1、考研数学（数学三）模拟试卷 372 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) 则 f(x)在点 x0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 已知函数 在(一，)内连续可导，则( )（A）a2， b3（B） a2，b3（C） a3，b2（D）a3 ，b23 dx( ) （A）1e 一 1（B） 11e（C） 2e（D）2(1 1e)4 方程 y3y2ye xcos2x 的特解形式 y*( )（A）Ae xcos2x（B） xex(AcosxBsin2x)（C） ex(Acos2xBsin2x)（D）x 2e
2、x(Acos2xBsin2x)5 设 A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX0，r(A)n5， 1， 2， 3， 4， 5 是该方程组 5 个线性无关的解向量，则方程组 AX0 的一个基础解系是( )（A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 5， 5 1（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 5， 5 1（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 5， 5 1（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 5， 5 16 已知 A，B 为三阶矩阵，且有相同的特征值 1， 2，2，则下列命题：A， B 等价；A， B 相似；若 A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式A 一 2E 2EA中；命
3、题成立的有( ) （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机事件 A 和 B 满足关系式 ，则必有( )（A）AB （B） AB（C） AB（D） 8 设总体 XN(， 2)，其中 已知， 20 为未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，则 2 的置信度为 1 一 的置信区间为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 _10 由曲线 x2(y2a) 2a2 所围成平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积等于_11 已知 f(x)arctan(x1) 2，f(0) 0，则 f(x)dx_12 设 zz(u)，且 u(u) P(t)dt，其中 z(u)为可微函
4、数，且 (u)连续，(u)1，P(t)连续，则 p(y) _13 A，B 均是 n 阶矩阵，且 A2 一 2ABE，则秩 r(ABBAA)_14 设 X，Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 3 的泊松分布，则 D(XY)_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 an x2(1 一 x)ndx，证明级数 an 收敛，并求这个级数的和16 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总效益函数为 R(x，y)15x34yx 2 一 2xy 一 4y2 一 36 (单位：万元) 已知生产甲种产品每吨需支付排污费用 1
5、万元，生产乙种产品每吨需支付排污费 2 万元 (1)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少? (2)当限制排污费用总量为 6 万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总利润又是多少 ?17 求微分方程 y4ysin2x 满足条件 y(0)0， y(0)1 的特解18 函数 f(x)在0，)上可导，且 f(0)1，满足等式 f(x)f(x)一 f(t)dt0(1)求导数 f(x)；(2)证明：当 x0 时，成立不等式 ex f(x)119 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且在(a ，b)内可微，又对于(a，b)内的 x，有 g(
