1、考研数学（数学三）模拟试卷 205 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x0 处连续，则下列命题错误的是( )（A） （B） （C） （D） 2 设 f(x)为可导函数，且满足条件 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B） 1（C） 12（D）23 （A） （B） （C） （D） 4 （A） （B） （C） （D） 5 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0
2、 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解6 设 A 是 n 阶矩阵，下列不是命题“0 是矩阵 A 的特征值 ”的充分必要条件的是( )（A）A 的行向量组线性相关（B）方程组 AX0 有非零解（C）对任何非零向量 b，方程组 AXb 都没有唯一解（D）存在自然数 k，使得 AkO7 设随机变量 X，Y 独立同分布且 X 的分布函数 F(x)，则 ZmaxX，Y 的分布函数为 ( ) （A）F 2(
3、x)（B） F(x)F(y)（C） 11F(x) 2（D）1 F(x)1F(y)8 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 设(x o，y o)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_11 12 设 yy(x) 可导，y(0) 2，令yy(xx) y(x)，且 其中 a是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_13 设 其中aiaj(ij，i ， j1，2， ，n)，则线性方程组 ATxB 的解是_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：当 0a b 时，bsinb 2cosb
4、basina2cosaa16 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a，+) 内存在且大于零，记 F(x)=证明：F(x)在(a，+)内单调增加17 设函数 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)f( 2)018 已知抛物线 ypx 2qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 xy5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (I)问p 和 q 何值时，S 达到最大值 ?()求出此最大值19 20 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩A n，A ij 是 A(a ij)nm 中元素aij(i，j1，2，n)的代数余子式，
5、二次型 f(x1，x 2，x n) (I)记 X(x 1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为 A1；(II) 二次型 g(X)XTAX 与 f(X)的规范形是否相同? 说明理由21 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 22， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 求 An22 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t的泊松分布(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q。23 设二维随机变量 X 和 Y
6、 的联合概率密度为求 X 和 Y 的联合分布 F(x，y) 考研数学（数学三）模拟试卷 205 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 D3 【正确答案】 A4 【正确答案】 A5 【正确答案】 D6 【正确答案】 B7 【正确答案】 A8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 y2axb，y(x o)2ax ob，过(x o，y o)点的切线方程为yy o(2ax ob)(x x o)，即 y(ax o2bx oc) (2ax ob)(xx o)，此切线过原点，把 xy0 代人上式，得ax o2b
7、x oc 2ax o2bx o，即 axo2c 所以系数应满足的关系式为 ca0 或 axo2c，b 任意11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设函数 F(x)xsinx+2cosxx ，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且F(x) xcosxsinx ，F()0，F(x)cosxxsinxcosxxsinx0 (x(0 ，)所以 F(x)在0，单调减少，从而 F(x)F() 0(x(0，)于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0ab 时，F(b)F(a)即 bsinb2cosbbasina2cosaa16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 由题设，本题实质是求幂指函数的极限20 【正确答案】 (I)由题设，21 【正确答案】 22 【正确答案】 由已知条件知，事件N(t)k表示设备在任何长为 t 的时间内发生 k 次故23 【正确答案】
