1、考研数学（数学三）模拟试卷 397 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设方程 x36x 2+9x+k=0 在(，+)上恰有两个实根，则常数 k=( )（A）4（B） 2（C） -2（D）-42 设 f(x)可导且 f(x)0 并设 ，则( )（A）F(0)是 F(x)的极大值（B） F(0)是 F(x)的极小值（C）曲线 y=F(x)在点(0 ， 0)的左侧是凸的，右侧是凹的（D）曲线 y=F(x)在点(0， 0)的左侧是凹的，右侧是凸的3 设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y+p(x)
2、+y+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C 1，C 2 为任意常数，则齐次方程 y+p(x)+y+q(x)y=0的通解为( )（A）C 1y1 (x)+(C1C 2)y2 (x)+(1C 2)y3 (x)（B） (C1C 2)y1 (x)+(C21)y 2 (x)+(1C 1)y3(x)（C） (C1+C2)y1 (x)+(C1C 22 (x)+(1C1)y3(x)（D）C 1y1 (x)+C2y2 (x)+(1C 1C 2)y3 (x)4 设 在 x=2 处条件收敛，则 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）必发散（D）敛散性由a n确定5 设 A 为 mn 矩阵，对于齐次线性方程组
3、()Ax=0 和()A TAx=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解6 设三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的负惯性指数为 q=1，且二次型的矩阵 A 满足A2A=6E，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是( )（A）2y 12+2y223y 32（B） 3y12+3y222y 32（C） y12+y22y 32（D）3y 122y 327 设 A，B 是任意两个概率不为 0 的互不相
4、容事件，则下列结论中肯定正确的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)8 将 1m 长的木棒截成两段，其中第一段的长度为 X，第二段长度的 为 Y，则 x与 Y 的相关系数( )（A）1（B） -1（C）（D）二、填空题9 设 f“(x0)=2，则 =_10 设 n 阶行列式A nn =a，将 A 的每一列减去其余各列的行列式记成B，则B =_11 设 XB(3， )，y 服从(0，3)上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则行列式0 的概率为_12 方程 2x=x2+1 有且仅有 _个根13 已知三阶矩阵 ，记它的伴随矩阵为 A*，则
5、三阶行列式_14 设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 又设 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 记 a=PX=1，则概率 PYa_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求函数 的间断点及其类型16 设某产品的成本函数为 C(q)=aq2+2q+，需求函数为 ，其中 C 为成本，q 为需求量(即产量) ，p 为该产品的单价， 都是正常数，求利润最大的产量17 设 z=f(u，x，y)，u=xe y，其中 f 具有二阶偏导数，求18 设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明存在 0，1使19 计算二重积分 其中 D=(x，y)y0，x 2+y21，x 2+y2
6、2x0)19 已知下列非齐次线性方程组20 求解方程组(a)21 当方程组(b)中的参数 a，b，c 为何值时，方程组 (a)与(b)同解21 已知二次型厂(x 1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A=(aij)满足 a11+a22+a33=6，AB=C，22 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；23 求出该二次型23 设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 设随机变量Z1= ，Z 2=24 证明 X 和 Y 是相互独立的25 求(Z 1，Z 2)的概率分布25 设随机变量 XN ，在 X=x(xR)的条件下，Y 的条件概率密度为 fYX (yx)=，yR 2
7、6 求常数 A；27 求 Y 的概率密度 fY(y)；28 求概率 考研数学（数学三）模拟试卷 397 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x3 6x2+9x+k，则 f(x)=3x212x+9=3(x 1)(x 3) 显然 f(x)在(一 ，1) 单调递增，在(1，3)单调递减，在(3，+)单调递增， 若 k=4，则 f(1)=0， f(3)=40，此时方程 x36x 2+9x+k =0 在(一 ，+) 上恰有两个实根2 【正确答案】 C【试题解析】 所以 F(x)=xf(x)， F(0)=0，F(0)=0，
8、又因为 x0，F(x)0，x0，F(x)0所以曲线y=F(x)在点(0，0)的左侧是凸的，右侧是凹的3 【正确答案】 B4 【正确答案】 A【试题解析】 由 在 x=2 处条件收敛可知 x=2 是其收敛区间的端点，则收敛半径 R=2，而幂级数 收敛半径相同，则 x= 在幂级数 的收敛区间(1，3)内，故幂级数在 x= 处绝对收敛5 【正确答案】 A【试题解析】 设 是 Ax=0 的解，即 A=0，则 ATA=0，即() 的解是()的解 设 是 A TAx=0 的解，则 ATA=0 两边左乘 T 得到 TATA=T0=0， 整理可得（A ） TA=0，从而得到 A=0，即()的解是()的解6 【