6、x)0，则在(a ， b)内存在一个 ，使20 设有 Amn，B nm，已知 EnAB 可逆，证明 EnBA 可逆，且(E nBA)1 E nB(E nAB) 1 A21 设矩阵 A 与 B 相似，且 (1)求 a，b 的值； (2)求可逆矩阵 P，使 P1 APB 22 设随机变量 XN(0，1)，求 Ye 3X1 的概率密度23 保险公司为 50 个集体投保人提供医疗保险假设他们医疗花费相互独立，且花费(单位：百元) 服从相同的分布律 当花费超过一百元时，保险公司应支付超过百元的部分；当花费不超过一百元时，由患者自己负担费用如果以总支付费 X 的期望值 E(X)作为预期的总支付费，那么保险
7、公司应收取总保险费为(1)E(X)，其中 为相对附加保险费为使公司获利的概率超过95，附加保险费 至少应为多少？(已知 (141) 092，(162)095)考研数学（数学三）模拟试卷 372 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 应利用下列结论判别之设 则当 0 时，f(x)在 x0 处连续；当 1 时 f(x)在 x0 处可导当 a1 时，f(x)的导函数在x0 处连续由上述结论知 120，因而 f(x)在 x0 处连续但不可导仅(C)入选2 【正确答案】 A【试题解析】 下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：(1)设 f
8、(x)在x 0，x 0(0)上连续，在(x 0，x 0)内可导，且 f(x)存在，则 f(x)；(2)设 f(x)在x 0，x 0(0)上连续，在(x 0，x 0)内可导，且 f(x)存在，则f(x)可用上法求之，也可用左、右导数定义求出 a、b 因 f(x)在 x0 处可导，故 (0)，即 a2又因 f(x)在 x0 处连续，故 f(00)f(00)，即 故3b仅(A)入选3 【正确答案】 D【试题解析】 为去掉根号，需分区间积分4 【正确答案】 C【试题解析】 先求出其特征根，再考察 12i 是否是其特征根 因 f(x)e xcos2x， 1， 2，需考察 12i 是否是特征方程的根因特征
9、方程 r2 一3r20 的根为 r12， r21，故 12i 不是它的根其特解形式为 y*e x(Acos2xBsin2x)仅(C)入选5 【正确答案】 A【试题解析】 上述各选择项中的向量均为 AX0 的解向量，这是显然的关键要确定哪一组向量线性无关可利用下述结论观察求出：已知向量组1， 2， s(s2)线性无关设 1 12， 2 23， s1 s1 s， s s1 其中 s 为向量组中的向量个数又设上式中带负号的向量个数为 k，则(1)当 s 与 k 的奇偶性相同时，向量组1， 2， r 线性相关；(2)当 x 与 k 的奇偶性相反时，向量组 1， 2， r 线性无关解一 本题中 s5(奇
10、数)，只有(A)中向量组带负号的个数 k0(偶数)，由上述结论即知(A) 中向量组线性无关，因而它们为 AX0 的一个基础解系仅(A)入选而(B) 、(C) 、(D)中向量组带负号的个数分别为 k1，k3，k5，均为奇数，与 s 的奇偶性相同，故它们均分别线性相关解二 由线性相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关因 ( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 5)( 5 1)0，至于(B)、(C) 中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关例如对于(B)，有1 2， 2 3， 3 4， 4 5， 5 1 1， 2， 3， 4， 51.1.1+(一 1).1.1+00000 而1.1.1(1).
11、1.100000，故选项(B)中向量组线性相关同理，可证选项(C)中向量组也线性相关6 【正确答案】 C【试题解析】 要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式利用这些可检验上述诸命题由题设知 A，B 的秩相同，r(A) r(B) 3，因此 A，B 等价；若 A，B 为实对称矩阵，则其正负惯性指数相同，从而 A，B 合同；矩阵 A2E 与 2EA 均有一个特征值为零，故行列式A 一 2E2E 一 A0但由 A，B 有相同的特征值，推导不出 A，B 相似故仅(C)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用事件的运算性质(摩根律等)判别由 得到故仅(C)入选8 【正确答案】
