1、考研数学（数学三）模拟试卷 261 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )2 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)03 设 ，则函数在原点处偏导数存在的情况是( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） x(0，o) 不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0，0)存在，f y(0，0)不存在（D） x(0，
2、0)，f y(0，0)都不存在4 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A） 3 2 1（B） 1 2 3（C） 2 1 3（D） 3 1 35 向量组 a1， a2，a m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 a1，a 2，a m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k1a1+k2a2+kmam0（C）向量组 a1，a 2，a m 的维数大于其个数（D）向量组 a1，a 2，a m 的任意一个部分向量组线性无关6 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B
3、有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似7 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+P =1，则( )（A）事件 A 和 B 互不相容（B）事件 A 和 B 互相对立（C）事件 A 和 B 互不独立（D）事件 A 和 B 相互独立8 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(X-C) 2=E(X-)2（B） E(X-C)2E(X-)2（C） E(X-C)2=E(X2)-C2（D）E(X-C) 2E(X-) 2二、填空题9 微分方程 的通解是_10 设 z=esinxy，则 d
4、z=_11 =_12 设连续函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_13 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E-aaT，B= ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_14 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N(2， 2)，X1，X 2，X n 和 Y1，Y 2，Y n 分别是来自 X 和 Y 的简单随机样本，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设17 设 ，其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g (0)=-1；()求f(x)；() 讨论 f(x)在(-，+)上的连续性18
5、 设 f(x)在a，b上连续，在(a，6) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0， ab)dx=0证明： ()存在 i(a，b)，使得 f(i)=f(i)(i=1，2)； ()存在 (a，b)，使得 f()=f()19 设 f(u)，g(u) 二阶连续可微，且20 设有三维列向量 () 可由a1，a 2，a 3，线性表示，且表达式唯一；() 可由 a1，a 2，a 3 线性表示，且表达式不唯一；() 不能由 a1， a2，a 3 线性表示21 已知齐次线性方程组 其中，试讨论 a1，a 2an 和 b 满足何种关系时：()方程组仅有零解；()方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系
6、22 假设一厂家生产的每台仪器，以概率 070 可以直接出厂，以概率 030 需进一步调试，经调试后以概率 080 可以出厂，以概率 020 定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(I)全部能出厂的概率 a；()其中恰好有两台不能出厂的概率 ；()其中至少有两台不能出厂的概率 23 设总体 X 的概率密度为 p(x，)= 其中 A0 为未知参数，a0是已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X，求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 261 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
7、。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项关于(A)，令 f(x)=x2，a=0，则 f(a)=f(a)=0，但f(x)=x 2 在 x=o 可导，因此(A)不正确；关于(C) ，令 f(x)=x，a=1，则 f(a)=10，f (a)=10，但f(x)= x在 x=1 可导，所以(C)也可排除；关于(D) ，令 f(x)=-x，a=1，则 f(a)=-10，f (a)=-10，但f(x)= x在 x=1 也可导，即(D)也可排除；关于 (B)的正确性证明如下：设f(a)=0，f (a)0，不失一般性，设 f(a)0，则 ，因而在
8、点 x=a 左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，记 (x)=f(x)，从而 (x)在 x=a 不可导，即f(x)在 x=a 不可导3 【正确答案】 B【试题解析】 所以fy(0，0)存在，故应选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，积分区域 D 上有(x 2+y2)。x 2+y2 (等号仅在区域 D 的边界上成立)，于是在积分区域 D 上有 cos(x2+y2)2cos(x2+y2) (等号仅在区域 D 的边界上成立)，由于三个被积函数都在区域 D 上连续，根据二重积分的性质，有 3 2 1，所以选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 a1，a 2，a m，