9、正确答案】 B【试题解析】 设 A=(0)，则 2=6 ，解得 =2 或者 =3 因为负惯性指数为 q=1，所以 A 只有一个负特征值，知 A 的特征值为 3，3，27 【正确答案】 D【试题解析】 AB= ，则 P(AB)=0P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)8 【正确答案】 B【试题解析】 由题目可知，X+3Y=1，得到 X=13y，所以 X 与 Y 的相关系数=1二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 (2 一 n)2n1a【试题解析】 由题设知，若A= 1， 2， n=a ，则11 【正确答案】 【试题解析】 =(X 一 1)(Y 一 2)，所求概率为 p
10、=P(X 一 1)(Y 一2)0 =PX 一 10，Y 一 20+PX 一 10，Y 一 20 =PX 1，Y2+PX1，Y2 =PX1PY2+PX1 PY2 12 【正确答案】 3【试题解析】 令 F(x)=2xx 21，F(0)=0，F(1)=0 F(2)=10，F(5)0 F(x)=0 至少有三个根 F(x)=2 xln22x， F(x)=2 xln222， F(x)=2xln320，由罗尔定理推论逆否命题知 F(x)=0 最多有三个根， 综上所述，F(x)=0有且仅有三个根13 【正确答案】 -58【试题解析】 A=2；A 2 =A 2=4=2（A 1 ） 23A *A2 = 2E 3
11、AA =2E6A =8E3A =829 =5814 【正确答案】 【试题解析】 a=PX1=PX1 PX 1= PYa=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时， 有间断点 x=k(正整数)，所以 x=0 是 f(x)的第一类跳跃间断点；所以 x=1 是 f(x)的第二类振荡间断点16 【正确答案】 总利润 L(q)等于总收入减去成本函数由 q= (4p)，得P=4q，因而总收入 R(q)=pq=q(4q) ，总利润 L(q)=R(q)=C(q)，所以 q(4q)(q 2+2q+)(+)q 2+2q ，这是关于 q 的二次函数，因(+)0 时 L(g)
12、有最大值由 L(q)=2(+)q+2=0，得唯一驻点 ，且 L(q)=2(+)0，所以 ，是 L(g)的极大值点因而当产量 时，总利润 L(q)达到最大17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 采用极坐标计算设 x=rcos0，y=rsin0 ，则二重积分的极坐标积分区域是20 【正确答案】 对(a)中的增广矩阵进行初等行变换，取 x4 为自由变量，令x4=1，代入 (a)所对应的齐次线性方程组，求得 x3=2，x 2=5，x 1=6，故(a)所对应的齐次线性方程组的基础解系为 =（6，5，2，1） T 令 x4=0，代入()中，得 x3= 1，x 2=4，x 1=6， 故(
13、)的特解为 =（6，4，1，0） T 所以方程组(a)的通解为 x=k+，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 方程组(a)与(b)同解，则 =（6，5，2，1） T 满足方程组(b)所对应的齐次线性方程组，即 此时，当a=1，b=4，c=4 时，有 r(B)=3，且 =（6，4，1，0） T 满足方程组(b)，可以作为方程组(b)的特解所以方程组(b) 的通解也为 x=k+，其中 k 为任意常数， 所以当 a=1，b=4，c=4 时，方程组(a) 与(b)同解22 【正确答案】 记 1=（1，0，1） T，记 2=（1，2，1） T，则 B=(1， 2)，C=(0， 122)由题设 AB=
14、C 知 A(1， 2)=(0，12 2)，即A1=0，A 2=12 2，所以 1=0， 2=12 是矩阵 A 的特征值， 1， 2 是 A 分别属于特征值 1=0， 2=12 的特征向量 设 3 是第三个特征值，利用题设1+2+3=a11+ a22+ a33= 6，所以 3=6 设 3=6 对应的特征向量为 3= （x 1，x 2，x 3） T，由于 32， 31，所以 3 与 1， 2 均正交，即解得（x 1，x 2，x 3） T=t（1，1，1） T，取 3=（1，1，1）T，将 1， 2， 3 单位化得 3 个两两正交的单位向量组记 U=(1， 2， 3)，则U 为正交矩阵，且 UTAU
15、= 作正交变换 x=Uy，即得二次型的标准形为：12y 22+6y3223 【正确答案】 由() 的(*) 推得：F(x1，x 2，x 3)=xTAx=6 x 2212 x 1x2 12 x2x3。24 【正确答案】 设 X 和 Y 的边缘概率密度函数分别是 fX (x)，f Y (y)，则由于 f(x，y)= f X (x)fY (y)，所以 X 和 Y 是相互独立的25 【正确答案】 又由于 Z1 的取值为 1，2，Z 2 的取值为 3，4，因此(Z 1，Z 2)的所有可能取值为(1，3) ，(1，4) ，(2，3)，(2，4) P(Z 1=1，Z 2=3)=P(X1，Y2)=P(X1)P(Y2) =(1e 1 )(1e 2 )=1e 1 e 2 e3 P(Z 1=1，Z 2=4)=P(X1，Y 2)=P(X1)P(Y2) =(1e 1 )e2 =e2 e 3 P(Z 1=2，Z 2=3)=P(X1，Y2)=P(X1)P(Y2) =e 1 .(1e 2 )=e1 e 3 P(Z 1=2，Z 2=3)=P(X1，Y 2)=P(X 1)P(Y2) =e 1 .e2 =e3 (Z 1，Z 2)的概率分布为26 【正确答案】 利用规范性27 【正确答案】 28 【正确答案】
