1、考研数学（数学三）模拟试卷 401 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下述命题： 设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(一，+) 上连续； 设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(一，+) 上有界； 设 f(x)在(一， +)上为正值的连续函数，则 在(一 ， +)上也是正值的连续函数； 设 f(x)在( 一，+)上为正值的有界函数，则 在(一，+) 上也是正值的有界函数， 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f(x)在区间(一，+)上连续且严格单调增，又设 则 (x)在区间(一，+)
2、上 ( )（A）严格单调减少（B）严格单调增加（C）存在极大值点（D）存在极小值点3 下列反常积分发散的是 ( )4 设 f(x，y)= ，则在点 0(0，0) 处 ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）偏导数存在，函数也连续（D）偏导数不存在，函数也不连续5 设齐次线性方程组 Ax=0 有通解 k11+k22=k1(1， 2，0，一 2)T+k2(4，一 1，一1，一 1)T，其中 k1，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=0 的解向量的是 ( )（A） 1=(1， 2，0，一 2)T（B） 2=(6，1，一 2，一 2)T（C） 3=(一 5，8，
3、2，一 4)T（D） 4=(5， 1，一 1，一 3)T6 设 A，B，C 均是 3 阶方阵，满足 AB=C，其中则必有 ( )（A）a= 一 1 时，r(A)=1 （B） a=一 1 时，r(A)=2 （C） a一 1 时，r(A)一 1（D）a一 1 时，r(A)=27 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“ 正面和反面各至少出现一次” ，则 ( )（A）n=2 时，A 与 B 相互独立（B） n=2 时，A B（C） n=2 时，A 与 B 互不相容（D）n=3 时，A 与 B 相互独立8 设随机变量 X1，X n(n1)独立同分布，其方差 20，
4、记(1s，tn) 的值等于 ( )（A） （B） （C） 2maxs，t) （D） 2mins，t)二、填空题9 直角坐标中的累次积分 I= 化为极坐标先 r 后 次序的累次积分 I=_10 设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 f(x)=0xf(xt)dt+01f2(t)dt，则 f(x)= _11 设常数 a 0，双纽线(x 2+y2)2=a2(x2y2)围成的平面区域记为 D，则二重积分(x2+y2)d=_12 =_13 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=B2BC，其中 B=，则 A5=_14 设随机变量 X ，则 PXY)= _三、解答题解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。15 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足 求 z 的表达式16 设 a 为正常数， f(x)=xeaaexx+a 证明：当 za 时 f(x)017 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算18 将函数 f(x)= 展开成(x 一 2)的幂级数，并求出其收敛区间19 设 I1= ，其中 a 是正常数，试证明：I 1I 220 ()求方程组(*)的基础解系和通解；() 问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)和(*)是同解方程组21 已知 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A2 一 3A+2E=0，且 B=A2 一 2
6、A+3E ()求B-1； ( )证明：B 正定22 设随机变量(X，Y) N(0，0；1，4；0) ()若 X+Y 与 X+aY 相互独立，求 a的值，并求 Z=X+aY 的概率密度 f(z)； ( )计算 D(X2 一 2Y2)23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 PX=0=PX=1)= ，PYx=x，0x1求Z=XY 的分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 401 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 与 是正确的， 与是不正确的，正确的个数为 2 是正确的理由如下：设 x0(一 ，+) ，则它必含于某区间a，b中由题设
7、f(x)在任意闭区间a ，b上连续，故在 x0 处连续，所以在(一 ，+) 上连续论证的关键是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续 是不正确的函数 f(x)在a，b上有界的“界”是与区间有关的例如 f(x)=x在区间a ，b上，f(x) maxa，b M，这个“界”与区间a，b 有关容易看出，在区间(一，+)上，f(x)=x 就无界了 是正确的理由如下：设 x0(一，+)，f(x 0)0 且 f(x)在 x0 处连续，由连续函数的四则运算法则知，在(一，+)上连续 是不正确的例如函数 f(x)= ，在区间(一，+)上，0f(x)1所以在(一 ，+) 上
8、 f(x)有界。而=+2 【正确答案】 B【试题解析】 令上式分子为 (x)=(x 一 a)f(x)一 I f(t)dt =(xa)f(x)一(x 一 a)f() =(x 一 a)f(x)一 f()，其中，当 ax 时，ax，从而 f()f(x) ；当 ax 时，ax，从而 f()f(x)所以不论 ax 还是 ax，总有 (x)0因此当 xa 时，(x)0故可知在区间(一 ，a) 与(a，+)上 (x)均严格单调增加 以下证明在区间(一 ，+)上 (x)也是严格单调增加事实上，设 x(a，+)，则 (x 2)一 (a)= 一f(a)=f(2)一 f(a)0， 其中 a 2x 2+，此 2 可取
