1、考研数学（数学三）模拟试卷 376 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x) 在点 x0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 判别级数的敛散性： dx( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无从判断3 已知某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln3，假设该商品的最大需求量为1200，则需求量 Q 关于价格 P 的函数关系是( )（A）Q1200.3 p（B） Q1200.3e p（C） Q1200.e 3p（D）Q1200.3 p4 设 I xydxdy，其中 D 是以 a 为半径、以
2、原点为圆心的圆，则 I 的值为( )（A）a 44（B） a43（C） a42（D）a 45 已知 n 阶矩阵 A，B，C，其中 B，C 均可逆，且 2AAB 1 C，则 A( )（A）C(2E B)（B） C( E 一 B)（C） B(2BE)1 C（D）C(2BE) 1 B6 A 是 mn 矩阵，线性方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（A）mn 且A0（B）导出组 AX0 有且仅有零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 与 1， 2， ， n，b 等价（D）r(A)n，且 b 可由 A 的列向量组线性表出7 设随机变量 X 与 Y 都服从 01 分布，且 X，Y 相互独立，
3、P(X0，Y0)一 16， P(X1，Y0)112，P(X0，Y1)a ， P(X1，Y1)b，则( )（A）a1 15，b2536（B） a2536，b118（C） a12，b14（D）a1 6，b1128 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则 2 的无偏估计量为( ) （A）（B）（C）（D）二、填空题9 _10 _11 微分方程 yyx 2 的特解形式为_12 已知 u ，计算(1) _(2)_13 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n1，则线性方程组AX0 的通解为_14 设随机变量 X 的分布函数为 F(x) 对
4、 X 独立观测 3 次，则 3 次结果都不超过 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，证明：存在 (a，b) ，使得 16 某商品需求量 Q 对 p 的弹性 p (0pb)，又知该商品的最大需求量为a(a 0)，求需求量 Q 对价格 P 的函数关系17 设 uf(x， y)是连续可微函数，xrcos ，yrsin 证明：18 设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)0试证明：至少存在一点 0，1，使f()2 f(x)dx19 求解差分方程 yx1 3y xx.2 x20 设 A 为三阶实对称矩
5、阵，且存在可逆矩阵 P ，使得 p1 AP又 A 的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0 所对应的特征向量为2，5，一 1T(1)求 0 的值； (2)计算(A *)1 ； (3)计算行列式A *E 21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维线性无关列向量组，且有A1 2 3，A 2 3 1，A 3 1 2 (1)求 A 的全部特征值； (2)A 是否可对角化?22 商店销售一批收音机，共有 10 台，其中有 3 台次品，但是已经售出了 2 台问从剩下的收音机中任取一台是正品的概率是多少?23 已知(X，Y)的联合概率密度为 (1)求在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度；(2)X 与 Y
