1、考研数学（数学三）模拟试卷 386 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= sint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但：作等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，且 =1，f(0)为 f(x)的极值，则( )（A）当 f(0)=0 时，f(0) 是 f(x)的极小值（B）当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值（C）当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极大值（D）当 f(0)1，则级数 发散（C）若 收敛，而 绝对收敛，则 anb
2、n 绝对收敛（D）若 与 都发散，则 (un+un)发散5 下列结论正确的是( ) （A）设 A，B 为 n 阶矩阵，若 A，B 非零特征值个数相等，则 r(A)=r(B)（B）若 A，B 是 n 阶可逆的对称矩阵，若 A2 与 B2 合同，则 A，B 合同（C）若 A，B 是阶 n 实对称矩阵若 A，B 合同，则 A，B 等价（D）若 A，B 是 n 阶实对称矩阵，若 A，B 等价，则 A，B 合同6 设向量组 a1，a 2，a 3 线性无关， 1 不可由 a1，a 2，a 3 线性表示，而 2 可由1，a 2，a 3 线性表示，则下列结论正确的是 ( )（A） 1，a 2， 2 尼线性相关
3、（B） 1，a 2， 2 线性无关（C） a1，a 2，a 3， 1+2 线性相关（D）a 1，a 2，a 3， 1+2 线性无关7 设 P(AB)=P(BA)= ，P( )= ，则( )（A）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)= f(t)dt，则对任意常数 a0，P X a 为( )（A）22F(a) （B） 1 一 F(a) （C） 2F(a) （D）2F(a)一 1二、填空题9 设 z=f(
4、x，y)连续，且 =2，则 dz (1，2) =_10 设 f(x)= ，则 f(x)dx=_.11 设 f(x，y)满足 f(x，1)=0， (x，0)=sinx ， (x，y)=2x，则 f(x，y)=_12 微分方程 ysinx 一 ylny 满足初始条件 y( )=e 的特解为_.13 设 A= 且 A=3 ，B= ，则B*A=_.14 设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0， 1)的随机变量，则随机变量Z=max(X，Y)的数学期望 E(Z)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 L： +y2=1(x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线
5、所围成面积的最小值16 证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)17 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导()若 f(a)=0，f(b)0，f +(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() ()+f2()=0()若 f(a)=f(b)= f(x)dx=0，证明：存在(a， b)，使得 ()=f(n)18 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) ( )求 S=S(a)的表达式； ()当口取何值时，面积 S(a)最小?19 求级数 的收敛域及和函数20 设 A= ， B 为三阶非
6、零矩阵，a 1= ，a 2= ，a 3= 。为BX=0 的解向量，且 AX=a3 有解.()求常数 a，b.()求 BX=0 的通解.21 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 ，又a= 且 A*a=a (I)求正交矩阵 Q； ()求矩阵 A22 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)23 设总体 X 的分布函数为 (X1，X 2，X 10)为来自总体 X 的简单随机样本，其观察值为 1，1，3，1 ，0，0，3，1，0，1()求总体 X 的分布律；() 求参数秒
7、的矩估计值； () 求参数 的极大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 386 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B).2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导，所以由 =1 得 f(0)+f(0)=0.当f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，(C)，(D) 不对；当 f(0)=0 时，f(0)=0，由 = (0)+47(0)得 (0)=10，故 f(0)为 f(x)的极小值，选 (A)3 【正确答案】 C【试题解析】 由 01 f(x，y)=x x，得 f(x，
8、y)=0=f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处连续 .由 =0，得 (0，0)=0，同理(0， 0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导.因为不存在，所以 f(x，y)在(0， 0)处不可微，应选 C.4 【正确答案】 C【试题解析】 若 收敛，则a n有界，即存在 M0，使得a nM ，于是有0a nbnM.b n由 绝对收敛得 收敛，于是 a nbn收敛，即 anbn 绝对收敛，选 (C)5 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= 显然 A，B 非零特征值个数都为1，但 r(A)，r(B)，不选(A)取 A=( ).B=( )显然 A2 与 B2 的正惯性指数都为 2，A 2
9、 与 B2 合同，但 A，B 不合同。不选(B)：符 A.B 合同，即存在可逆矩阵P.使得 PT=B则 r(A) r(B)故 A，B 等价应选(C)： 若 AB 等价即 r(A)=r(B)但 A.B 的正负惯性指数不一定相等故 A，B 不一定合同，不选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1 不可由 a1，a 2，a 3 线性表示，而 2 可由 a1，a 2，a 3 线性表示，所以 1+2 不可由 a1，a 2，a 3 线性表示，从而 a1，a 2，a 3， 1+2 线性无关，故选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)=P(BA)= 得 P(A)=P(B)，再由 P(
10、)= 得 P(A)=P(B)=且 P(AB)= P(A)= + 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= ，选(C) 8 【正确答案】 A【试题解析】 PXa=1 一 PXa)=1 一 P一 aXa=1 一 F(a)+F(一 a)，而 F(a)= f(t)(dt)= f(t)dt=1F(a)，所以 PXa=2 2F(a)，选(A) 二、填空题9 【正确答案】 2dxdy 【试题解析】 令 = ，由 f(x，y) 连续得 f(1，2)=3 ， 由得 f(x,y)2x+y 一 f(1，2)=o(), 即z=f(x，y)一 f(1，
