1、考研数学（数学三）模拟试卷 362 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x33x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（A）k2（B） k1（C） k1（D）k22 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2+x=0 所确定的满足 y(一 1)=1 的隐函数，则=（A）1（B） 2（C）一 2（D）一 13 设 ，则（A）I 21I 1（B） I2I 11（C） 1I 2I 1（D）1I 1I 24 已知幂级数 在 x0 时发散，且在 x=0 时收敛，则（A）a=1 （B） a=一 1（C）一 1a1（D）一 1a15 已知 1， 2
2、， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D） 1， 2， 3， 4 的等价向量组6 已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（B） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1（D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-17 设随机变量 X 与 Y 独立同分布， ，则 DX 一 Y=_8 设 X1，
3、X 2，X 6 独立同分布且 X1N(0，4)，Y=a(X 1+2X2)2+b(2X3+3X4)2+c(3X5+4X6)2 一 2(3)则 a，b，c 的值分别为二、填空题9 =_10 反常积分 =_11 已知函数 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值则曲线)y=f(x)的拐点是_。12 微分方程 2x2y=(x+y)2 满足定解条件 y(1)=1 的特解是_13 已知 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，一 3，2) T， 3=(4，11，一 6)T，若 A1=(0，2)T， A2=(5， 2)T，A 3=(一 3，7) T，则 A=_14 设随机变量(X，Y
4、) 服从二维正态分布，其密度函数为则常数 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求不定积分 16 若曲线 与 x 轴、y 轴及直线 所围图形的面积被曲线y=asinx，y=bsinx(ab0)三等分，求 a 与 b 的值17 求二元函数 在区域 D=(x，y)x0，y0上的最大值与最小值18 设连续函数 f(x)满足 19 设函数 ，其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：(I)F n(x)在(0，+)存在唯一零点xn；( ) 收敛；() 20 已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2)T， 2
5、=(1，2，一 1，3) T， 又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1)T， 2=(O，一 3，1，a) T， (I)求矩阵 A； () 如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关列向量，且 A1=31+3223，A 2=一 2，A 3=81+6253 (I) 写出与 A 相似的矩阵 B； ()求 A 的特征值和特征向量； () 求秩 r(A+E)22 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，且 X1N(0，1)，X 2 服从 的指数分布(I)求 X=X12 的概率密度
6、；(11)设 Y=X+X2，求 EY，DY23 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y(I)求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ考研数学（数学三）模拟试卷 362 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=一 1 的邻域内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y(x)与 y“(x)分别满足 2yy+xy+y+2x+1=0， 2
7、yy“+xy“+2(y) 2+2y+2=0， 在以上二式中分别令 x=一1 并利用 y(一 1)=1 可知 y(一 1)=0，y“( 一 1)=一 2再利用洛必达法则即可得到故应选(D).3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2， 3， 4， 1+2 与向量组 1， 2， 3， 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故(D)不正确 (B)、(C) 均线性相关，因此不能是基础解系故(B) 与(C)也不正确 注意到：( 1+2)一( 2 一 3)一( 3 一
8、4)一( 4+1)=0， (1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 唯有(A)， 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4一 1 是 Ax=0 的解，又由( 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1)=且 ，知 1+2， 23， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，且向量个数与 1， 2， 3， 4 相同所以(A) 也是Ax=0 的基础解系故选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除 (B)、(D) 由 P-1AP=BP -1A=BP-1P -1A=BP-1，于是有 B(P -1)=P-1()=(P-1)
9、 故应选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 区域 D 在平面直角坐标系 Oxy 上的第一象限，区域 D 有两条边界 与 ，它们分别是平面直角坐标系 Oxy 的x 轴与 y 轴的正半轴，在这两条边界上 F(x，y)=0 又因18 【正确答案】 19 【正确
10、答案】 20 【正确答案】 () 记 C=(1， 2)，由 AC=A(1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT 的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT 作初等行变换，有 得到 CTx=0 的基础解系为 1=(3，一1，1，0) T， 2=(一 5，1， 0，1) T 所以矩阵 ()设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1， 2 线性表出，也可由1， 2 线性表出，故可设 =x11+x22=-x31 一 x42， 于是 x 11+x22+x31+x42=0 对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=一 t，x 2=一 t，x 1=2t因此 Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 =2t1t2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数。21 【正确答案】 ()()22 【正确答案】 23 【正确答案】 ()()