9、 线性无关有 a1，a 2，a m 线性无关，但反之不成立；(B)不对，因为 a1，a 2，a m 线性无关，则对任意一组非零常数 k1，k 2，k m 使得 k1a1+k2a2+kmam0，但反之不成立；(C) 向量组a1，a 2，a m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 a1= 线性无关，但其维数等于其个数，故选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 A 与 B 相似，则A-E=B-E，即 A 与 B 的特征值相同，若 A-E=B-E，则 A 与 B 相似，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-E=B-E 的结论，由此可知(A)，(B)不正确；此外，相似矩阵 A，B 不一定
10、可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以(C)也可排除；关于 (D)的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 PP-1(tE-A)P=P-1-tEPP-1-AP=tE-B，从而 tE-A 与 tE-B 相似综上选(D)7 【正确答案】 D【试题解析】 即P(AB)-P(AB)P(B)=P(B)P(A)-P(B)P(AB)，得 P(AB)=P(A)P(B)，即事件 A 和 B 相互独立，故应选(D) 8 【正确答案】 B【试题解析】 E(X-C) 2-E(X-)2=E(X2)-2CE(X)+C2-E(X2)-2(X)+2=C2+2E(X)E(X)-C-E(
11、X)2=C-E(X)20，选(B)二、填空题9 【正确答案】 Cxe -x【试题解析】 微分方程 是可变量分离的一阶微分方程， 分离变量得，积分得 lny=lny=ln x+C 1，即y=e C1xe -x， 所以，原方程的通解为 y=Cxe-x，C 为任意常数10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2e 2x-ex【试题解析】 =Ce2x-ex 因为 f(0)=1，所以 f(0)=C-1=1，C=2，于是 f(x)=2e2x-ex13 【正确答案】 1/2(负根舍去)【试题解析】 14 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，根据样本方差是方差的
12、无偏估计，知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设，16 【正确答案】 由题设，需先求出 f(x)的解析表达式，再求不定积分17 【正确答案】 当 x=0时，由导数的定义有而 f(x)在 x0处是连续函数，所以 f(x)在(-，+)上为连续函数18 【正确答案】 () 令 F(x)=axf(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)=0 令 h(x)=e-x(x)，则 h(a)=h(c)=h(b)=0， 由罗尔定理，存在1(a， c)， 1(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=
13、e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以 f(x)=f(i)(i=1，2) ()令 H(x)=exf(x)-f(x)，H (x)=exf(x)-f(x) H( 1)=H(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得H()=0， 注意到 ex0，所以 f()=f()19 【正确答案】 20 【正确答案】 设 x1a1+x2a2+x3a3=，提线性方程组其系数行列式A= =2(+3)( )若 0 且 -3，则方程组有唯一解，可由 a1，a 2，a 3 唯一地线性表示()若 =0，则方程组有无穷多个解， 可由a1，a 2，a 3 线性表示，但表达式不唯一()若 =-3，则方程组的增广矩
14、阵可是方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 不等秩，故方程组无解，从而 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示21 【正确答案】 由题设，设方程组的系数矩阵为 A，则()当b0 且 b+ 时，A0，r(A)=n，此时方程组仅有零解；( )当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2：+a nxn=0，由已知条件 ，知ai(i=1，2，n) 不全为 0，不失一般性，可假设 a10，则不难求得原方程组的一个基础解系为 由已知条件知 b0，则 A 可化为阶梯形 不难求得原方程组的基础解系为=22 【正确答案】 对于新生产的每台仪器，设事件 A=仪器需要进一步调试， B=仪器能出厂，则 =仪
15、器能直接出厂 ，AB=仪器经调试后能出厂，且B= +AB， 与 AB 互不相容 由已知条件有 P(A)=03，P(BA)=08 于是P(AB)=P(A)P(BA)=0308=0 24， P(B)=P( +AB)=P( )+P(AB)=1-03+0 24=094 设 X 为该厂家新生产的 n(n2)台仪器中能出厂的台数，则 X作为 n 次独立重复试验中成功(仪器能出厂)的次数，服从参数为(n，094)的二项分布，因此 a=PX=n=094 n： =PX=n-2=C n2006 2094 n-2 =PXn-2=1-PX=n-1-PX=n =1-Cn1006094 n-1094 n=1-006094 n-1n-094 n23 【正确答案】 由题设知，X 1，X 2，X n 独立同总体 X 的分布，所以 Xi 的密度函数为 P(xi，)，于是似然函数为 L()=L(x1，x 2，x n，)=当 xi0(i=1，2，n)时，L(x1，x 2， ，x n，)0，取对数似然方程
