1、考研数学（数学三）模拟试卷 395 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为微分方程 yxy=g(x)满足 y(0)=1 的解，其中 g(x)= ，则有( )（A）在点 x=0 处 f(x)取极大值（B）在点 x=0 处 f(x)取极小值（C）点 (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）点 x=0 不是 f(x)的极值点，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 y=y(x)在 0，+)可导，在 x(0，+) 处的增量满足 y(1+y)= ，当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=1，则 y(x)=( )（A）1+x（
2、B） (1+x)ln(1+x)+1（C）（D）ln(1+x)+13 设平面区域 D1=(x，y)0x1，1xy1)，D2=(x，y) 0x1 ，1 y1，二重积分则 I1，I 2，I 3 的大小关系为( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 1I 3 I24 设函数 f(x)在1，1上有定义，在点 x=0 处可导，则 f(0)=0 是级数 收敛的( )（A）充分必要条件（B）充分条件，而非必要条件（C）必要条件，而非充分条件（D）既非充分条件，又非必要条件5 已知 ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 1
3、（B） a=1 时，B 的秩必为 2（C） a=3 时，B 的秩必为 1（D）a= 3 时，B 的秩必为 26 下列矩阵中，正定矩阵是( )7 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为其简单随机样本，样本均值为 X，若 PXa)=P b ，则 的值( )（A）与 和 都有关（B）与 和 都无关（C）与 有关，与 无关（D）与 2 无关，与 有关8 设 则 x=0 为 f(x)的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点二、填空题9 已知 存在且不为零，其充要条件是常数 p=_，此时该极限值=_10 设 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=1， 2=一 1，
4、 3=2A *是 A 的伴随矩阵，E 是 3阶单位矩阵，则 =_11 设 X1，X 2，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 ， 则 E(T2)=_12 _13 设 A 是 72 阶矩阵，A=2，若矩阵 A+E 不可逆，则 A*必有特征值_14 设 XN(0，1) ，Y=X n(n 为正整数)，则 XY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又15 求 f(0)与 f(0)；16 17 设 f(x)在a，b上连续且单调递增，求证：17 设 f(t)连续，f(t)0，f(t)=f(t)令 F(x)= xtf(t)dtaxa 1
5、8 试证曲线 y=F(x)在a，a上是凹的；19 当 x 为何值时，F(x)取得最小值；20 若 F(x)的最小值可表示为 f(a)a 21，试求 f(t)21 设 y=f(x)在0，+上有连续的导数，且 f(x) 0，f(0)=0，f(x)的值域也是0，+ 又设 x=(y)是 y=f(x)的反函数，常数 a0，b0，证明：，当且仅当 a=(b)时上式取等号21 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(x)0若极限存在，证明：22 在(a，b)内 f(x)0；23 在(a，6)内存在一点 ，使24 在(a，b)内存在与() 中 相异的点 ，使 f(b2a 2)=
6、 24 设三维向量 已知向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 是等价的25 求 a，b， c26 求向量组 1， 2， 3 的一个极大无关组，并将 1 用 1， 2， 3 线性表示26 设矩阵 有一个特征值是 327 求 y 的值；28 求正交矩阵 P，使（AP） TAP 为对角矩阵；29 判断矩阵 A2 是否为正定矩阵，并证明你的结论29 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N 记 U=maxX，Y，V=minX，Y30 求 Z=XY的概率密度 fz (z)；31 求 E(U)，E(V)31 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN( ， 2)的简单随机样本，其中 是已知常数，
7、 2 是未知参数32 求参数 2 的最大似然估计量 ；33 求考研数学（数学三）模拟试卷 395 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B2 【正确答案】 B【试题解析】 由y(0)=1，得 C=1，所以 y=(1+x)ln(1+x)+1，故应选 (B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 D2，记 D3=D2D 1=(x， y) 0x1， y1x，当(x，y) D3 时，x+y 1，从而有 ln(x+y)0，所以 I2I 1= ，即有 I2I 1，而当(x，y)D 3 且(x ，y)(0，1)，(1，0)时，ln(x+y) ，所以
