1、考研数学（数学三）模拟试卷 383 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e xetanx（B） 1n(1+2t)dt（C） ln(1+x)一 sinx（D）2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在 xx0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 X0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 f(x)存在，则 f(x)在x0。处可导，且 f(x0)
2、= f(x)3 设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+ g(xt)dt， =2，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f，(0) 也不是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)=x33x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( ).（A）k1（B） k1（C） k2（D）k25 设 A= ，则 B 等于 ( ).（A）P 1 A（B） AP1（C） P1（D） 6 设 A 为 mn 矩阵，对 n 元非齐次线性方程组 AX=b，下列结论正确的是(
3、) （A）若 AX=0 只有零解，则 Ax=b 一定有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 AX=b 有无穷多个解（C）若 r(A)=m，则 Ax=b 一定有唯一解（D）若 Ax=b 有两个线性无关解，则 AX=0 一定有非零解7 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x， y)，其边缘分布函数为 FX(x)及FY(y)，则 PXx，Yy=( )（A）F Y(y)一 F(x，y)（B） FX(X)一 F(x，y)（C） F(x，y)一 FX(z)FY(y)（D）1 一 FX(x)FY(y)8 设(X 1，X 2，X N)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（A）n N
4、(0，1)（B） nS2X 2(n)（C） t(n 一 1)（D） F(1，n 一 1)二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) xcosxax 2，则 a=_10 设 F(u，)一阶连续可偏导，且由 F( )=0 确定 z 为 x，y 的隐函数，则=_.11 _.12 设 z=z(x，y)由 F(az 一 by，bx 一 cz，cyax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 一 0，则 =_13 设 A= ，B= ，若 AB，则 y=_.14 设随机变量 X ，Y ，且 Cov(X，Y)= ，则(X，Y) 的联合分布律为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y=
5、y(x)(x0)是微分方程 2 +y一 y=(46x)ex 的一个解，且 =0(I)求 y(x)，并求 y=y(x)到 z 轴的最大距离()计算 y(x)dx16 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得f(x)dx=f(0)+f(1)+ ()17 设 f(x)为 一 a，a 上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)= xf f(t)dt ()证明：F(x)单调增加 ( )当 x 取何值时，F(x)取最小值? ()当 F(x6)的最小值为 f(a)一 a2 一 1 时，求函数 f(x)18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p2，
6、求： (I)当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义； (II)当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ( )当 P=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?19 现有两只桶分别盛有 10 L 浓度为 15 gL 的盐水；现同时以 2 Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2 Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二只桶中含盐多少克 ?20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解21 设 a=(1，1，一 1)T 是 A= 的一
7、个特征向量 () 确定参数 a，b的值及特征向量 a 所对应的特征值； () 问 A 是否可以对角化？说明理由.22 设 X 的概率密度为 且 Px1= () 求a，b 的值；()求随机变量 X 的分布函数；()求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为(I)求 的矩估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 383 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e xetanx=etanr(extanr 一 1)xtanx，因为，所以 exe ta
8、nx一 x3;由，得 ln(1+2t)dtx 4；由ln(1+x)=x +o(x3)，sinx=x +o(x3)，得 ln(1+x)一 sinx一 ；一 1= ，选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x) = 。由 f(x) =0=f(0)， =0 得厂(z) 在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0因为 f(x)不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)， (B)不对；令 f(x)= 显然 =2 因为f(x)=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为 f(x)在 x0处连续
9、且在 x0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f(x)一 f(x0)=f()(xx0)或者 ，其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得存在，即 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=(x)，选 (D)3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，由 =一 2 得 g(0)=0，g(0)=一 2.由 g(x 一 t)dtg(u)du 得 f(x)=lncosx+ g(u)du (x)=一 +g(x)， (0)=0f(0)=一 12=一 30，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选 (C)4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调
