1、考研数学（数学三）模拟试卷 288 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(n-6，a+)时，必有5 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1, 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线
2、性表示6 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3O，则( )（A）E A 不可逆，E A 也不可逆（B） EA 不可逆，EA 可逆（C） EA 可逆，EA 也可逆（D）E A 可逆，E A 不可逆7 设 3 阶矩阵 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）ab 或 a2b0（B） ab 或 a2b0（C） ab 且 a2b=0（D）ab 且 a2b08 二、填空题9 极限 =_.10 11 12 13 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)：1，则 f“(2)=_.14 均匀的半球面 的重心的坐标为_.三、解答题解答应写出文
3、字说明、证明过程或演算步骤。15 16 已知弹簧自然长度为 06m，10 N 的力使它伸长到 1m，问使弹簧从 09m 伸长到 1m 时需要作的功17 计算函数 在区间a，a 上的平均值18 设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性19 证明：球面 x2y 2z 2a 2 上介于平面 zc 与 zch(accha) 之间的球带的面积仅与 h 的值有关20 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数21 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投
4、入量，Q 为产出量，若生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?22 设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 11， 22， 32，又 (1，l ，1) T是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 54A 3E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B23 考研数学（数学三）模拟试卷 288 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解
5、析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11，k 22，.,k mm 由于 不能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+lm-1m-1，则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模
6、块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 C7 【正确答案】 C8 【正确答案】 A二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由洛必达法则可得 从而令 作换元，可得x+对应 u0，于是10 【正确答案】 2f(x)11 【正确答案】 112 【正确答案】 -1/2,1/2)13 【正确答案】 2e 3【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由对称性知 (其中D：x 2 十 y2R2)【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 【知识模块】 综合17 【正确答案】 【知识模块】 综合18 【正确答案】 将方程看成关
7、于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得 ylny+y-1+y=0， 整理得 y(2+lny)=1， (*) 在(*) 式中令 x=l，y=1 可得 y(1)=1/2将(*)式两端再对 x 求导数，得 y“(2+lny)+y.y/y=0 y“=-(y) 2/y(2+lny) 在上式中令x=1，y=1,y=1/2 即得 y“(1)=-1/8【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 综合20 【正确答案】 由复合函数求导法，得21 【正确答案】 由题设知，本题要求的是总费用 p1x1+p2x2 在条件 2x1x2=12 下的最小值， 由此应采用拉格朗日乘数法，即令 F(x1， x2，)=
8、p 1x1+p2x2+(12-2x1x2).22 【正确答案】 (I)容易验证 An1 1n1(n1，2，3，)，于是B1(A 54A 3E) 1( 154 131) 12 1 于是2 是矩阵 B 的特征值，k11 是 B 属于特征值2 的全部特征向量(k 1R，非零)同理可求得矩阵 B 的另外两个特征值 1，1 因为 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵 B 属于不同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程 x1x 2x 3=0于是求得 B 的属于 1 的全部特征向量为 k 22k 33，其中2 (1，0， 1)T， 3(1，1，0) T，k 2，k 3R，不全为零23 【正确答案】 【知识模块】 综合