11、2)=2(x 一 1)一(y 一 2)+o()， 故 dz =2dxdy10 【正确答案】 +1 一 ln2【试题解析】 当 0z1 时，f(x)= ；当 x=1 时，f(x)=0 ； 当 x1 时，f(x)= ，所以 f(x)= 则 =arctanx 一 1n(1+x2) +1ln211 【正确答案】 xy 2+ysinxxsinx【试题解析】 由 (x，y)=2x 得 (x，y)=2xy+(x)，因为 (x，0)=sinx，所以(x)=sinx，即 fy(x，y)=2xy+sinx，再由 fy(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy2+ysinx+(x)， 因为 f(x，1)=
12、0，所以 (x)=一 xsinx，故 f(x，y)=xy 2+ysinxzsinx12 【正确答案】 y=e cscx cotx【试题解析】 由 ysinx=ylny 得 =cscxdx，两边积分得 ln lny =1n cscx cotx+lnC， 即 lny=C(cscx 一 cotx)，由 y( )=e 得c=1，故特解为y=eecscxcotx 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13，所以B= AE 12(2)E 13=3，有因为 B*=BB 1 ，所以 B*= 故B*A=3E 13E12(2)=3E 1314 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 是两个
13、相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)=fx(x)f Y(y)= 。于是 E(Z)=EFmax(X，Y)=max(x，y)f(x ， y)dy 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积 设 M(x，y) L，过点 M 的 L 的切线方程为 X+yY=1.令 Y=0，得 X= ，切线与 x 轴的交点为 P( ，0)；令X=0，得 Y= ，切线与 y 轴交点为 Q(0， )， 切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)= 其次求最优解方法一：设 F(x，y，)=xy+( +y21)， 令 F x=+y=
14、0， F y=x+2y=0， F = +y2=0， 由D= =21=0 ，= 1，(=1 舍去），代入 ，得 y= ，再代入 ，得，于是最小面积为 S=2 一 方法二：由 ，得 y=一 x，x=一2y， 两式相除，得( )2= 或 y= ，代入，得 于是最小面积为 S=2一 方法三：令 L: (0t )，S= ，当 t= 时所围成的面积的最小，且最小值为 S=2 一 .16 【正确答案】 令 (x)=ex1 一(1+x)ln(1+x)，(0)=0(x)=e xln(1+x)一1，(0)=0， (x)=ex 一 0(x 0) 由 得 (x)0(x0) ；由 得 (x)0，即当 x0 时，e x
15、一 1(1+x)ln(1+x).17 【正确答案】 (I)因为 (a)0，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0，因为 f(c)f(b)0，所以存在 x0(c，b)，使得 f(x0)=0因为 f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1(a，x 0)，使得 f(x1)=0 令 (x)=f(x)f(x)，由 (a)=(x1)=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1) (a，b) ，使得 ()=0而 (x)=f(x) (x)+f2(x)，所以 f() ()+f2()=0 ()令 F(x)= f(t)dt，因为 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c(a，b) ，使得 F(c)=
16、0，即 f(c)=0 令 h(x)=exf(x)，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，则 h(x)+f(x)，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0 再令 G(x)=ex f(x)+f(x)，由 G(1)一 G(2)=0，根据罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b) ，使得 G()=0，而 G(x)=ex (x)一 f(x)且ex 0，所以 ()=f()18 【正确答案】 () 设另一个切点为(x 0， )，则抛物线 y=x2 的两条切线分别为L1:y=2ax 一 a2，L 2:y=2x0x 因为
17、 L1L2，所以 x0=一 ，两条切线 L1，L 2 的交点为 x1= ，y 1=ax0，L 1，L 2 及抛物线 y=x2 所围成的面积为 S(a)=dx+ x2 一 a2dx = ()令 S(a)= (a+ )2(1 一 )=0，得 a= ，因为当 a(0， )时，S(a)0，当 a 时，S(a)0，所以当 a=时，面积 S(a)取最小值 19 【正确答案】 由 得幂级数的收敛半径为 R=2当 x=2 时，因为收敛，所以收敛域为2，2.令 S(x)=，再令 S1(x)=，则 S1(x)= =xln(1 )(2x2) ，S 2(x)= =2ln(1 一)一 x(一 2x2) ，又当 x=2
18、时，S(2)= 所以S(x)=20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 ，解得 a=3b 解得 b=5，从而 a=15.由 a1，a 2 为 BX=0，的两个线性无关解得 3r(B)2，从而r(B)1，再由 r(B)1 得 r(B)=1,a1，a 2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为X=k1 21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2= 1， 3=2，A* 的特征为1=2=2， 3=1.因为 a 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 a 是 A 的属于特征值 3=2 的特征向量
19、，令 a=a3.令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为 =，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1x 2+x3=0，则A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量为 a1= ，a 2= 令 1=a1=， 2=a2 1= ， 3=a3.在令 r1=()22 【正确答案】 X 的分布律为 PX=k=(1p) k1 p(k=1，2).E(X)=令 S(x)= 则 S(x)=，故令 S1(x)=，则 故 E(X2)=则 D(X)=E(X2)E(X)2=190 100=9023 【正确答案】 () 总体 X 的分布律为 ()E(X)=12+3(13)=37， = (1+1+3+1+3+1+1)=11， 令 E(X)= ，得参数，的矩估计值为 ()似然函数为 L()= 3(2)5(13) 2， lnL()=3ln+51n2+21n(13)， 令 lnL()= =0，得参数 的极大似然估计值为
