1、考研数学（数学三）模拟试卷 265 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在区间-1 ，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)=0 且 f_(0)存在（B） f(0)=1 且 f_(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在3 设 ，其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在4 二元函数 f(x，y)=
2、 在点(0 ，0) 处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在5 设矩阵 A=(aij)33，满足 A*=A*，其中 AT 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )（A）（B） 3（C） 1/3（D）6 设 a1，a 2，a s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k1a1+k2a2+ksas0，则 a1，a 2，a s 线性无关（B）若 a1，a 2，a s 线性相关，则对于任意一组不全为零的
3、数k1，k 2，k s，有 k1，a 1，k 2a2+ksas=0（C） a1，a 2，a s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D）a 1，a 2，a s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关7 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)B=P(A1B)+P(A 2B)，则下列选项成立的是( )（A）P(A 1+A2)B=P(A 1)+P(A 2)（B） P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1+A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)8 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与
4、 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为( )（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fXfY(y)（D）f X(x)/fY(y)二、填空题9 设常数 A1/2，则 =_10 设 z=xyf(y/x)，f(u)可导，则 xzx+yzy=_11 微分方程 y+y=-2x 的通解为_12 =_13 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 A= ，E 为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则 B=_14 设总体 X 的概率密度为 f(x)=(1/2)e-x (-x+)，X 1，X 2，X n 为总
5、体X 的简单随机样本，其样本方差 S2，则 E(S2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求16 设 f(x)= ，试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性17 设 试补充定义 f(1)，使得 f(x)在1/2，1上连续18 设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xtn-1，求19 计算20 设线性方程组 ()与方程戈 x1+2x2+x3=a-1() 有公共解，求 a 的值及所有公共解21 设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1=1， 2=2， 3=-2，又 a1=(1，-1
6、，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证 a1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B22 设 X1，X 2，X n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本，记()证明 T 是 2 的无偏估计量；()当 =0，=l 时，求 D(T)23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，求：()(X， Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；()Z=2X-Y，的概率密度 fZ(z)；()考研数学（数学三）模拟试卷 265 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
7、合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ，即函数 g(x)在 x=0 处极限存在，则 x=0 是该函数的可去间断点，故应选(B)【知识模块】 函数的间断点2 【正确答案】 C【试题解析】 即 f(0)=0 且，f +(0)存在，故选(C) 【知识模块】 函数的连续性与右导数的概念3 【正确答案】 B【试题解析】 所以(B)为正确选项【知识模块】 利用洛必达法则及连续性求解即可4 【正确答案】 C【试题解析】 因此 f(x，y)偏导数存在，所以(C) 为答案【知识模块】 多元微分学的基本概念5 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知 A*=AT，即有 于是aij=Aij，i，j=1，2，3
8、，A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a1120又由A*=AT，两边取行列式并利用A *=A n-1 及A T=A 得A 2=A，从而A=1，即 3a112=1，于是 ，所以选(A) 【知识模块】 伴随矩阵、转置矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组线性相关和无关的定义根据定义，知(B)不正确，(A)正确，同时由向量组的秩的定义，知(C) 正确，由向量组在部分向量线性相关则必然整个向量组线性相关的结论，知(D)正确综上，选 (B)【知识模块】 线性相关、线性无关7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 又因为 P(B)0，所以有P(A1
9、+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，故应选(B) 【知识模块】 利用条件概率的定义及性质即得8 【正确答案】 A【试题解析】 因(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立， 两边求导得 fXY (xy)=fX(x)故应选(A)【知识模块】 条件概率密度二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由题设，原式【知识模块】 数列的极限10 【正确答案】 【试题解析】 利用复合函数求偏导的方法，得【知识模块】 复合函数求偏导数11 【正确答案】 c 1cosx+c2sinx-2x【试题解析】 特征方程 2+1=0，=i ，于是齐次方程通解为 设特解为 y*=Ax
10、，代入方程得 y*=-2x，所以 y=c1cosx+c2sinx-2x【知识模块】 二阶常系数微分方程的解法12 【正确答案】 2/3【试题解析】 【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 【试题解析】 由已知 A= ，则A=-20，由公式 AA*=A*A=AE化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E即分别以 A 左乘该方程，以 A-1 右乘该方程得-2B=2AB-8E，从而 2(A+E)B=8E，即(A+E)B=4E ，因此 B=4(A+E)-1，其中【知识模块】 矩阵方程14 【正确答案】 2【试题解析】 依题意，可得因为样本方差 S2 是总体方差的无偏估计，所以 E(S2)=D(X)=2【知
11、识模块】 无偏估计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 复合函数求导16 【正确答案】 连续性 所以 f(0)=0即 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0【知识模块】 函数的连续性、可导性17 【正确答案】 由题设，需补充 f(x)在 x=1 处的定义【知识模块】 函数的连续性、无穷小代换、洛必达法则18 【正确答案】 作变量代换 xn-tn=u，则 du=-ntn-1dt 于是于是19 【正确答案】 【知识模块】 二重积分的计算20 【正确答案】 因为方程组(1)，(2) 有公共解，可组成如下方程组：因为方程组(3)的增广矩阵所以当 a=
12、1 或 a=2 时，(1)与(2)有公共解当 a=1 时，方程组(3)化为 当 a=2 时，方程组(3)化为【知识模块】 线性方程组的解21 【正确答案】 () 容易验证 Ana1=1na1(a=1，2，3，)，于是 Ba 1=(A5+4A3+E)a1=(15-413+1)a1=-2a1 于是 -2 是矩阵 B 的特征值， k1a1 是 B 属于特征值-2 的全部特征向量(k 1R，非零) 同理可求得矩阵 B 的另外两个特征值 1，1 因为 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵曰属于不同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T 则有方程 x1-x2+x3=0于是求得 B 的属于 1 的全部特征向量为 =k2a2+k2a2，其中 a2=(-1，0，1) T，a 3=(1，1，0)T， k2，k 3R，不全为零(II) 令矩阵 P=(a1，a 2，a 3)= ，则 P-1BP=diag(-2，1，1) ，于是【知识模块】 矩阵的特征向量与特征值22 【正确答案】 () 由题设有【知识模块】 简单随机样本的无偏估计量及随机变量的数字特征23 【正确答案】 () 根据题意可得【知识模块】 二维随机变量的概率密度