6、 是否相互独立?并说明理由；(3)求 P(0X12Y12)考研数学（数学三）模拟试卷 376 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 分段函数在分段点处的连续性和可导性通常用连续和可导的定义来讨论因显然上述极限不存在，故 f(x)在 x0 处不可导但这是因为 为无穷小量(x0)，而 cos( )为有界变量因而 f(x)在 x0 处连续，但不可导仅(C) 入选2 【正确答案】 A【试题解析】 将被积函数放大，使之积分后产生收敛的比较级数因为 而1cos 收敛，由比较判别法知dx 收敛，且为正项级数，故必定绝对收敛仅(A)入选3 【
7、正确答案】 A【试题解析】 利用弹性定义建立微分方程解之，也可逐个检验四个选项中的结果是否符合题目的要求，从而确定选项解一 根据需求弹性的定义与题设可知， pln3，由此即得 ln3解此微分方程，有 QCe pln3 C.3 p ，其中 C 为待定常数再由最大需求量为 1200 的假定，即知 Q(0)C.3 0 1200，故 C 1200， 则 Q1200.3 p ，所以(A)是正确的仅(A)入选解二 可逐个检验(A) 、 (B)、(C) 、(D)中的答案对(D)来说，1200 不是最大需求量；对(B) 来说，弹性 p，而且最大需求量也不是 1200；对(C)来说，弹性3p ，也不合题目要求因
8、此仅(A) 入选4 【正确答案】 C【试题解析】 被积函数关于 x，y 都是偶函数，且积分区域关于坐标轴、坐标原点都对称，故所求积分等于第一象限积分区域上的 4 倍以此简化计算设D1(x，y)x 2y 2a2， x0，y0 ，则 5 【正确答案】 D【试题解析】 解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(AB) 1 A1 B1 仅(D)入选由于 2AAB 1 C，有 2AAB 1 C， 且 A(2E B1 )C，又 C 可逆，则 A(2EB1 )C1 E，故 A 可逆，且得 A(2EB 1 )C1 1 C(2B 1 BB 1 )1 CB
9、 1 (2BE) 1 C(2BE) 1 B注意 化简(2EB 1 )1 时常见下述错误： (2EB 1 )1 (2E) 1 一(B 1 )1 EB，或 (2EB 1 )1 2EB这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误!6 【正确答案】 D【试题解析】 利用 AXb 有唯一解的充分必要条件是 r(A)r( )n 去判别当 mn 时，必有 r(A) r( )，因而必有解又A0，即mnr(A)，则 AXb 必有唯一解这也可由克拉默法则得知，但并不必要当mn 时，方程组也可能有唯一解例如 AXb 有唯一解(C)是 AXb 有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组1， 2
10、， n 与 1， 2， n，b 等价是方程组 AXb 有解的充要条件，是有唯一解的必要条件例如 AXb 有解，但解不唯一(B) 是 AXb 有唯一解的必要条件，并非充分条件因这时不能保证 r(A)r()如 AX0 有非零解，则 AXb 必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解当 AX0 只有零解时，AXb 可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解例如 AX0 仅有零解，而 AXb 并无解(D)秩 r(A)n 表明 A 的列向量组线性无关，因而如 AXb 有解，则解必唯一仅 r(A)n 还不能保证 r(A)r( )，因而不能保证 AXb 有解(参见(B)中反例 )，b 可由 A 的列向量
11、组线性表出是 AXb 有解的充要条件，这两个条件结合才能保证 r(A) r( )n因而它们才是 AXb 有唯一解的充要条件仅(D) 入选注意 (B)、(C) 均是必要条件，前者不能保证 r(A)r( )，因而不能保证 AXb 必有解，后者不能保证 AXb 的解唯一A 的列向量线性相关，AXb 绝对没有唯一解，列向量组线性无关最多有唯一解7 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 的独立性及边缘分布的归一性建立 a 与 b 的两个方程求之由题设得到(X，Y) 的联合分布律如下表：因 X，Y 相互独立，故P(X0，Y 0)P(X 0)P(Y0)(16a)(3 12)16，解得 a12由Y 分
