1、考研数学（数学三）模拟试卷 359 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得（A）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)是凹的（B）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)是凸的（C）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0单调下降，而在x 0，x 0+)单调上升（D）曲线 y=(x)在(x 0 一 ，x 0单调上升，而在x 0，x 0+)单调下降2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续， ，则 f(x)在 x=0 处（A）不可导（B）取极小值（C）取极大值（D）不取极值，但
2、 f(0)=03 设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有4 反常积分（A）收敛，且取值为零（B）收敛，且取正值（C）发散（D）收敛，且取负值5 下列矩阵中属于正定矩阵的是6 设 n 维向量 1， 2， s 的秩为 r，则下列命题正确的是（A） 1， 2， s 中任何 r 一 1 个向量必线性无关（B） 1， 2， s 中任何 r 个向量必线性无关（C）如果 s n，则 s 必可由 1， 2， s-1 线性表示（D）如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s 线性表示7 设总体 X 服从参数 =2的指数分布，X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 的简单随
3、机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 a 的值为（A）一 1（B） 1（C） （D）28 设随机变量 X1,X2,X3,X4 互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 ，对给定的 (01)，数 y满足 PYy a=，则有二、填空题9 n 为给定的自然数，极限 =_10 若 f(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_11 设 u(x，y)=y 2F(3x+2y)，若 ，则 =_12 二阶微分方程 y“+y=10e2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解是 y=_13 与矩阵 可以交换的矩阵是_14 设 X1，X 2，X n
4、+1 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，则服从_分布.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知极限 求常数 a，b，c 16 求 f(x，y， z)=2x+2y 一 z2+5 在区域 ：x 2+y2+z22上的最大值与最小值17 求常数 k 的取值范围，使得 f(x)=k1n(1+x)一 arctanx 当 x0 时单调增加18 求微分方程(x 一 2xyy2)y+y2=0，y(0)=1 的特解19 设数列a n，b n满足 ，求证：(I)若 an0，则bn0；() 若 an0(n=1，2，3，)， 收敛，则 收敛20 已知 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶
5、矩阵，其中 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量若齐次方程组 Ax=0 的通解是 k(1，0，一 3，2) T，证明 2， 3， 4)是齐次方程组A*x=0 的基础解系21 设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn (I) 求二次型 xTAx 的规范形； ( )证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求行列式 B的值22 设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中D=(x，y) 0yx2 一 y试求：(I)X+Y 的概率密度；()X 的边缘概率密度；()PY02X=1523 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 A
6、的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY考研数学（数学三）模拟试卷 359 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是aii06 【正确答案】 D【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r 1， 2， s 中一
7、定存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量必线性相关 当向量组的秩为 r 时，向量组中既可以有 r1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故(A)、(B)均错误例如向量1， 2， 3， 4 分别为 (1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为 3，其中 1， 4 线性相关， 1， 2， 4 也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关 当 sn 时，表明 1， 2， s 必线性相关，此时有 i 可以由 1， i-1， i+1， s 线性表示，但 s 不一定能由 1，
8、 ， s-1 线性表示故(C)不正确 若 r(1， 2， s)=n，则对任何 n 维向量 必有 r(1， 2， s，)=n故(D) 正确因此应诜(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2e 2x 一 2cosx 一 3sinx【试题解析】 本题中微分方程的特征方程是 2+1=0，特征根是 =i 与 =一 i，由方程的右端项 10e2x 即知可设方程具有形式为 y*=Ae2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C 1cosx+C2si
9、nx+Ae2x 计算可得 y“=一 C1cosxC2sinx+4Ae2x把 y 与 y“代入方程就有 y“+y=5Ae2x令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x 分别令 y(0)=C1+2=0 与 y(0)=C2+4=1 又可确定常数 C1=一 2，C 2=一 3故所求的特解是 y=2e2x 一 2cosx 一 3 sinx13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，
10、先求 f(x，y，z) 在 内的驻点 由 知 f(x，y，z)在力内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在力的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z)在力的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z2 一 2=0下的最大、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2y 一 z2+5+(x2+y2+z22)，解方程组由，知 x=y，由知 z=0 或 =1.由 x=y，z=0 代入知 x=Y=1，z=0当 =1时由，也得 x=y=一 1，z=0因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=
11、9 因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 117 【正确答案】 x(0，+)时 f(x)单调增加 f(x)0(x(0，+)且在(0，+)的子区间上 f(x)0f(x)=kln(1+x)一 arctanx，则若 k0，则 f(x)0(x 0)，于是只需考察 k0 的情形令 g(x)=kx2 一 x+k 一 1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号 由于 g(x)满足18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 由 an0 证 证明数列不等式转化为证明函数不等式 ex 1+x ，(x0) 令 f(x)=ex 一(1+x)，则 f(x)=e x 一 10(x 0) 又由 f(x)在
12、0，+)连续f(x) 在0 ，+)单调上升f(x)f(0)=0(x0) ，即 bn0()20 【正确答案】 由解的结构知 n 一 r(A)=1，故秩 r(A)=3因 A*A=AE=0 ，即A*(1， 2， 3， 4)=0，故 2， 3， 4 都是 A*X=0 的解 由 1=3124 与 r(A)=3有 A=(1， 2， 3， 4)=(3324， 2， 3， 4)(0 ， 2， 3， 4)，可知 2， 3， 4线性无关 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，那么 n 一 r(A*)=3综上可知， 2， 3， 4)是A*x=0 的基础解系21 【正确答案】 () 设 为矩阵 A 的特征值，对应的特
13、征向量为 ，即A=，0，则 A2=2由于 A2=E，从而( 2 一 1)=0又因 0，故有 2 一1=0，解得 =1或 A=一 1 因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是 那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，一 1(n一 k 个) 故二次型 xTAx 的规范形为 y12+yk2 一 yk+12 一一 yn2 ()因为A2=E，故 B=E+A+A 2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个)，1(nk个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且B =5 k1n-k=5k22 【正确答案】 () 如图，区域 D 即 AOB 的面积 SD=1，因此(X，Y) 的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当z2时， F(z)=l；当 0z2 时，23 【正确答案】
