1、考研数学（数学三）模拟试卷 370 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时，e x2 一(ax 2 bxc)是比 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（A）ac1，b0（B） a1，b2，c 0（C） ac 2，b0（D）ab 1，c 02 设 f(x) 则( )（A）f(x)在点 x1 处连续，在点 x1 处间断（B） f(x)点 x1 处间断，在点 x1 处连续（C） f(x)在点 x1，x1 处连续（D）f(x)在点 x1，x一 1 处都间断3 设 f(x) 则 f(x)在点 x0 处( )（A）极限不存在（B）极限存
2、在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导4 设函数 f(x， y)连续，且 f(x ，y)xy f(x， y)dxdy15x 2y2，则 f(x，y)( )（A） xy15x 2y2（B） 7xy15（C） 15x2y2（D）xy15x 2y25 设 A ，对 A 以列和行分块，分别记为 A 1， 2， 3， 4 1， 2， 3T，其中0， 0 ，有下述结论： (1)r(A)2；(2) 2， 4线性无关(3) 1， 2， 3 线性相关；(4) 1， 2， 3 线性相关上述结论正确的是( )（A）(1)，(3)（B） (2)，(3)（C） (1)，(4)（D）(2)，(4)6 已知 A 为三阶
3、矩阵， 11，2，3 T， 20，2，1 T， 30，t ，1 T 为非齐次线性方程组 AX0，0，1 T 的三个解向量，则( )（A）当 t2 时，r(A) 1（B）当 t2 时，r(A)2（C）当 t2 时，r(A)1（D）当 t2 时，r(A)27 连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为( )（A）（B）（C）（D）8 设随机变量 X 的分布函数为 又已知 p(X1)14，则( ) （A）a5 16，b716（B） a716，b916（C） a12，b12（D）a3 8，b38二、填空题9 _10 已知 f(x)是微分方程 xf(x)f(x) 满足初始条
4、件 f(1)0 的特解，则f(x)dx_11 dx_12 级数 x2n1 的收敛域为_13 设 ，B 是三阶非零矩阵，且 BAT0 则秩 r(B)_14 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为， 则随机变量 ZminX，Y的分布律为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为 x，价格为 p1，车架的数量为 y，价格为 P2，又设需求函数 x63025p 1 与 y60 p2，成本函数为 C(x，y)x 2xyy 290求该厂获最大利润时的产量与价格16 计算积分17 设 arctan18 求积
5、分 I dxdy，D：x1，0y2 19 已知某种商品的需求价格弹性为 ep 一 1，其中 p 为价格，Q 为需求量，且当 p1 时需求量 Q1试求需求函数20 已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 X，AX 线性无关； (2)若 A2XAX 6X0，求 A 的特征值，并讨论 A 可否对角化21 设 1， 2， 3， 4 为四维列向量组，且 1， 2， 3 线性无关，4 1 22 3已知方程组 1 一 2， 2 3，一 1a 2 3X 4 有无穷多解 (1)求 a 的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解22 向平面区域 D：x0，0y4 一 x2 内等可能地随机地
6、投掷一点求 (1) 该点到 y轴距离的概率密度； (2)过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y4 一 x2 所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差23 已知产品某项指标 X 服从拉普拉斯分布，其密度为 f(x) ex ， 一x，其中 为未知参数现从该产品中随机抽取 3 个，测得其该项指标值为 1028，968，1007(1)试用矩估计法求 的估计；(2)试用最大似然估计法求 的估计考研数学（数学三）模拟试卷 370 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 利用等价无穷小代换 ex2x 21(x 2)22 简便求之也
7、可使用洛比达法则或泰勒展开式求之解一 由题设有故 1a0，b 0，1c0，即 ac1，b0仅(A)入选解二 由式及ex2 (ax2bx c)0，所以 1c0 即 c1于是解三 利用 ex21x 2x 420(x 4)，得到故 1a0，b 0，1c0，即 a1，c1，b0仅(A)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 依间断点定义和连续点定义判别故 f(x)在点 x1 处间断而 故 f(x)在点 x一 1 处连续仅(B) 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 讨论分段函数在分段点的极限、连续及可导性问题，从分段点左、右两侧分别考虑即：先求左、右极限，若二者存在且相等，则在该分段点极限存在；先求左、