12、布的归一性得到 312ab1， 故 b14 仅(C)入选8 【正确答案】 B【试题解析】 按照无偏估计量的定义，只需证明哪个统计量的期望等于 2仅(B)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先作代换 1xt，再用换底法求其极限10 【正确答案】 【试题解析】 作变量代换去掉无理根式，再积分求之因作变量代换t，则 两端微分得到dx2tdt ，于是11 【正确答案】 y *x(ax 2bxc)【试题解析】 先求出对应齐次方程的特征方程的根 r1，r 2，再根据方程右端所含的自由项 f(x)的形式设出特解 y*的形式(1) 若 f(x)P m(x)ex，则特解 y*x kQm(x)ex，其中
13、 Qm(x)是与 Pm(x)同次的待定多项式 (2)若 f(x)e xPl(x)cosxP n(x)sinx，则设特解为 y *x kex (x)sinx，其中(x)是 m 次多项式，m maxl，n，对应其次方程为 r 2r r(r 1)0，故r0 为其一特征根，而 f(x)x 2x 2e0x，即 f(x)中的指数为 0因指数 0 为其特征方程的单根，故特解形式为 y *x(ax 2bxc)，其中 a，b ，c 为待定的系数12 【正确答案】 (1)0(2)0【试题解析】 利用范德蒙行列式的算法或根据三阶行列式的对角线计算法则，得到 u(yx)(zx)(zy)yz 2xy 2x 2zx 2y
14、xz 2zy 2，于是 y 22xz 2xyz 2， z 22xyx 22yz， 2yz x 22xzy 2，则 0又 2y2x，于是 013 【正确答案】 C【试题解析】 A 的各行元素之和均为零，这就告诉我们 1，1，1 T 为 AX0的非零解向量再利用线性方程组解的结构求其通解 因 r(A)n 一 1，故AX0 的一个基础解系只含一个解向量又由题设有 A1，1，1T0，0，0 T 因而 1，1，1 T 为 AX0 的一个非零解向量，它也为 AX0 的一个基础解系，故其通解为 C，其中 C 为任意常数14 【正确答案】 27512【试题解析】 设随机变量 Y 为 3 次观测试验中不超过 1
15、 的次数，则 YB(3，p)，其中 pP(X1)为求 P(Y3) p3(1p) 33 ，首先必求出 ppP(X1)F(1)38，则 P(Y 3) (38) 327512三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 F(x) f(a)g(x)g(a)f(x)，则 F(x)满足拉格朗日中值定理的各个条件因 F(a)f(a)g(a)g(a)f(a)0， F(b)f(a)g(b) 一 g(a)f(b)，则存在 (a，b) ，使 F(b)一 F(a)(ba)F()，即 f(a)g(b)g(a)f(b)(b 一 a)f(a)g()一 g(a)f()，亦即 【试题解析】 从待证等
16、式出现 b 一 a 因子，使人猜想到可能使用拉格朗日中值定理证之但使用该定理的函数是什么?如何找?可将待证等式右边中的 变为 x，去掉导数符号得到 f(a)g(x)g(a)f(x)，此为所要找的辅助函数16 【正确答案】 设所求函数关系为 QQ(p)，根据需求量对价格的弹性 得 两边积分得通解 lnQln(bp) lnC ，即 QC(bp)又由于最大需求量是指：当价格 p0 时，需求量 Q 的极限值依题意有 Qa，即 C(b 一 p)a 确定 C ，于是 Q 对 p 的函数关系为 Q (b 一 p)【试题解析】 利用需求价格弹性公式可建立可分离变量的微分方程，再利用初始条件 Qa 此谓商品的最
17、大需求量)即可求得需求函数 Q(p)17 【正确答案】 使用克拉默法则可解得 则 【试题解析】 将 x，y 分别看成中间变量，求出 的表示式，利用克拉默法则解出 ，再将其平方相加18 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以函数 f(x)在0，1上有最值设其最大值与最小值分别为 M 和 m，即有 mf(x)M，x0，1又由拉格朗日中值定理有 f(x)f(x)一 f(0)xf()，则 2 xf()dx因 mf()M，故 xmxf()xM (因 x0) ，所以 2mx2xf()2xM 对 f(x)使用介值定理，得到至少存在一点 0，1，使 f()2 f(x)dx【试题解析】 因 f(x)
18、在0，1上连续，如能证明 2 f(x)dx 在函数 f(x)的最大值与最小值之间，对 f(x)在0，1上使用介值定理，问题得证为要产生导数 f()，注意到 f(0)0，可先使用拉格朗日中值定理19 【正确答案】 特征方程为 30，其特征根为 一 3，故对应齐次方程的通解为 C(一 3)x， C 为任意常数因为 b2 不是特征根，所以可设非齐次方程的特解形式为 (A 0A 1x)2x，代入非齐次方程得A 0A 1(x1)2x1 3(A 0A 1x)2xx.2 x，即 A 0A 1(x1).23(A 0A 1x)x比较两端同次幂系数，解之得 于是所求特解为因此原方程的通解为【试题解析】 f(x)的
