1、考研数学（数学三）模拟试卷 348 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)有( ) （A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)= 且 f“(0)存在，则( )（A）a=2 ，b=2c=1（B） a=-2，b=一 2，c=-1（C） a=一 2，b=2c=1（D）a= 一 2，b=2，c=一 13 设 f(t)= arctan(1+x2+y2)dxdy，则 为( )4 设 f(x)在 x0 的邻域内 j 阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0
2、)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大点（B） x=x0 为 f(x)的极小点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( ) （A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解6 设
3、 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )（A）若 AB=0，则 B=0 （B）对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)（C）存在 B，使得 BA=E （D）对任意矩阵 B，有 r(BA)=r(B)7 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 则k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X) 2=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4)a，则 a 的最大值为( )二、填空题9 10 设 f(x)为连续函数且 x2+y2+z2=xyf(x+y-t)dt，则 =_11 摆线 (a0，0t2) 绕 x 轴旋转一周曲面的表面积为_1
4、2 幂级数 的和函数为_13 设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2=3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3 令 P=(41， 2 一 3， 2+23)，则 P-1(A*+3E)P 为_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求 01f(x)dx16 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 201f(x)dx=f(0)+f(1)+17 设
5、f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0令 F(x)=-aa|x-t|f(t)dt () 证明：F(x)单调增加 ()当 x 取何值时， F(x)取最小值? ( )当 F(x)的最小值为 f(a)-a2 一1 时求函数 f(x)18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p2，求： ()当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义； () 当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?19 现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15 gL 的盐水，现同时以 2Lmin 的速度向第一只桶中注人清水，搅拌均匀
6、后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二只桶中含盐多少克 ?20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解21 设 =(1， 1，一 1)T 是 A= 的一个特征向量 () 确定参数 a，b的值及特征向量 所对应的特征值；()问 A 是否可以对角化?说明理由22 设 X 的概率密度为 ()求 a，b 的值；()求随机变量 X 的分布函数； () 求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为()求 的矩
7、估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 348 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点由 f(0+0)=f(0 一 0)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点； 由 f(10)f(1+0)，得x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 f(00)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，因为 f“(0)存在，所以 a=一 2，选(C) 3 【正确答案】 C【试题解析】 选(C)4 【正确答案】
8、 C【试题解析】 由极限的保号性，存在 0当 0|x-x 0| 时， 当 x(x0 一 ，x 0)时，f“(x) 0；当x(x0，x 0+)时，f“(x) 0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得 r(A)=r(B)，从而向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A) ；若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， ，显然 A，B 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)；若
9、方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(b)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 r(A)=n 所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=O 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若 AB=O，则 B=O；令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)；因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为 即存在可逆矩阵 P 使得PA=
10、 令 B=(En O)P，则 BA=E；令 A= ，B=(1 1 1)，r(A)=1，但 r(BA)=0r(B)=1，选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 -+dx-+f(x，y)dy=k 0+dx0+xe-x(2y+3)dy得 k=6，选(C) 8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得 P|XE(X)|1 一 P1一 X1+ P一 1X4P一 1X3P|X-1|2 则 a 的最大值为 选(c)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 x 2+y2+z2=xyf(x+y-t)dt 两边对 x 求偏导得 再将 x2+y2+z2
11、=xyf(x+y 一 t)dt 两边对 y 求偏导得 两式相加得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 的特征值为 1=-2， 2=3=1，所以 A*的特征值为1=1， 2=3=一 2，A *+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 41， 2 一 3， 2+23 也为 A 的线性无关的特征向量，所以 41， 2-3， 2+23 也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
12、【正确答案】 16 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得因为 f“(x)C1， 2，所以 f“(x)在 1， 2上取到最大值 M 和最小值 m，于是2mf“(1)+f“(2)2M 或 由介值定理，存在1， 2 (0，1)，使得 f“()= 故有 201f(x)dx=f(0)+f(1)+17 【正确答案】 ()F(x)= -aa|x-t|f(t)dt=-ax(x 一 t)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt=x-axf(t)dt-axtf(t)dt+-a-atf(t)dtxxaf(t)dt=x-axf(t)dt-axt
13、f(t)dtaxtf(t)dt+xaxf(t)dt，F(x)= -axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+-aaf(t)dt+xf(x) =-aaf(t)dtxaf(t)dt，因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 ()因为 F(0)=-a0f(x)dx0af(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F，(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 F(0)=-aa|t|f(t)dt=20af(t)dt ()由 20atf(t)dt=f(a)-a2 一 1 两边求导得 2af(a)=f(a)一 2a，于
14、是 f(x)一 2xf(x)=2x 解得 f(x)=2xe-2xdxdx+Ce-2xdx=Cex 一 1，在20atf(t)dt=(a)一 a2 一 1 中令 a=0 得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)= 18 【正确答案】 () 边际需求函数为 当 p=4 时，边际需求为其经济意义在于，在价格为 p=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位() 需求价格弹性函数为 当p=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 p=4 的基础上，若价格提高 1，则产品的需求量就减少 054()当 p=4 时，若价格提高 1，因为 0541，该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的因为
15、R=pQ=75pp3，故当价格提高 1后，企业的收益增加 04619 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有20 【正确答案】 1)当 a-1，a6时，方程组只有唯一解；2)当 a=一 1 时当 a=一1b36 时，方程组无解；当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 因为，r(A)= =34，所以方程组有无数个解，通解为21 【正确答案】 () 由 A=，得 解得 a=一 3b=0，=-1( )由|E-A|=(+1) 3=0，得 =-1 是三重特征值因为 r(一 E-A)=2，所以 =
16、-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 () 由 1=-+f(x)dx=-2-1b(x+2)dx+0+ 又由 =PX1=2-1b(x+2)dx+ 解得 ()当x一 2 时，F(x)=0；当一 2x一 1 时，F(x)= 2x(x+2)dx= 当-1x0 时，F(x)=-2-1(x+2)dx= 当 x0 时，F(x)= 2-1(x+2)dx+()F Y(y)=PX3y，当y一 8 时，F Y(y)=0；当一 8y一 1 时，F Y(y)= 当一 1y0 时，F Y(y)= 当 y0 时，F Y(y)=23 【正确答案】 ()E(X)= -+xf(x)dx=20+x2e-xdx=