8、右极限，若二者存在且相等，：并等于分段点的函数值，则在该点处连续；先求左、右导数，若二者存在且相等，则在该分段点可导，否则函数在该点处不可导 故f(x)f(0) 0因而 f(x)在点 x0 处连续因 不存在，故 f(x)在点 x0 处不可导仅(C)入选注意 有同学错选上例答案为 (A)，原因是 sin在 x0 处没有定义这种看法错在哪里?自行回答4 【正确答案】 A【试题解析】 显然被积函数待求，但由于积分区域确定，所给等式中出现的积分，其值为一常数设 A f(x，y)dxdy ，在所给等式两端在区域xy1 上二重积分即可求得结果因积分区域xy1 关于 x 与 y 轴均对称，故因而有 xy15
9、x 2y2)dxdy，比较两端被积函数，得到 f(x，y) xy15x 2y2仅(A) 入选5 【正确答案】 D【试题解析】 由线性相关、线性无关的定义及其性质判别之 由式知，向量a12，a 32T 与a 14，a 34T 线性无关，由其性质知在其相同位置上增加相同分量所得的向量组仍线性无关，因而 2a 12，a 22，a 32T， 4a 14，a 24，a 34T 线性无关(2)正确 又由式 知， 1， 2， 3 线性相关，(4)正确但 1， 2， 3 不能保证再线性相关，故(3)不正确 由式 不能得到 r(A)2，只能得到 r(A)2，但由不能得到 r(A)3，故(1)是错误的 综上所述，
10、仅(D)入选6 【正确答案】 C【试题解析】 将向量关系式 Ai0，0，1 T(i1 ，2，3)合并成矩阵等式ABC如能求出 t 使 B 为满秩矩阵，则 r(AB)r(A)r(C) ，而 r(C)可观察求出先将一组向量关系式 Ai0，0，1 T(i1， 2，3)合并成一个矩阵等式ABC(矩阵关系式)，即 A1， 2， 3ABA C，其中 B 1， 2， 3，C， ， 0，0，1 T当 t2 时，B 中的第 2，3 列成比例，故B0，r(B) 2当t2 时，r(B)3，即可逆，故 r(AB)r(A) r(C)1仅(C) 入选7 【正确答案】 D【试题解析】 设事件 An 次抛掷中有 k 次正面向
11、上，A 1第 k 次正面向上，A 2前 n 一 1 次抛掷中有 k 一 1 次正面向上，则事件 A 发生等价于A1，A 2 同时发生，故 AA 1A2又 A1，A 2 相互独立，故 P(A)P(A 1)P(A2)总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面向上设此事件为 A，设在第 n 次抛掷时第 k 次正面出现的事件为 A1，前 n 一 1 次抛掷中有 k 一 1 次正面向上的事件为 A2则复合事件 A 等价于 A1 与 A2 的乘积又因 A1，A 2 独立，故 P(A)P(A 1A2)P(A 1)P(A2)，即 P(A)P(A 1)P(A2) 故所求概率为 P(A) 仅(D)入选8 【正确答案
12、】 A【试题解析】 利用分布函数的定义及右连续性求之由分布函数 F(x)为右连续函数，得到 F( 10)F( 1)，即 (axb) ab18 又 F(1) P(X1)P(X1)P(X 1)，而 F(1)1，P(X1)F(1 一 0)(axb)ab， P(X1)14，故 ab141 解与得到 a5 16，b716仅(A)入选注意 上例由于 P(X1)140(随机变量 X 取值 X1 的概率不为零)，则该随机变量就不是连续型的随机变量因而不能认为对任何实数 x，F(x)都连续因而若认为 F(1)F(10) 或 F(一 1)F( 一10) 18 均是错误的选项(B)、(C) 、(D)均是由上述错误导
13、致的结果二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 极限式中含幂指函数 ，首先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数原式10 【正确答案】 【试题解析】 按一般的思路先求出 f(x)后再积分，但由于求 f(x)工作量较大，可充分利用所给的有关信息，不用求 f(x)而直接求出 f(x)dx先用分部积分法得到11 【正确答案】 【试题解析】 利用 C 求之较简12 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 所给级数为缺项幂级数，用比值判别法求其收敛半径，再讨论在其端点的敛散性 由比值判别法知，当x2 时，所给级数收敛；当 x2 或 x一 2 时，原级数成为交错级数 ，由莱布尼兹判别法知，这两个级数收敛
14、故原级数 在区间一 2，2上收敛，在(，一 2)、(2，)内发散13 【正确答案】 1【试题解析】 先确定 A 的秩，再求 B 的秩 由 BAT0，有 r(B)r(A T)3， 即 r(B)r(A)3 又因 B0，有 r(B)1，因而 r(A)3 一 r(B)312 显然，矩阵A 中有二阶子式不为 0，有 r(A)2所以必然是 r(A)2，从而 r(B)3 一 r(A)321， 故 r(B)114 【正确答案】 【试题解析】 先求出(X，Y)的联合分布律，再用同一表格法求出ZminX， y的分布律由题设易求得 P(X 0，Y 0)P 11P(X0)P(Y0)(1 2).(12)14， P(X0
