1、考研数学（数学三）模拟试卷 260 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=x*tan x*esinx，则 f(x)是( ).（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数2 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x) ，且 则( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在3 下列各式中正确的是( ) 4 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为 ( ).5 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0，使得AB=0，则( )（A）=-2 且B=0（B） =-2
2、且B0（C） =1 且B =0（D）=1 且B06 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则AO 或BO7 设 A、B 为两随机事件，且 B A，则下列结论中肯定正确的是( )（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(BA)=P(B)（D）P(B-A)=P(B)-P(A)8 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )
3、（A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=minF X(z)，F Y(z)（C） FX(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)（D）F Z(z)=FY(z)二、填空题9 =_10 差分方程 yx+1-3yx=7*2x 的通解为_11 ，则出=_12 设 ，其中 f 可导，且 f，则 dy/dx t=0=_13 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1-E=_ 14 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= ，而 X1，X 2，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为_三、解答题解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。15 求极限16 曲线 的切线与 X 轴和 Y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?17 设 F(x)在闭区间0，c 上连续，其导数 F(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：F(a+b)F(a)+F(b)，其中常数，a，b满足条件 0aba+bc18 设 F(x，y)= ，x0，y0求：19 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：(b-a)220 k 为何值时，线性方程组 ，有唯一解、无解、有无穷多组解?在有
5、解的情况下，求出其全部解21 设矩阵 A= 已知线性方程组 AX= 有解但不唯一，试求()a的值；() 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵22 假设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 f(x)= ()已知事件 A=Xa和 B=Ya独立，且 P(AB）=3/4 ，求常数 a；( )求 1/X2 的数学期望23 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本，证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学（数学三）模拟试卷 260 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解
6、析】 令 x=2n+ /4(n=1，2，3，)，则 因此f(x)是无界函数，故应选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项因此(C)也可排除综上， 可能存在也可能不存在，所以选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，故应选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，故选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 AB=O 且 BO，则 Ax=0 有非零解，从而 A=O，即由此可排除(A)，(
7、B)又由于 B 也是三阶矩阵且AB=O，假设 BO，则 B-1 存在， 则 A=0，矛盾，所以B=0，综上，选(C)6 【正确答案】 C【试题解析】 取 显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取，但A =O 且B=O，故(D)不对， 由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所以选(C)7 【正确答案】 A【试题解析】 由 B A，得 A+B=A，所以有 P(A+B)=P(A)，故应选(A)8 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z =1-P(Xz，Yz)=1-P(Xz)P(Y
8、z) =1-1-P(Xz)1-P(Yz)=1-1-F X(z)1-FY(z)选(C)二、填空题9 【正确答案】 2/3【试题解析】 10 【正确答案】 C*3 x-7*2x【试题解析】 显然其齐次方程的通解为 yx=C*3x(C 为任意常数) 设其特解为yx=b*2x，所以有 b*2x+1-3b*2x=7*2x，从而得 b=-7 因此，原方程的通解为yx=C*3x-7*2x11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 3【试题解析】 由于13 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同，即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1
9、-E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1-E=1*2*3*4=2414 【正确答案】 1+【试题解析】 本题考查矩估计量的求法，由题设，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 当 a=0 时，f(0)=0 ，有 f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；当 a0 时，在0，a和b ， a+b上分别应用拉格朗日中值定理有显然 0 1ab 2a+bc，因 f(x)在0 ，c上单调减少，故 f(2)f(1)，从而有 总之，当0aba+bc 时，f(a+b)f(a)+f(b)总成立18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为
10、积分区域关于直线 y=x 对称，20 【正确答案】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形21 【正确答案】 () 由题设，AX= 的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同但小于 3，对增广矩阵做初等行变换，得不难推断出 a=-2因此 A=() 下面求 A 的特征值及特征向量由 AE=0，即可解出 1=3， 2=-3， 3=0，相应特征向量为单位化得 令22 【正确答案】 () 因 X 和 Y 同分布，所以 P(A)=PXa-PY a=P(B)，又 A和 B 独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)，于是 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P(A)2=3/4，解得 P(A)=1/2(因 P(A)=3/2 不合题意，舍去)23 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，