12、D【试题解析】 已知，找出服从 分布的统计量，再利用置信度的定义，列出关系式，解出 2 所满足的不等式即为所求由于 已知，取统计量 于是由置信度的含义得到故 2 的置信度为 1 的置信区间为选项(D)中的区间仅 (D)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先将分子有理化，再利用无穷小等价代换或直接用洛必达法则求之 解一解二 原式 这里直接用到等价无穷小代换tanxsinxx 32(x0)10 【正确答案】 4 2a3【试题解析】 按 x 轴上的曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体体积公式计算即可V x2 dx 16a. a24 2a3其中 y12a 11 【正确答案】 【试题解析】 利用题
13、设将 f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之因为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之f(x)f(x)一 f(0)f(t)dt arctan(t 一 1)2dt，则 arctan(t1) 2dtdx arctan(t1) 2dtdx，其中积分区域 (见右图)为 D(t，x)0tx，0x1交换上述二重积分的积分次序得到12 【正确答案】 0【试题解析】 给出隐函数 u 及其自变量 x，y 所满足的等式，为求有关偏导数，常利用此式设出辅助函数 F(x，y，u)0，再利用有关公式求出相关的偏导数设 F(x，y，u) u(u) p(t)dt，则 Fu1(u)， F xp(x) ，
14、 F y一一 p(y) p(y)，13 【正确答案】 n【试题解析】 利用可逆矩阵性质：由 A(A 一 2B)E，得到(A 一 2B)AE，从而ABBA 由于 A(A 一 2B)E，且 A，A 一 2B 均是 n 阶矩阵知，A 可逆，且 A一 2B 是 A 的逆矩阵， 故 A(A 一 2B)(A 一 2B)AE， 即 A 2 一 2ABA 2 一2BA， 可见 ABBA ， 从而 r(ABBAA)r(A)n14 【正确答案】 27【试题解析】 利用公式 D(XY)E(XY) 2 一E(XY) 2 求之 由题设易知 E(X)1， D(X) 2， E(y)D(y)3 因 D(XY)E(XY) 2
15、一 E(XY)2E(X 2Y2)一E(XY) 2， 又 X，Y 独立，故有 E(X 2Y2)E(X 2)E(Y2)， E(XY) E(X)E(Y) 133 于是 E(X2Y2)E(X 2)E(Y2)D(X)(E(X) 2D(Y)(E(Y) 2 312 36 故 D(XY)E(X 2Y2)一E(XY) 236 927三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由式得 收敛，故正项函数 an 收敛又由式与式得到 故所以该级数收敛，其和为 【试题解析】 先求出 an 的分式表示式，再证明其部分和有极限求出此极限也就求出了该级数的和其中，可利用公式 (x 一 a)n(b 一
16、x)mdx 简化求出 an 的分式表示式16 【正确答案】 (1)扣除排污费用后即得总利润函数： L(x，y)R(x，y)x2y14x32yx 2 一 2xy4y 2 一 36令 解得x4，y3 是唯一驻点因驻点唯一，且实际问题又存在最大值，故 L(x，y)的最大值必在驻点(4，3) 达到，所以当甲、乙两种产品的产量分别为 4 吨和 3 吨时，可获得最大利润，且最大利润为 maxL144 3234 2 一 243432 一3640( 万元)(2) 由题设知，应在条件 x2y6 下求 L(x，y)的最大值构造拉格朗日函数：F(x，y，) L(x，y)(x2y6)令 解得 x2，y2，6因驻点(2
17、，2)唯一，且实际问题又存在最大值，故 L(x，y)在条件 x2y 6 下的最大值必在驻点(2，2)处达到所以，当甲、乙两种产品均是 2 吨时，可获得最大利润：maxL 1423222 2 一 222422 一 3628( 万元)【试题解析】 列出总利润函数的表示式，然后分别按无条件极值和有条件极值求之17 【正确答案】 可求得特征方程 r240，得 r2i于是方程对应齐次方程通解为 YC 1cos2xC 2sin2x又设非齐次方程的特解为 y *x(Acos2xBsin2x)，代入方程，有 A一 ， B0故原方程的通解为 yYy *C 1cos2xC 2sin2x xcos2x将条件 y(0