10、，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零f(x)=3(x 2 一 1)=0，得驻点x=1，且由图形可知， x=一 1 为极大点，x=1 为极小点故 f(一 1)=2+k0 k一 2，f(1)=一 2+k0 2，选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 P 1A= ，因为，选(C).6 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 r(A)=n，而方程组 AX=b有唯一解的充分必要条件是 r(A)=r( )=n，(A)不对；AX=0 有非零解的充分必要条件是 r(A)n ，而方程组 AX=b 有无穷个解的充分必要条件是 r(A)=r(A)n，(B)不对
11、；若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解，但不一定有唯一解，(C) 不对；若AX=b 有两个线性无关解，则 r(A)=r( )n，从而 r(A)n ，于是方程组 AX=0 有非零解，选(D) 7 【正确答案】 A【试题解析】 令 A=Xx)，B=Yy)，则 PX z，Yy=P(AB)=P(B)一 P(AB)=FY(y)一 F(x，y)，应选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 由 2(1)， 2(n 一 1)，得 F(1，n 一 1)，选(D)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x1=e xln(1+2x)1xln(1+2x) 2x 2 所以(1
12、+2x)xcosx=(1+2x) x 一 1+1 一 cosx2x 2+ x2，于是 a=10 【正确答案】 z【试题解析】 F( )=0 两边对 x 求偏导得 =0，解得； =0 两边对 Y 求偏导得 =0解得 .故11 【正确答案】 131n【试题解析】 令 S(x)= 收敛域为1 ，1 ， S(x)= =xln(1一 x)(一 1x1) ， 一 x=一 ln(1 一 x)一 x(一 1x1)，S(x)=x+(1 一 x)ln(1 一 x)，当 x=1 时，S(1)= 所以 S(x)=于是=131n 12 【正确答案】 b【试题解析】 F(az 一 by，bx 一 cz，cy 一 ax)=
13、0 两边对 x 求偏导得 0，解得；F(az 一 by，bx 一 cz，cyax)=0 两边对 y 求偏导得故13 【正确答案】 6【试题解析】 由 AB 得 tr(A)=tr(B)，即 x 一 3=0，于是 x=3显然 A，B 的特征值为 1=2=1， 3=一 2，因为 AB 且 B 为对角矩阵，所以 A 可对角化，从而r(EA)=1，由 EA= 得 y=614 【正确答案】 E(X)= ，由 Cov(X，Y)=E(XY) E(X)E(Y)=E(XY) ，得E(XY)= ，因为 XY 的可能取值为 0，1，所以 XY .由 PX=1)=Px=1，Y=0+Px=1 ，Y=1)，得 PX=1，Y
14、=0= ，再 PY=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=0)= ，得 PX=0，Y=0= ，则(X， Y)的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)2 +y一 y=(46x)ex 的特征方程为 22+ 一 1=0，特征值为1=一 1， 2= ，2 +y一 y=0 的通解为 y=C1e x+C2 ， 令 2 +yy=(46x)ex 的特解为 y0=(ax2+bx)ex ，代入得 a=1，b=0 ， 原方程的通解为y=C1ex +C2 +x2ex 由 =0。得 y(0)=0,y(0)=0，代入通解得 C1=C2=0，故 y= 由 y=(2xx2)ex
15、 =0 得 x=2， 当 z(0，2) 时，y0 ；当 x2 时，y 0，则 x=2 为 y(x)的最大点， 故最大距离为 dmax=y(2)=4e2 () y(x)dx=x2ex dx= (3)=2 =216 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 两式相减得 F(1)一 F(0)= ， 即因为 (x)C1， 2，所以 上取到最大值 M 和最小值 m， 于是， 由介值定理，存在， 故有17 【正确答案】 ()F(x)= xtf(t)dt= (xt)f(t)dt+ (tx)f(t)dt =F(x)= f(t)dt+xf(x)一
16、xf(x)一xf(x)+ f(t)dt+xf(x) = f(t)dt f(t)dt 因为 (x)=一 2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 () 因为 F(0)= f(x)dx 一 f(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 (0) 0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)=()由 2 (t)dt=f(a)a 21 两边求导得于是 f(x)一2xf(x)=2x， 解得 f(x)=*541，在 tf(t)dt=f(a)一a2 一 1 中令 a=0 得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)= 一 118 【正确答案】 () 边际需求
17、函数为 当 P=4 时，边际需求为 =一 8其经济意义在于，在价格为 P=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8个单位 () 需求价格弹性函数为 当 p=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 P=4 的基础上，若价格提高1，则产品的需求量就减少 054 ()当 p=4 时，若价格提高 1，因为0541，该商品缺乏弹性，企业的收益是增.因为 R=pQ=75P 一P3， =753P 2，所以 046，故当价格提高 1后，企业的收益增加 04619 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有 由 得m1(t)=C1 ，再由 m1(0)=
18、150 得 C1=150，故 m1(t)= 再由，则 m2(t)=150 得 C2=150，于是，5 分钟后第二只桶含盐 m2(5)= 克20 【正确答案】 1)当 a一 1，a6 时，方程组只有唯一解；2)当 a=一 1 时，当 a=一 1，b36 时，方程组无解；当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解，方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 因为 r(A)=r( )=3(其中 k 为任意常数)21 【正确答案】 () 由 Aa=a，得 解得 a=一 3，b=0，=一1 ( )由 E 一 A=(+1) 3=0，得 =一 1 是三重特征值因为 r(一 EA)=2，所以 =一 1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 (I)由 1=又由于是 F(x) ()F Y(y)=PX3y，当 yY(y)=0；于是 FY(y)=故23 【正确答案】 (I)E(X)= xf(x)dx= ， 令 =E(X)，则 的矩估计量为 ()L()=f(x 1)f(x2)f(xn)= ， lnL()=2nln+ ，令 lnL()= ，得 大似然估计值为 的极大似然估计量为
