1、考研数学（数学三）模拟试卷 253 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 7 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且曰可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8 设 f(x)在( ，+)内有定义，且 则( )（A）x0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x0
2、处的连续性与 a 的取值有关二、填空题9 10 11 12 13 设(x o，y o)是抛物线 yax 2bxc 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_14 二次型 f(x1，x 2，x 3)(x 1x 2)2(x 2x 3)2(x 3x 1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 求曲线 ，直线 x=2 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积.18 设函数 y=y(x)往(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数19 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d2x/dy2+(y+sin
3、x)(dx/dy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；20 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解21 讨论下列函数在点 x0 处的连续性与可导性：22 利用三重积分计算下列立体 的体积：(1)(x，y，z) ，a0，b0，c0；(2)(x，y，z)x 2z 21，xy1；(3)(x，y，z)x 2y 2z 21，0yax，a023 判断下列级数的收敛性：24 考研数学（数学三）模拟试卷 253 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 A【
4、试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 C 的列向量组 1， 2， n 可由矩阵 A 的列向量组1， 2， n 线性表出 又矩阵曰可逆，从而 A=CB-1 那么矩阵 A 的列向量组也可由矩阵 C 的列向量组线性表出 由向量组等价的定义可知，应选 (B) 或者，可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系 故选(B)8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 -210 【正确答案】 1/(1-2a)11 【正确
5、答案】 012 【正确答案】 B=2E13 【正确答案】 y2axb，y(x o)2ax ob，过(x o，y o)点的切线方程为yy o(2ax ob)(x x o)，即 y(ax o2bx oc) (2ax ob)(xx o)，此切线过原点，把 xy0 代人上式，得ax o2bx oc 2ax o2bx o，即 axo2c 所以系数应满足的关系式为 ca0 或 axo2c，b 任意14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数微分学19
6、【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-1 所求初值问题的解为 y(x)=ex-e-x-1/2sinx【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 综合22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合24 【正确答案】
