1、考研数学（数学三）模拟试卷 284 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数 y=f(x)的曲线如图所示，则 f(x)有（A）两个极小值点，一个极大值点，三个拐点（B）一个极小值点，一个极大值点，两个拐点（C）一个极小值点，一个极大值点，三个拐点（D）一个极小值点，两个极大值点，三个拐点2 函数 f(x)=cosx+xsinx 在 (一 2，2)内的零点个数为（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 设 z=fcos(x2+y2)一 1，ln(1+x 2+y2)，其中 f 有连续的一阶偏导数，则（A
2、）4f 2(0，0)（B） f1(0，0)+f 2(0，0) （C） 0（D）不存在4 设 f(x)在 一 ，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f (0)=a0，又 收敛，则 P 的取值范围是（A）（B）（C） (1，+)（D）1 ，+) 5 设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA6 设矩阵 则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X 与 Y，独立同分布， ，则 DXY =_.（A）1（B）（C）（D）8 设随机变量
3、 X1，X 2,X3，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知对给定的 (0满足 PYy=，则有（A）y y1-=1（B）（C）（D）二、填空题9 没 f(x)是单调减函数，满足 f(0)=1若 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 的一个原函数，且 F(x)G(x)一 1，则 f(x)=_10 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 y=_11 设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足： f(x，y)=f(x 0，y 0)+n(x 一 x0)+b(yy0)+。(p)(po)，其中 a，b 为常数， ，则12 设某产品的
4、需求函数 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 (00)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1 垂直16 求 L1 与 L2 交点的横坐标 x1；17 求 L1，L 2 与抛物线 y=x2 所围图形的面积 S(a)；18 问 a0 取何值时 S(a)取最小值19 计算二重积分 其中 D 为 x2+y2=1，x 2+y2=2x 所围中间一块区域20 设 f(x)是幂级数 在( 一 1，1)内的和函数，求 f(x)和 f(x)的极值21 求证 f(x)=x(1 一 x)cosx 一(12x)sinx0 当 时成立21 已知 A 是 3 阶矩阵，(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，
5、若 Ai=ii(i=1，2，3) ，令 =1+2+322 证明：，A ，A 2 线性无关；23 设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP23 设二次型 xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 A 满足 AB=0，其中24 用正交变换化二次型 xTAx 标准形，并写出所用正交变换；25 求：(A 一 3E)625 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 Y 的密度函数为2f(一 2y)，X 且 Y 的相关系数26 求 EZ，DZ；27 用切比雪夫不等式估计概率 PZ4 28 独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为
6、 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 100 元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W考研数学（数学三）模拟试卷 284 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知，f (x)有两个零点：x 120，且在 x1 两侧 f(x)由正变为负，即 f(x)先增后减，于是 x1 为极大值点；类似分析可知 x2 为极小值点x=0 为 f(x)不存在的点(第二类间断点 )，在 x=0 两侧均有 f(x)(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0) 为曲线 y=f(x 的拐点另外，除 x=0点
7、外，考察 f(x)的增减性，还有两个点使 f(x)在它们的两侧改变增减性，因此曲线y=f(x)在这两点也取得拐点综合上述分析，应选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0)=1 ，故只需讨论(0，2)内零点的个数又 由此可知，f(x)在 无零点f(x) 在 和 均单调且端点函数值异号因而各有唯一零点，所以 f(x)在 一 2，2 内共有 4 个零点3 【正确答案】 A【试题解析】 由闲数中 x，y 的对称性，有再用定义求 z(x，y)在点(0，0)处的二阶偏导数： 类似可得此外还有 从而故应选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 由 可知于是 故 有相同的敛散性，即当 收
8、敛时 收敛，因此 P 的取值范围是 应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则由 ABAC=E 知矩阵 A，B ，C 均可逆，那么由 ABAC=EABA=C -1CABA=E从而(CABA) T=ET，即 ATBTATCT=E，故 A 正确由 ABAC=E 知A-1=BAC，由 CABA=E 知 A-1=CAB，从而 BAC=CAB，故 B 正确由ABAC=ECABA=EACAB=E，故 D 正确由排除法可知， C 不正确，故选C6 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，一 3,0，故秩 r(A)=2，
