3=0，A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故|A+4E|=16，应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 f1(x)= 其分布函数为且 E(X1)=D(X1)=1，则 E(X12)=D(X1)+E(X1)2=2由E(X)=-+xf(x)dx=02 -+
10、xf1(x)dx+16 -+xf1(2x)dx=02E(X 1)+04 -+2xf1(2x)d(2x)=02E(X 1)+04E(X 1)=06，E(X 2)=-+x2f(x)dx=02 -+x2f1(x)dx+16 -+x2f1(2x)dx =02E(X 12)+02 -+(2x)2f1(2x)d(2x)=02E(X 12)+0 2E(X12)=08，得 D(X)=E(X2)一E(X) 2=08036=044，选(B)8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(a，a 2)，由已
11、知条件得 解得 a=1 及 a=3，切点分别为(1，1) 及(3，9)，两条切线分别为 L1：y 一 1=2(x1)，即 L1：y=2x-1；L 2： y 一 9=6(x 一 3)，即 L2：y=6x-9，所围成的面积为 A=12x2 一(2x 一 1)dx+23x2 一(6x 一 9)dx=12(x 一 1)2dx+23(x 一 3)2dx=12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数，13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0,2=2，因为 A 为实对称矩阵，所以 1T
12、2=k2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是又因为|E+A|=0，所以 3=一 1 为 A 的特征值，令 3=-1 对应的特征向量为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 un(x)=un(x)+xn-1ex，即 un(x)一 un(x)=xn-1ex 得16 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，显然函数 (x)在区间a，b上连续，函数 (x)在区间(a， b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt =f(x)xbg(
13、t)dt+g(x)axf(t)dt 另外，又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a，b) 使 ()=0，即 f() bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0，于是有17 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L的切线方程为 令 Y=0，得 切线与 x 轴的交点为 令X=0，得 切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为 S(x，y)= 其次求最优解18 【正确答案】 由 du=y2dx+(2xy+1)dy=y2dx+2xy dy+
14、dy=d(xy2+y)得 f(x，y)=xy2+y+C，由 f(0，0)=1 得 C=1，从而 f(x，y)=xy 2+y+119 【正确答案】 (I)设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)，y(t)，其运行轨迹方程为y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等，于是有 两边对 x 求导数，得因为导弹的速度大小为2v，所以y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0，y(x 0)=020 【正确答案】 (I)根据特征值、特征向量的定义，有 A1=1，即于是有 解得 a=1，b=1，=3，则()由|EA|=0，得 1=2=2， 3=32E A= 因为 r(2EA)=2，所以 A 不可对角化21 【正确答案】 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T+(2，一 1，0) T(k 为任意常数)；若 a1，则当 a=2 时，方程组无解； 原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0) T(k 为任意常数)22 【正确答案】 (I)随机变量 X 的边缘密度函数为 fX(x)= 则(X， Y)的联合密度函数为则 Y 的边缘密度函数为 fY(y)=-+f(x，y)dx23 【正确答案】
