1、考研数学（数学三）模拟试卷 300 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（B） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1（D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-13 4 5 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax
2、=0 只有零解中正确的是（A） （B） （C） （D） 6 设a n，b n，c n均为非负数列，且 ，则必有( )（A）a nn 对任意 n 成立 （B） bnn 对任意 n 成立（C）极限 不存在 （D）极限 不存在7 设 y=f(x)是微分方程 y“+y“一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某邻域内单调增加 （B） x0 的某邻域内单调减少（C） x0 处取极小值 （D）x 0 处取极大值8 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y=1/X 2，则_（A）YX 2(n)（B） YX 2(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)二、填空题9
3、 10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 16 设数列a n，b n满足 ean=ean 一 an(n=1，2，3，)，求证：17 若 an0，则 bn0；18 若 an0(17,=1，2，3，)， 收敛，则 收敛19 20 当物体的温度高于周围介质的湿度时，物体就不断冷却若物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为 TT(t)应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度?21 试求 a 的值，使得直线 yx 与曲线 ylog ax 相切，并求出切点的坐标22 求下列微分方程的通解:(1)ye 2xy ； (3)yye xsinx； (4)(y1)
4、2yx 30；(5)(x 24x)yy0； (6)ysinxylny；(7)cosxsinydxsinxcosydy0； (8)e xydx2(e x1)dy023 设 A，B，c 三点的向径依次为 r1，r 2，r 3 试用 r1，r 2，r 3 表示 ABC 的面积，并证明：A，B，C 三点共线的充分必要条件是 r1r2r 2r3r 3r1024 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R1514x 132x 28x 1x22x 2110x 22 (1)在广告费用
5、不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用 5 万元，求相应的最优广告策略考研数学（数学三）模拟试卷 300 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、D由 P-1AP=BP -1A=BP-1P -1A=BP-1，于是有 B(P-1)=P-1(A)=(P-1)故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A
6、的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 从而 ，故线性方程组Ax=b 必有解，正确下面只需判断或 正确即可若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选 B当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 m 有可能是 n+1，方程组 Ax=b可以无解所以不正确，你能举例说明吗 ?6 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 显然不对，因为由数列极限的不等式性质只能得出数列 “当 n充分大时”的情况，不可能得出“对任意 n 成立”的性质C 也明显不对，因为“无穷小.无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在故应选 D
7、【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 C【试题解析】 实质是 f“(x0)的取值的正负情况，代人微分方程即得将 f(x)代人方程有 f“(x)+f“(x)一 eminx=0将 x=x0 代入上式，有 f“(x0)=esinx0f(x0)=esinx00 故 f(x)在x=x0 处取极小值，故 C 入选。【知识模块】 导数与微分8 【正确答案】 C【试题解析】 根据 t 分布的性质，X 2F(1，n)，再根据 F 分布的性质1/X2F(n，1)，因此 Y=1/X2F(n，1)故应选择(C)二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 （2.117，2.113）.【试题解析】 11 【
8、正确答案】 0.6【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 （1/10,2/15）14 【正确答案】 8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由 an0 证 bn0 e 一 an1 ean1+an证明数列不等式转化为证明函数不等式 ex1+x，(x0) 令 f(x)=ex 一(1+x)，则 f(x)=ex 一 10(x0)又由f(x)在0，+)连续f(x)在 0，+)单调上升f(x)f(0)=0(x0)e x1+x(x0)=e an一 an1，即 bn018 【正确答案】 设 an0， 收敛 ，其
9、中为证 收敛，考察 的关系其中于是由 收敛 收敛19 【正确答案】 20 【正确答案】 【知识模块】 综合21 【正确答案】 若 yx 在点(x。，y。)与曲线相切，则在点 P 处切线斜率为y1，【知识模块】 综合22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合24 【正确答案】 (1)最优广告策略，即用于电台和报纸的广告费用为多少，可使得利润 L(x1，x 2)最大由题意知利润函数 L(x1，x 2)为 zL(x 1，x 2)1514x 132x 28x 1x22x 2110x 22(x 1x 2) 1513x 131x 28x 1x22x 21lOx 22【知识模块】 综合
