1、考研数学（数学三）模拟试卷 310 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点7 设函数 f(x)在区间1， 1上连续，则 x0 是函数 的( ) （A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点8 下列命题错误的是( ) （A）若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AB10 与矩阵 BA2 也可交换（B）若矩阵
2、A 一 B 和矩阵 A+B 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换（C）若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AT 和矩阵 BT 也可交换（D）若矩阵 AB 和矩阵 BA 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换二、填空题9 10 11 12 =_13 幂级数 的收敛半径为_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 18 已知矩阵19 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；20 若 A+kE 正定，求 k 的取值21 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购
3、买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY22 已知 f(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 fn(1)=e/n，求函数项级数 fn(x)之和23 设 f(x)存在，求下列函数 y 的二阶导数 d2ydx 2： (1)yf(e x )； (2)ylnf(x)24 已知级数 收敛考研数学（数学三）模拟试卷 310 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】
4、D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B8 【正确答案】 D【试题解析】 A：若 AB：BA，则 AB10.BA10=AB.BA.B9.A9=BA.B10A10=BA.(BA)10=BA.(AB)10=BA10.AB10,A 项命题正确B：若(A 一 B)(A+B)=(A+B)(A 一 B)，则有 AB=BAB 项命题正确C：若 AB=BA，则 ATBT=(BA)T=(AB)T=BTAT，C 项命题也正确故应选 D事实上，由(AB)(BA)=(BA).(AB)，推不出 AB=BA【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】
5、210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 8/9【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=pTA2P，又构造二次型 zTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方，有xTA2X=x12+x22+5(x3+2x4)2，那么，令 即 则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次
6、型合同故其中20 【正确答案】 由E A=( 2 一 1)( 一 5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，一 1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1， k+5，k，k 一 1于是由 A+kE正定可知，k121 【正确答案】 由题设知, 购买 A 类商品的人数 Y 在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，p)，即PY=kX=m=C mkpkqm-k，k=0，1，2，m；q=1 一 p由全概率公式有又因为当 m由此可知 Y服从参数为 p 的泊松分布，故 EY=p22 【正确答案】 由已知条件可知 fn(x)满足 fn(x)-fn(x)=xn-1ex 其通解为 fn(x)=ex（x n/n+C） .由条件 f1(x)=e/n,可确定常数 C=0，故 fn(x)=ex（x n/n+C）.从而【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 综合24 【正确答案】 【知识模块】 综合
