1、考研数学（数学一）模拟试卷 489 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微2 设 f(x)= 且 f“(0)存在，则( )（A）a=2 ，b=2，c=1（B） a=一 2，b=一 2，c= 一 1（C） a=一 2，b=2，c=1（D）a= 一 2,b=2，c=一 13 4 设 f(x)满足： xf“(x)x 2f2(x)=1 一 e-2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小值点（B）
2、 x=0 为 f(x)的极大值点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 下列结论正确的是( ) （A）设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为（B）设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化（C）设 A 有 r 个非零特征值，则 r(A)=r（D）正定矩阵一定可逆7 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)=则 k 值为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，
3、用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a则 a 的最大值为( )二、填空题9 yzdx+3zxdy 一 xydz=_，其中 为曲线 从 z 轴的正向看，为逆时针方向10 设 连续，且 x2+y2+z2=xy(x+y-t)dt，则11 设 f(x)是以 2为周期的函数，当 x一 ，时，f(x)=f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则12 微分方程 x2y“一 2xy+2y=x+4 的通解为_ 13 设矩阵 不可对角化，则 a=_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤。15 计算二重积分 |x2+y2 一 1|d，其中 D=(x，y)|0x1，0y116 设 f(x)ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， abf(x)dx0，证明： (I)存在(a， b)，使得 af(x)dx=0； ()存在 (a，b)，使得 af(x)dx=f()17 设 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+y225)上的最大值与最小值18 求曲面积分 xdy dz+xz dz dx，其中，：x 2+y2+z2=1(z0)取上侧19 当陨石穿过大
5、气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它存进入大气层开始燃烧的前 3 s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?20 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解，有解时求出全部解21 (I)设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似( )设 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B22 设(X，Y)的联合密度函数为(I)求常数 k；()求 X 的边缘密度；() 求当 X= 下 Y 的
6、条件密度函数 fY|X(y|x)23 设随机变量 X1，X 2，X m-n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；() YZ考研数学（数学一）模拟试卷 489 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 =0=f(0，0)得 f(x，y) 在 (0，0)处连续故 f(x，y)在(0，0)处可微2 【正确答案】 C【试题解析】 f(00)=f(0)=c,f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，由 f(0)存在得 b=2，因为 f“(0)存在，所以 a=一 2，选(C)3 【正确答案】
7、C【试题解析】 选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 由 得 f(0)=0，f(0)=0 ，当 x0 时，由 xf“(x)一 x2f2(x)=1一 e-2x 得 f“(x)=xf2(x)+ 再由 f(x)二阶连续可导得 f“(0)=故 x=0 为 f(x)的极小值点，应选(A) 5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1，因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n 一 1，又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，应选 (B)6 【正确
8、答案】 D【试题解析】 若 A 为正定矩阵，则 i0(i=1，2，n)，由|A|= 12 n0 得r(A)=n，应选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 得 k=6，选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得 P|XE(X)| P1 一 X1+ P一 1X4P一 1X3P|X 一 1|2 则 a 的最大值为 选(C) 二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 设曲线 ： 所在的截口平面为，取上侧，其法向量为 n=0，一 3，1 ，法向量的方向余弦为 cos=0， 由斯托克斯公式得曲面：z=3y+1，其在 xOy,平面内的投影区域为 Dxy：x 2+y24y
9、，10 【正确答案】 (y)一 (x)一 2(x+y)【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x) ；当 x 为 f(x)的间断点时，S(x)=于是12 【正确答案】 y=C 1x+C2x2 一 xlnx+2【试题解析】 令 x=et，故原方程的通解为 y=C1x+C2x2 一 xlnx+213 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 由|EA|= =( 一 a)( 一 4)=0 得 1=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0或 a=4当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=
10、0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 符合题意；当 a=4 时，4EA=由 r(4EA)=2 得 2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化，a=4 符合题意14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D 2=DD1，16 【正确答案】 (I)由积分中值定理 ab(x)dx=f(c)(b 一 a)0，其中 ca，b，显然 f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点
11、定理，存在 x0(a，c)，使得f(x0)=0再由 f(x)单调增加得，当 xa,x0)时，f(x)0；当 x(x0,b时，f(x)0令F(x)=axf(t)dt，显然 F(x0)0，F(b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()= 0，即 af(x)dx=0( )令 (x)=e-xaxf(t)dt，(a)=()=0 ，由罗尔定理。存在(a， ) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e-xf(x)一 axf(t)dt且 e-x0，故 af(x)dx=d()17 【正确答案】 函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8 ，x 一 6，=gradf.cos，cos=gra
12、df.e=|gradf|cos，其中 e 为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角，令 H(x，y)=(x 一 6)2+(y+8)2，当x2+y2 25 时，因为 在 x2+y225 内无解，所以 H(x，y)的最大值与最小值在区域 D 的边界上取到 当 x2+y2=25， 令 F(x，y，)=(x 一 6)2+(y+8)2+(x2+y2 一 25)， 因为H(3，一 4)=25，H( 一 3，4)=225 ，所以 g(x，y) 在区域 D 上的最大值和最小值分别为 15 和 518 【正确答案】 令 0:z=0(x2+y21)，取下侧，则19 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，
13、半径为 r，它们都是时间 t 的函数，其中 V0 为燃烧前的体积20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，即当a=1，b=2，c=一 2 时，矩阵方程有解，21 【正确答案】 (I)设 A， B 的特征值为 1， 2， n.因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得于是 P1-1AP1=P2-1BP2，或(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B，令 P=P1P2-1，则 P-1AP=B，即矩阵 A，B 相似()由|EA|= =(+1)(一 1)2=0 得 1=一 1， 2=3=1；由|EB|=(+1)(一 1)2=0 得 1=一 1， 2=3=122 【正确答案】 23 【正确答案】 (I)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，()Cov(Y，Z)=CovE(X1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn,Xn+1+Xm+n)=(n 一 m)2，