8、I2I 1 综上可知 I3I 2I 1，应选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 如果级数 收敛，则 ，由此可得 f(0)=0，假若f(0)0，不妨设 f(0)0， 则有 从而得知从某项起，级数 为正项级数，且发散，与题设矛盾，故必有 f(0)=0 另外当 f(0)=0时，未必有 f(0)=0，如取 f(x)=1+x2，则此时 = f(0)=10，级数 发散，综上可知，选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查秩的性质，属于基础题由 AB=0得 r(A)+r(B)3若 a=1，则 r(A)=1，从而 r(B)2又 B 是 3 阶非零矩阵，即 r(B)1，故 r(B)=1 或r(B)=
9、2若 a=3，则 r(A)=2，从而 r(B)1又 r(B)1，所以 r(B)=1，故应选(C) 6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查具体数字矩阵正定的判定，属于基础题 (A)中a33= 30，(B)中二阶顺序主子式 ，(C)中A =0，均不是正定矩阵，(D)中三个顺序主子式 1=2， 2=6， 3=5，均大于零，故应选 (D)7 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查正态总体样本均值的分布及一般正态分布的标准化，是一道有一定难度的综合题8 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0时，f(x)= 所以 x=0为 f(x)= 的无穷间断点二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【
10、正确答案】 2 11【试题解析】 11 【正确答案】 1+【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题考查特征值的求法与性质，属于基础题 由矩阵 A+E 不可逆，知A+E=0，从而 EA=(1) nE+A =0， 于是 =1 是矩阵 A 的特征值又A =2，所以 A*必有特征值214 【正确答案】 【试题解析】 当 X-N(0，1)时，利用分部积分法或者 r 函数公式得到下面结论三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 方法一： 只要证明 F(b)0，显然 F(a)=0， 则 F
11、(b)F(a)=0，原式得证方法二：由于 f(x)在a，b上单调递增，则18 【正确答案】 由于F(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0，则曲线 y=F(x)在a，a上是凹的19 【正确答案】 得 F(0)=0，(f(x)为偶函数) 又 F(x) 0，则 F(x)单调递增，从而 x=0 为 F(x)在a，a 上唯一的驻点，又，F(0)0，则 F(x)在 x=0 取极小值，由唯一性知， F(x)在 x=0 取最小值20 【正确答案】 F(x)在a，a 上最小值为从而有 tf(t)dt=f(a)a 21，上式两端对 a求导得，2af(a)=f(a)2a，解此一阶线性微分方程得 f(a)= 又 f
12、(0)=1，则C=2，从而 f(t)= 21 【正确答案】 对第二个积分做积分变量变换，并由分部积分，有若 a=(b)，上式右边=ab 若 a(b)，则当 ax(b)时，f(x)f(b)= b，同理可证，若 a(b)，也有 f(x)dx+(b)bab22 【正确答案】 由 f(x)在a，b上连续，从而 f(a)=0又 f(x)0 知 f(x)在(a，6) 内单调增加，故 f(x)023 【正确答案】 设 F(x)=x2，g(x)= f(t)dt(axb)则 g(x)=f(x)0，故 F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(x，b)内存在一点 ，使24 【正确答案】 因 f()= f(
13、)0= f()f(a) ，在a，上应用拉格朗日中值定理，知在(a，)内存在一点 ，使 f()=f()(a) ，从而由( )的结论得25 【正确答案】 由于向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 等价，可知向量 1， 2， 3都能由向量组 1， 2， 3 线性表示，也即线性方程组( 1， 2， 3)x=i，i=l，2，3有解 为此，对增广矩阵 1， 2， 3， 1， 2， 3 作初等行变换（ 1， 2， 3， 1， 2， 3）=可知a=1，b=2，c=226 【正确答案】 （ 1， 2， 3， 1） 1， 2为 1， 2， 3 的一个极大无关组，且 1 =(1k) 1k 2+ k3，k 为任
14、意常数27 【正确答案】 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3y1)=0，解出 y=228 【正确答案】 =（1） 3（9）=0A 2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1 时，(EA 2)x=0 的基础解系为 1=（1，0，0，0） T， 2=（1，0，0，0） T， 3=（0，0，1，1） T 当 =9时，（9EA 2）x=0 的基础解系为 4=（0，0，1， 1） T 对 1， 2， 3， 3 进行单位化：29 【正确答案】 （A 2） T = A2，所以 A2 是对称矩阵 由于 A2 的特征值1，1，1，9 全大于零，所以 A2 为正定矩阵30 【正确答案】 利用二维正态分布的性质知，X Y 服从一维正态分布E(XY)=E(X)E(Y)=0，D(XY)=D(X)+D(y) 2cov(X，Y)=则 XYN 设 Z=X Y 的分布函数为FZ (Z)，则 F Z (Z)=PZz=pXYz)当 z0 时，F z (z)=0；当 z0 时，31 【正确答案】 32 【正确答案】 33 【正确答案】
