1、考研数学（数学三）模拟试卷 380 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f(x)。（D）f(x)。2 下列广义积分收敛的是( )（A）（B）（C）（D）3 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 =( )（A）（B）（C）（D）4 下列级数中收敛的有( )（A），。（B） ，。（C） ，。（D），。5 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的
2、第 2 列加到第 3列上得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )（A）（B）（C）（D）6 设 A=(1,2,3,4)是四阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为 ( )（A） 1， 3。（B） 1， 2。（C） 1， 2， 3。（D） 2， 3， 4。7 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( )（A）（B）（C）（D）8 设 X1，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为X，S 2，则下列服从自由度为 n 的 2 分布的
3、随机变量是 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设函数 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1,f(2)=3,f(2)=5，则 _.10 设 u=u(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，3x)=x ，u(x ，3x)=x 3，则uxy(x，3x)=_。11 设某商品的需求函数是 ，则需求 Q 关于价格 p 的弹性是_。12 差分方程 yx+1 一 2yx=3x2 的通解为_。13 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A 一 3E)一 1=_。14 设 X1，X 2，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，则_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(
4、x)连续，且满足 求 f(x)。16 求级数 的收敛域。17 设企业的收入函数为 R(Q)=30QQ2，成本函数为 C(1+2Q+2Q+O2，其中 Q 是产品的产量，税率为 t。 (I)求当税前利润最大时产品的产量及产品的价格； ()求当税后利润最大时的税率； ()求当税后利润最大时产品的产量和产品的价格。18 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 ，试确定 a，b，c 的值，使所围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。19 证明不等式20 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组
5、的一个解，试求：(I)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；() 该方程组满足 x2=x3 的全部解。21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)，若二次型 f 的标准形为y12+2y22+5y32，求 a 的值及所使用的正交变换矩阵。22 袋中装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi 表示第 i 次取到的白球数，i=1，2。 (I) 求(X 1，X 2)的联合分布；()计算 PX1=0，X 20和 PX1X2=0。23 设总体 X 的概率密度为 为来自总体X
6、的简单随机样本。(I)求 的矩估计量 ；()求 。考研数学（数学三）模拟试卷 380 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则f(x)+sinx一 sinx 在点 x0 处也是连续的，与已知矛盾，因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必定间断。2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知可知积分区域为 ，据此画出积分区域的图形如下图所示： 在区域 D 中最高点纵坐标为 y=1，最低点纵坐标为 y=0，左边界方程为 x=siny，右边界方程为 x=，因
7、此 ，故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，可知 把 B 的第 2列加到第 3 列上得 C，则 ，因此故选 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 首先要求伴随矩阵的秩，由于 Ax=0 的基础解系中仅含有一个向量，因此 r(a)=3，从而 r(A*)=1，可知 A*x=0 的基础解系中有 3 个解向量。 由于(1，0， 1，0) T 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 A(1，0，1，0) T=0，且 A 的秩为3，即 1+3=0 且A=0，由此可知 A*A=AE=O，即 A*(1,2,3,4)=O，所以 1,2
8、,3,4 是 A*x=0 的解。由于 r(a)=3， 1+4=0，所以 2， 3， 4 线性无关，即 2， 3， 4 可作为 A*x=0 的基础解系，故选 D。7 【正确答案】 A【试题解析】 根据条件概率的定义8 【正确答案】 D【试题解析】 为 n的 2 分布。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边同时对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1，再对x 求导，得 uxx(x，3x)+6u xy(x，3x)+9u yy(x，3x)=0，11 【正确答案】 【试题解析】 根据弹性函数的定义，则需求 Q
9、关于价格 p 的弹性为 即12 【正确答案】 y x=A.2x 一 96x 一 3x2，A 为任意常数【试题解析】 对应的齐次方程的通解为 yx*=A.2x(其中 A 为任意常数)。非奇特解与右端为同名函数，因此设 y=B0+B1x+B2x2，代入给定方程，有 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 一 2B0 一 2B1x 一 2B2x2=3x2， 整理得 ( 一 B0+B1+B2)+(一 B1+2B2)x 一 B2x2=3x2，比较同次幂的系数得一 B0+B1+B2=0，一 B1+2B2=0，一 B2=3，故 B0=一 9，B 1=一6，B 2=一 3。 因此，通解为 yx=yx+y=A.
10、2x 一 96x 一 3x2，A 为任意常数。13 【正确答案】 【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A 一 3E=O，分解得(A 一 3E)(A+4E)=一 9E，两边除以一 9 可得，14 【正确答案】 【试题解析】 已知 X1，X 2，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，因此可得E(Xi)=D(Xi)=(i=1，2，)，从而可知 近似服从分布 N(n，n)，标准化为近似服从 N(0，1)，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 (I)税前利润函数18 【正确答案】 由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax2+bx。19 【正确答案】 最小值点 f(x)最小值为 f(0)=0。于是 f(x)0(一 x+)，即20 【正确答案】 将(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =。对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换，得21 【正确答案】 22 【正确答案】 (I)X 1 的可能取值为 0，1；X 2 的取值为 0，1，2。由乘法公式可得得联合分布与边缘分布如下表：23 【正确答案】
