1、考研数学（数学三）模拟试卷 343 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点7 级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关8 二、填空题9 10 11 设函数 z=z(x，Y)由方程 F(x 一 az，ybz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微。则 .12
2、 均匀的半球面 的重心的坐标为_.13 14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 A 有三个特征值 1，-1，2，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以 A、B、C 分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断 A、B、C 是否两两独立，是否相互独立20 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 证明至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1-1)f()21 利用幂级数的和函数的性质求下列级数在各自收敛
3、域上的和函数：22 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域23 考研数学（数学三）模拟试卷 343 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 又因为 f(x)在 z=a 处导数连续，则 f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点又由 ，知当xa 时，f x0；当 xa 时，f (x)0，故 f(a)是极大
4、值，所以选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 A【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 4e -1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续11 【正确答案】 1【试题解析】 因 故【知识模块】 多元函数的微分与应用12 【正确答案】 【试题解析】 由对称性知 (其中D：x 2 十 y2R2)【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 14 【正确答案】 y 12+y22-y32【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【
5、正确答案】 根据题意，有 P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4， P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C 两两独立，而 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)，故 A，B，C 不相互独立【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 令 F(x)=xe1-x 于是 F(1)=f(1)，由积分中值定理得，存在满足 0从而 F(x)在c，1上满足罗尔定理条件，故存存 (c，1) (0，1)，使 F()=0，e 1-f()-(1-1)f()=0而 e1-0，故 f()-(1-)f()=0，即 f()=(1- -1)f()【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 综合22 【正确答案】 由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D1 为辅助性半圆形区域，23 【正确答案】