9、二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1A 中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；C 中矩阵的特征值为 3，一 3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意对于 D，记其矩阵为 D，由可知 D 的特征值为 1，一 1，0x TAx 与xTDx 的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似( 因为特征值不同)，符合题意，故应选 D注意，(B)中矩阵的特征值为 1，4，0，正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1，与 A 既不合同也不相似，但等价 (因为秩相等)7 【正确答案】 C【试题解析】 Z=X Y，则 ZN(0，1)故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意可知
10、X12+X22 与 X32+X42 相互独立且都服从自由度为 2 的 X2分布，因此 Y= 因为 PYy=，即 y=F(2，2)，又而 所以由 =PYy可知 即 yy1-=1故应选 A二、填空题9 【正确答案】 e -x【试题解析】 将恒等式 F(x)G(x)一 1 两端求导数，得 F(x)G(x)+F(x)G(x)=0，把代入 E 式并化简，有分别积分可得 F(x)=C1ex 或 F(x)=C1e-x，求导数即得 f(x)=C1ex 或 f(x)=一 C2ex，利用 f(0)=1，可确定由于 C1=1，C 2=一 1，于是 f(x)=ex 或 f(x)=e-x，结合 f(x)是单调减函数，故
11、可确定 f(x)=e-x10 【正确答案】 【试题解析】 原方程可改写为 xdy+ydx+ydx+dx=0 即 从而方程的通解为 利用 y(1)=2 可确定常数 故所求特解满足y2+2xy+2x=10，解出即得11 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x 一 x0)+b(y 一 y0)+o(p)(P0)即知 f(x，y)在点(x 0， y0)处可微且12 【正确答案】 【试题解析】 需求对价格的弹性是 ，其中 Q 为需求量即产量，p 为价格依题意，有 收益函数 R=pQ，它对价格的边际即 由题意有所以13 【正确答案】 k(一 1，1，1) T，k0 为任意
12、常数【试题解析】 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0 必是 3 重根，且秩 r(0EA)=2由 ia ij 知 30=4+(一2)+1，得特征值 =1(3 重)又 因为秩r(EA)=2，因此有 a=一 2此时(EA)x=0 的基础解系是(一 1，1，1) T故 A 的特征向量为 k(一 1，1，1) T，k0 为任崽常数14 【正确答案】 【试题解析】 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于求出常数 a，再用二项分布的期掣求 EX由于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
13、【正确答案】 分子的不为零，当 n=2 时，分母的极限不为零，所以当 n=2 时，a=一 2e216 【正确答案】 抛物线 y=x2 在点(a，a 2)处的切线为L1：y=a 2+2a(x 一 a)，即 y=2ax 一 a2令一点(b，b 2)处的切线为 L2=b2+2b(x 一 b)，即 y=2bx 一 b2由 L1 与 L2 垂直 它们的交点(x 1,y1)满足于是17 【正确答案】 L 1，L 2 与 y=x2 所围图形的面积由 x1I 的表达式知，x1 一 b=a 一 x118 【正确答案】 求导解最值问题由时 S(a)取最小值19 【正确答案】 D 如图，关于 x 轴对称 于是其中
14、D1=Dyh0方法 1。 在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块) 其中，两圆周的交点是于是 方法 2。作极坐标变换，并选朋先埘 积分后对 r 积分的顺序x 2+y2=2x 的极坐标方程是 r=2cos，于是 D1 的极坐标表示是方法 3。作极坐标变换后，若选择先对 r 积分的顺序，则 D1 要分块表示：其中 x2+y2=1 与 x2+y2=2x 的交点对应的 于是20 【正确答案】 由于 根据幂级数存收敛区间内可以逐项求导，因此有 因此由 f(x)的表达式可知， f(x)在(一 1，1)内有唯一驻点 x=0，且 故 f(x)在 x=0 点取得极大值 f(0)=1【试题解
15、析】 先由 逐项求导可得 f(x)的解析式，再由此解析式求 f(x)的驻点与 f(x)21 【正确答案】 注意 f(x)在 上连续，且 先求其中 g(x)=2 一2x(1 一 x)显然， f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 放 g(x)在 单调下降，又因g(0)=2 从而存存唯一的 x0 使 g(x0)=0又由即知 从而故22 【正确答案】 由 A1=1，A 2=22，A 3=33，且 1,2,3 非零可知， 1,2,3 是A 的不同特征值的特征向量，故 1,2,3 线性无关又A=1+22+33，A 2=1+42+93，若 k1+k2A+k3A2=0
16、，即 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，则(k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0由 1,2,3 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关23 【正确答案】 因为 A3=1+82+273=611A+6A2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6 一 11A+6A2) 故24 【正确答案】 由 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0的解向量记 则 A1=0=01，A 2=0=02由此可知 =0 是矩阵 A 的特征
17、值(至少是二重)， 1， 2 是 =0 的线性无关的特征向量根据i=an 有 0+0+3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6 因此，矩阵 A 的特征值是0，0，6设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 解出 3=(1，2，一 1)T对 1， 2 正交化，令 1=(1，0，1) T，则再对 1， 2， 3 单位化，得 那么经坐标变换 x=Qy，即 二次型化为标准形 XTAx=yTAy=6y3225 【正确答案】 因为 A 一 A，有 A 一 3EA 一 3E，进而(A 一 3E)6(A 一 3E)6又 A 一 3E= 所以由 Q-1AQ=A 得 Q-1(A 一 3E)6Q=(A 一 3E)6=36E于是(A 一 3e)6=Q(A 一 3E)6Q-1=Q(36E)Q-1=36E26 【正确答案】 由此可知 而所以27 【正确答案】 由切比雪夫不等式28 【正确答案】 以 X 表示试验的次数，由题设知 X 服从几何分布，其分布为PX=n=pq n-1，n=1，2，q=1 一 P由题设知，试验总费用为Y 是随机变量 X 的函数，由随机变量函数的期望公式可得由于所以