18、)0，y(0)1 代入，得 C10， C2 故满足条件的特解为 ，y xcos2x【试题解析】 先求特征方程的根，再确定特解的形式求出通解后，使用初始条件求出所要求的特解18 【正确答案】 (1)整理后有等式 (x1)f(x)(x 1)f(x)一 f(t)dt0，求导得到 (x1)f(x) (x2)f(x) 0设 u(x)f(x)，则两边积分得到 lnu(x)一 xln(x1)lnC， u(x) 即 (2)由 f(x)一 ex 且 x0，则有不等式 一 ex 一 ex 0 两边在0，x上积分，利用式有 e x一 1f(x)一 f(0)0，即有不等式 ex f(x)1【试题解析】 先在所给等式两
19、边求导得到 f(x)的二阶微分方程为求 f(x)，视f(x)为因变量，化为一阶微分方程而求之求出 f(x)的表示式后再放缩化为不等式，最后积分即可得到 f(x)的不等式19 【正确答案】 令 F(x)f(x)f(a)g(b) 一 g(x)下面对 F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有 F(a)0，F(b)0又 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在 (a，b)，使 F()0，即 f()g(b)一 g()一f()f(a)g()0由 g()0 得到 【试题解析】 先找出辅助函数 F(x)下面用凑导数法求之将待证等式中的 改为 x，式f(x)g(b)一 g(x)一 g(
20、x)f(x)f(a)0， 即 f(x)一 f(a)g(b)一 g(x)f(x) 一 f(a).g(b)一 g(x)0，亦即 f(x)f(a)g(b)一 g(x)0因而应作 F(x)f(x)一 f(a)g(b)一 g(x)20 【正确答案】 (E nBA)E nB(E nAB) 1 A E nBAB(E nAB)1 ABAB(E nAB) 1 A E nBA(BBAB)(E nAB) 1 A E nBAB(E nAB)(EnAB) 1 A E nBA BAE n 故 EnBA 可逆，且 (EnBA)1 E nB(E nAB) 1 A【试题解析】 只需证 E n 一 BAEnB(E n 一 BA)
21、1 AE21 【正确答案】 (1)首先将 A 的特征多项式分解成 的因式的乘积为此将E一 A中不含 的某素消成零，使其所在的列 (或行 )产生 的一次因式( 一 2)2一(a 3) 3(a1)因 B 的 3 个特征值为 2，2， b，由 AB 可知，A 与 B 有相同的特征值，故 A 的特征值为 1 22， 3b由于 2 是 A 的二重特征值，故2 是方程 2 一(a3)3(a1)0 的根把 12 代入上式即得 a5，因而有 E A (2)( 2 一 812)(2) 2( 一 6)于是 b 36(2)解线性方程组(2EA)X0，(6E A)X0 分别得到对应于 1 22， 36 的特征向量 1
22、 1，一 1，0 T， 21，0，1 T； 31，一 2，3 T 令 P 1， 2， 3，有P1 APB ，于是 P 1， 2， 3即为所求【试题解析】 先求出 A 的 3 个特征值 1， 2， 3，再分别求出 A 的对应于 i 的特征向量 i(i1，2，3)，则可求出可逆矩阵 P 1， 2， 322 【正确答案】 因 XN(0，1)，故 X 的概率密度为 (x) ex22 ，一x因 Ye 3X1 ，故 ye 3x1 为单调增加函数而故 y 的概率密度函数为【试题解析】 若 X 的概率密度为 fX(x)，随机变量 Y(X) 的概率密度 fY(y)的求法如下 (1)若 (x)0 即 y(x)为单
23、调增加函数，则 f Y(y)f X1 (y)1 (y)， 其中 x 1 (y)是 y(x)的反函数 (2) 若 (x)0 即 y(x) 为单调减少函数，则 f Y(y)f X1 (y)1 (y)， 其中 x 1 (y)为 y(x) 的反函数 上述两种情况可合并为 f Y(y)f X1 (y)1 (y)23 【正确答案】 假设第 i 个设保人员医疗花费为 那么保险公司支付第 i 个人的费用为 Xi 独立同分布，且 E(X i)005050 420104， E( )005(05)204 2 20105， D(Xi)E( )一E(X i)205 一(04) 2034总支付费用为 X Xi， E(x)500420， D(x)5003417由独立同分布中心极限定理知，X 近似服从正态分布 N(20，17)依题意知，附加保险费 应使 P(1)E(X) 一 X0)095，即 已知(162)095，(x)为 x 的单调函数，所以 应满足 033，即 至少取 033【试题解析】 首先要弄清题意，分析题中变量之间的关系及各变量所服从的分布，当分布未知时，注意中心极限定理的应用
