[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷428及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学三)模拟试卷 428 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2,g(x)=x 3+x4,当 x0 时,f(x)是 g(x)的( )。(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小2 设 f(x)连续可导,且 f(0)为 f(x)的极值,则( )(A)当 f(0)=0 时,f(0) 是 f(x)的极小值(B)当 f(0)=0 时,f(0)是 f(x)的极大值(C)当 f(0)0 时,f(0) 是 f(x)的极大值(D)当 f(0)0 时,f(0)是 f(x)的极小值3 设 则f(x,y

2、)在点(0,0)处( )(A)连续,但不可偏导(B)可偏导,但不连续(C)连续、可偏导,但不可微(D)可微4 下列命题正确的是( ) (A)若 收敛(B)对级数 发散(C)若 绝对收敛(D)若 发散5 设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(A)若 A2B 2,则 AB(B)矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等(C)若 A,B 的特征值相同,则 AB(D)若 AB,且 A 可相似对角化,则 B 可相似对角化6 设向量组 1,2,3 线性无关, 1 不可由 1,2,3 线性表示,而 2 可由 1,2,3 线性表示,则下列结论正确的是( )(A) 1, 2, 2,尼线性相关(

3、B) 1, 2, 2 线性无关(C) 1,2,3, 1+2 线性相关(D) 1,2,3, 1+2 线性无关7 设 则( )(A)事件 A,B 独立且(B)事件 A,B 独立且(C)事件 A,B 不独立且(D)事件 A,B 不独立且8 设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数,且 F(x)=-x(t)dt,则对任意常数a0,P X a)为( ) (A)22F(A)(B) 1 一 F(A)(C) 2F(A)(D)2F(A)一 1二、填空题9 设 z=f(x,y)连续,且 则 dz (1,2)=_10 =_.11 设 f(x,y)满足 f(x,1)=0,f y(z,0)=sinx,f yy

4、(x,y)=2x,则 f(x,y)=_12 微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 的特解为_13 设 则B*A=_14 设 XE(),YE()且 X,Y 相互独立,Z=minX,Y) ,则 PZE(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e-x 的一个解,且 15 求 y(x),并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离16 计算 17 设 f(x)在0,1上二阶连续可导,且 f(0)=f(1)证明:存在 (0,1),使得18 设 f(x)为 一 a,a 上的连续的偶函数且 f(x)0,令 F(x)=-a

5、ax 一 t(t)dt (I) 证明:F(x)单调增加 ( )当 x 取何值时,F(x) 取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(A)一a2 一 1 时,求函数 f(x)18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p2,求:19 当 p=4 时的边际需求,说明其经济意义;20 当 p=4 时的需求价格弹性,说明其经济意义;21 当 p=4 时,若价格提高 1,总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?22 现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15gL 的盐水,现同时以 2Lmin 的速度向第一只桶中注入清水,搅拌均匀后以 2Lmin 的速度注入第二只桶中,然后以2Lmin 的速度

6、从第二只桶中排出,问 5min 后第二只桶中含盐多少克 ?23 就 a,b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解23 设 a=(1,1,一 1)T 是 的一个特征向量24 确定参数 a,b 的值及特征向量 a 所对应的特征值;25 问 A 是否可以对角化?说明理由26 设 X 的概率密度为 且 (I)求a,b 的值;()求随机变量 X 的分布函数;()求 Y=X3 的密度函数27 设 X1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,且总体 X 的密度函数为129(I)求 的矩估计量;()求 的极大似然估计量考研数学(数学三)模拟试卷

7、428 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ,所以正确答案为 B2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导,所以由 得 f(0)+f(0)=0当f(0)0 时,因为 f(0)0,所以 f(0)不是极值,C,D 不对;当 f(0)=0 时,f(0)=0,由 得f(0)=10,故 f(0)为 f(x)的极小值,选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(x,y)在(0,0)处连续故 f(x,y)在(0, 0)处可微,应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 若 ,收敛,则a n有界,即存在 M0,使得

8、a nM,于是有0a nbnM.b n,由绝对收敛,选C5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A,B 的特征值相同,设为 1, 2, n,且存在可逆矩阵 P1,使得 P1 一 1AP1=B,即 A=P1BP1 一 1;因为 A 可相似对角化,所以存在可逆矩阵 P2,使得 P2 一 1AP2= 即 于是有6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1 不可由 1,2,3 线性表示,而 2 可由 1,2,3 线性表示,所以1+2 不可由 1,2,3 线性表示,从而 1,2,3, 1+2 线性无关,故选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 P(A)=P(B),再由因为 P(AB)P(A

9、)P(B),所以 A,B 不独立,故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 P( Xa)=1 一 P(1 X la)=1 一 P(一 aXa)=1 一 F(a)+F(一 a),所以 PX a)=2 2F(a),选 A二、填空题9 【正确答案】 2dx-dy【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序得11 【正确答案】 xy 2+ysinx-x-sinx【试题解析】 由 fyy(x,y)=2x 得 fy(x,y)=2xy+(x) ,因为 fy(x,0)=sinx,所以(x)=sinx,即 fy(x,y)=2xy+sinx,再由 fy(x,y)=2xy+sinx 得 f(x,y)

10、=xy2+ysinx+(x),因为 f(x,1)=0,所以 (x)=一 xsinx,故 f(x,y)=xy 2+ysinx一 x 一 sinx12 【正确答案】 y=e cscx-cotx【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13,所以B= AE 12(2)E 13=一 3,又因为 B*=BB 一 1,所以 B*=一 3E13 一 1E12 一 1(2)A 一 1=一 3E13E12(一 2)A 一 1,14 【正确答案】 【试题解析】 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 2y+y

11、一 y=(46x)e-x 的特征方程为 22+ 一 1=0,特征值为 1=一 1, ,2y+y一 y=0 的通解为 ,令 2y+y一 y=(46x)e-x的特解为 y0=(ax2+bx)e-x,代入得 a=1,b=0 ,原方程的通解为由 得 y(0)=0,y(0)=0,代入通解得 C1=C216 【正确答案】 0+y(x)dx=0-x2e-xdx=r(3)=2!=217 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt,则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x),由泰勒公式得18 【正确答案】 因为 F(x)=2f(x)0,所以 F(x)为单调增加的函数()因为 F(0)=-a0f(x)dx

12、一 0af(x)dx 且 f(x)为偶函数,所以 F(0)=0,又因为 F(0)0,所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点,也为最小点故最小值为 F(0)=-aatf(t)dt 一 2 0atf(t)dt19 【正确答案】 边际需求函数为 当 P=4 时,边际需求为其经济意义在于,在价格为 P=4 时,若价格提高一个单位,则需求量减少 8 个单位20 【正确答案】 需求价格弹性函数为 当 P=4 时,需求价格弹性为 其经济意义在于,在价格 P=4 的基础上,若价格提高1,则产品的需求量就减少 05421 【正确答案】 当 p=4 时,若价格提高 1,因为 ,该商品缺乏弹性,企业的收益是增加的22 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t),m 2(t),则有23 【正确答案】 24 【正确答案】 由 A=,得 解得 a=一 3,b=0 ,=一 125 【正确答案】 由E 一 A=(+1) 3=0,得 =一 1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2,所以 =一 1 对应的线性无关的特征向量只有一个,所以 A 不可以对角化26 【正确答案】 (I)27 【正确答案】

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