19、形式为 Pn(x).bx，P n(x)为 x 的 n 次多项式，而 n1，b2因特征根 一 32，即 f(x)的底数 b2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解形式为 *(A 0A 1x).2x 将其代入非齐次方程后，比较两端同次幂的系数定出常数A0，A 1 即可求得一特解20 【正确答案】 (1)由题设，有 APP ，令 P 1， 2， 3，其中则 A11. 1，A 22. 2，A 31. 3 即 1， 2， 3 是属于 3 个不同特征值11， 22， 31 的特征向量而 A 为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，则 解得 a0，b 2 又 A* 0，而 3，于是有 A*( 3)
20、 0( 3)，即A*3 03 从而 AA *3 0A3，A 3 0A3 可见 又 A 3(1) 3，因此有 31，故 02(2)由 A11. 1，A 22. 2， A31. 3 及 有A1， 2， 3 1，2 2， 3于是 A 1，2 2， 31， 2， 31(3)由Ai ii(i1，2，3)，有 A*i 555i，进而有 (A *E) i( 5561) i，可见 A*E 的特征值为 即 1一 1， 20， 33故 A *E 1230【试题解析】 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出 a，b，再由 A 的特征值1，2，一 1，可求得 A*的特征值，从而求得 A*E 的特征值，于是其行列式易求得
21、，只需用公式(A *)1 AA即可求得(A *)121 【正确答案】 (1)由题设知， A( 1 2 3)2( 1 2 3)， A( 2 1)A 2 一A1 3 1 一( 2 3)一( 2 1)， A( 3 1)A 3 一 A1 1 2 一( 2 3)一( 3 1)又因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 30， 2 10， 3 10可得一 1，2 是 A 的特征值， 2 1， 3 1， 1 2 3 是相应的特征向量又由 1， 2， 3 线性无关，得 2 1， 3 1 也线性无关，所以一 1 是 A的二重特征值，即 A 的全部特征值为一 1，一 1， 2(2)由 1， 2， 3 线性无关
22、可证明 2 1， 3 1， 1 2 3 线性无关事实上，由矩阵表示法：2 1， 3 1， 1 2 3 1， 2， 3 而 1， 2， 3 线性无关，右边的三阶行列式不等于 0，其矩阵可逆，故 2 1， 3 1， 1 2 3 线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，故矩阵 A 为可对角化【试题解析】 利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出 A 的全部特征值及三个线性无关的特征向量22 【正确答案】 设事件 A 表示从剩下的收音机中任取一台是正品的事件， Ak 表示售出的 2 台中恰有 k(k0，1，2)台为正品的事件，则 A0，A 1，A 2 为一完备事件组利用超几何分布得到
23、P(A k) (k0，1，2)易求得 P(A 0)P(AA k) (k0，1，2)，则 P(AA 0)由全概率公式得到 P(A)P(A 0)P(AA 0)P(A 1)P(AA 1)P(A 2)P(AA 2) 【试题解析】 弄清楚随机试验的结构是求解的关键易知试验分两个阶段进行：第一阶段是售出的 2 台中有 k(k0，1，2)件正品；第二阶段是在第一阶段的基础上任取一台，考虑其为正品的概率不难想到应该用全概率公式需找出一个完备事件组23 【正确答案】 (1)如下图所示，当 0y1 时，在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度为(2) fX(x) x2(1x 4)，0x1，故 由 fXY (xy)f X(x) 或 fX(x)fY(y) f(x，y) 知， X 与 Y 不独立(3)【试题解析】 先求出条件概率密度，然后利用它回答下面的两个问题