9、在开区间(a，x 2)内 同理，设 x1(一，a)，则有 (a)一 (x1)=f(a)一 f(2)0， 其中一x 1 1a合并以上两个不等式，有 (x2)一 (x1)03 【正确答案】 A【试题解析】 两个积分中只要有一个发散，就说该积分发散故应选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导数定义，得即两个偏导数都存在考虑连续性，取 y=kx2 让点(x，y)(0，0)则更谈不上连续性故应选(A) 5 【正确答案】 B【试题解析】 若 i 可由 1， 2 线性表示，则是 Ax=0 的解，不能由 1， 2 线性表示，则不是 Ax=0 的解 将 1， 2， 1， 2， 3， 4 合并成矩阵，并一
10、起作初等行变换 故知， 2 不能由 1， 2 线性表示，不是 Ax=0 的解向量( 1， 3， 4 是解向量)，故应选(B) 6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 r(C)=1，又当 a一 1 时，有 r(B)=3， B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选(C)因(C) 成立，显然(D)不能成立 故(A)、(B)均不成立7 【正确答案】 D【试题解析】 当 n=2 时， 由P(AB)P(A)P(B)知 A 与 B 不独立又 P(A)P(B) ，故 A B，则 P(A)P(B)，矛盾) 当 n=3 时， 由上知 P(AB)=P(A)P(B)，因此 A 与 B 相互
11、独立故应选(D)8 【正确答案】 A【试题解析】 因为3=max2，3)，所以应选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 按题目上、下限，积分区域 D 如图阴影所示，对 y 的上限方程为 y=，化为极坐标为 r=2acos 对 y 的下限方程为 y=2a 一 ，化为极坐标为 r=4asinOA 的倾角记为 0，tan 0= 于是，由极坐标，直线段 OA 将D 分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示10 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= 0xf(x 一 t)dt+01f2(t)dt =一 x0f(u)du+0xf(t)dt=0xd(u)du+01f(t)dt令 01f2(t)dt=
12、a，于是 f(x)= 0xf(u)du+a，f(x)=f(x)，f(0)=a，解得 f(x)=cex由f(0)=a，得 f(x)=aex，代入 01f2(t)dt=a 中，得11 【正确答案】 a4【试题解析】 由于被函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以12 【正确答案】 一 1【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 B= 一 10，故 B 可逆，则由 AB=B2 一 BC=B(BC)，得于是 A5=B(BC)B1B(BC)B1B(BC)B1=B(BC)5B1，14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答
13、案】 f(a)=0，f(x)=e a 一 aex 一 1，f“(x)=一 aex0以下证明 f(a)0 令 (a)=f(a)=ea 一 aea 一 1，有 (a) a=0=0，(a)=一 aea0 所以 (a)0(a0)，即 f(a)0(a 0) 将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开： f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+ f“()(x 一 a)20(xa0)， 证毕17 【正确答案】 画出区域 D 如下图所示第一象限中的阴影部分记为 D1，第三象限中的阴影部分记为 D2由对称性可得一 01cos 2xdx+10cos 2xdx=一 01cos 2xdx+01cos 2xdx=
14、0， 同理 01 cos(x+x3)dx 一 10cos(x+x3)dx=01cos(x+x3)dx01cos(x+x3)dx=0，所以原式=e 一 218 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 方程组(*) 的系数矩阵 已是阶梯形求得基础解系 1=(一 1，2，一 1，1，0) T， 2=(一 1，一 2，1，0，1) T，方程组通解为 k11+ k11= ，其中 k1、k 1 为任意常数。()方程组(*)和(*)是同解方程组，将 1= 代入方程组(*)的第 1、2 个方程，由显然 1 也满足方程组(*)的第 3个方程将 2= 代入方程组(*)的第 3 个方程，由 3(
15、一 1)+(一 2)+1+c=0，得c=4显然， 2 也满足方程组(*)的第 1、2 个方程故知当 a=一 1，b=2，c=4 时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(*) 的解反之，当 a=一 1，b=一2，c=4 时，方程组(*)的系数矩阵 方程组(*)的未知量个数 n=5，方程组 (*)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(*) 的解故方程组(*) 的解也全部是方程组(*) 的解，方程组(*)、(*)是同解方程组21 【正确答案】 由题设 A2 一 3A+2E=0，得 A2=3A 一 2E代入 B，得 B=A 22A+3E=3A 一 2E 一 2A+3
16、E=A+E 又 A 2 一 3A+2E=(A+E)(A 一 4E)+6E=O，即(A+E)一 (A 一 4E)=E， 得 B=A+E 可逆，且 B-1=一 (A 一 4E) ()证BT=(A22A+3E)T=B，B 是实对称矩阵A 2 一 3A+2E=0 两边右乘 A 的特征向量，得( 2 一 3+2)=0，又 0，则 =1 或 2故 A 的特征值只能取值为 1 或2B=A+E 的特征值只能取值为 2 或 3，均大于零，故 B 正定 或 B=A2 一2A+3E=(AE)2+2E，由正定矩阵的定义即得证 B 正定22 【正确答案】 () 由 X+Y 与 X+Y 独立，有 X+Y 与 X+aY 不相关又对二维正态分布 XY=0X 与 Y 独立 故 Cov(X+Y，X+aY)=Cov(X，X)+Coy(X，aY)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y) =DX+aDY=1+a4=0 则 a=一 (X， Y)N(0，0；1，4；0)，则 XN(0，1)，YN(0 ，4)，且 X 与 Y 独立()由 X 与 Y 独立，有 X2 与 Y2 独立，则 D(X2 一 2Y2)=D(X2)+4D(Y2)23 【正确答案】 F Z(z)=PZz， 当 z0 时，F Z(z)=0； 当 z1 时，F Z(z)=1； 当0z1 时， F Z(z)=PZz =PX=0)PZzX=0+PX=1)PZzX=1