15、，Y1)P 12P(X0)P(Y1)(12).(12)14， P(X 1，Y0) P 21P(X1)P(Y0) (12).(12)14， P(X1，Y 1)P 22P(X1)P(Y1)(1 2).(12)14，故得到联合分布率为 将其改写为同一表格形式为故得到 ZminX，Y 的分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由需求函数，可得 P 1252 一 4x，P 21803y则利润函数为 xp 1yp 2C(x，y)x(2524x)y(1803y)x 2xyy 290 252x5x 2180y4y 2xy90约束条件是 x3y，所以拉格朗日函数是 L252
16、x5x 2180y4y 2xy90(x3y)为求极大值，先求偏导数： 消去 ，则有 93631x11y0，再代入 x3y，消去 X，得 936104y0从而 y9，x3y27，这就是获最大利润时的产量其相应价格为 p1252427144，P 218039 153【试题解析】 使用拉格朗日乘致法求之16 【正确答案】 令 【试题解析】 先作倒代换 x1t利用此法可降低被积函数分母的变量因子 xn的次数，甚至可消去这个变量因子当被积函数为分式，其分母关于 z 的最高次数比分子的最高次数至少高一次时，就可试用倒代换求其积分17 【正确答案】 设 F(x，y)arctan 0，【试题解析】 题设中有隐
17、函数的等式应设出等于 0 的确定隐函数的方程 F(x，y)arctan 0再应用公式 求偏导18 【正确答案】 因yx 2 D1：一1x1，0yx 2，D 2：一 1x1，x 2y2，则在上式前一积分中令 x sint(0t4)，则【试题解析】 被积函数含绝对值为去掉绝对值符号用yx 20，即用曲线yx 2 将 D 分为上、下两部分，分别记为 D1 与 D2这时所求积分也分区域计算19 【正确答案】 设需求函数关系式为 QQ(p)，则由题设和 的表示式有ep 一 1，即 Q(p) Q(p)e p，则此微分方程的通解为 Q(p)(p 一 1)epC将 Q(1)1 代入，得 C1故所求需求函数为
18、Q(p)【试题解析】 利用需求价格弹性公式 可得一微分方程解此微分方程，利用初始条件即可求得此需求函数 QQ(p)20 【正确答案】 (1)用反证法证之若 X 与 AX 线性相关，则存在不全为零的常数k1，k 2 使 k1Xk 2AX0为方便计，设 k20，则 AX X，于是 X 为 A 的特征向量，与题设矛盾(2)由题设有 A 2XAX 一 6X(A 3E)(A 一 2E)X0 下证 A 一 2E，A3E 必不可逆，即A 一 2EA3E 0事实上，如A3E 可逆，则由方程得到 (A 一 2E)XAX 一 2X0， 即 AX2X 这说明X 为 A 的特征向量，故 A3E0 同法可证 A2E 也
19、不可逆，即 A一 2E0 由式 、式即知，2 与一 3 为 A 的特征值，所以 A 能与对角阵相似【试题解析】 A 为抽象矩阵，则 AX，X 均为抽象的向量组讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明也常用反证法证之21 【正确答案】 由题设，得矩阵 1 一 2， 2 3，一 1a 2 3 1， 2， 3的秩小于 3，又 1， 2， 3 线性无关，故矩阵 不可逆，由 2a0，得 a2方程组 1 一 2， 2 3，一1 a2 3X 4 化为 1， 2， 3 X1， 2， 3 ，因为1， 2， 3 线性无关，所以原方程组与方程组 同解下面求方程组 的通解为此先求出其导出组的基础解系及
20、原方程组的一特解将增广矩阵 用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵：用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量 a1，一 1，1 T，特解为1，2，0 T，故所求的通解为 k k1，一 1，1 T1，2，0 T，k 为任意常数【试题解析】 所给方程组由于有无穷多解，则 r(A)r( 1 一 2， 2 3，一1 a2 3)3由 1 一 2， 2 3，一 1a 2 3 1， 2， 3知，必有 0 从而可求出 a为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之22 【正确答案】 平面曲域 D 如上图所示，其面积为 于是二维随机变量(X，Y) 的联合密度为(1
21、)随机点(X，Y) 到 y 轴的距离即为随机变量 X，其概率密度即为关于 X 的边缘概率密度 fX(x)： x 取其他值时，f X(x)0(2)曲边梯形面积为图中阴影区域的面积，它为 下求面积即 (X)的期望与方差： 【试题解析】 在平面区域内投掷一点其坐标视为二维随机变量(X，Y) 又已知等可能地随机投掷，这就告诉我们(X，Y)在此区域内服从均匀分布因曲边梯形面积可用 X 表示，应视为随机变量 X 的函数 (X)需求 E(X)与 D(X)23 【正确答案】 (1)因 E(X)，故 ，即 (1028 9681007)3300331001(2)似然函数为lnL3ln2 一 x i要使 lnL 最大，只需x i最小记l x i1028968 1007当 968 时，l(1028)(968 )(1007) 3(1001)3(1001968)99；当 1028时，l( 一 1028)( 一 968)( 一 1007) 3(1001)3(10281001)81；当9681028 时， l(1028 一 )( 一 968)1007 一 601007 一故当 1007 时， l 最小，取值 60最大似然估计值五 1007【试题解析】 待估参数只有一个，可用一阶矩进行估计
