1、考研数学（数学三）模拟试卷 428 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )。（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，且 f(0)为 f(x)的极值，则( )（A）当 f(0)=0 时，f(0) 是 f(x)的极小值（B）当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值（C）当 f(0)0 时，f(0) 是 f(x)的极大值（D）当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值3 设 则f(x，y
2、)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微4 下列命题正确的是( ) （A）若 收敛（B）对级数 发散（C）若 绝对收敛（D）若 发散5 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A2B 2，则 AB（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化6 设向量组 1,2,3 线性无关， 1 不可由 1,2,3 线性表示，而 2 可由 1,2,3 线性表示，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 2，尼线性相关（
3、B） 1， 2， 2 线性无关（C） 1,2,3， 1+2 线性相关（D） 1,2,3， 1+2 线性无关7 设 则( )（A）事件 A，B 独立且（B）事件 A，B 独立且（C）事件 A，B 不独立且（D）事件 A，B 不独立且8 设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=-x(t)dt，则对任意常数a0，P X a)为( ) （A）22F(A)（B） 1 一 F(A)（C） 2F(A)（D）2F(A)一 1二、填空题9 设 z=f(x，y)连续，且 则 dz (1,2)=_10 =_.11 设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(z，0)=sinx，f yy
4、(x，y)=2x，则 f(x，y)=_12 微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 的特解为_13 设 则B*A=_14 设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y) ，则 PZE(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e-x 的一个解，且 15 求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离16 计算 17 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得18 设 f(x)为 一 a，a 上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)=-a
5、ax 一 t(t)dt (I) 证明：F(x)单调增加 ( )当 x 取何值时，F(x) 取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(A)一a2 一 1 时，求函数 f(x)18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p2，求：19 当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义；20 当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义；21 当 p=4 时，若价格提高 1，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?22 现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15gL 的盐水，现同时以 2Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2Lmin 的速度
6、从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克 ?23 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解23 设 a=(1，1，一 1)T 是 的一个特征向量24 确定参数 a，b 的值及特征向量 a 所对应的特征值；25 问 A 是否可以对角化?说明理由26 设 X 的概率密度为 且 (I)求a，b 的值；()求随机变量 X 的分布函数；()求 Y=X3 的密度函数27 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为129(I)求 的矩估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷
7、428 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为 B2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导，所以由 得 f(0)+f(0)=0当f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，C，D 不对；当 f(0)=0 时，f(0)=0，由 得f(0)=10，故 f(0)为 f(x)的极小值，选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(x，y)在(0，0)处连续故 f(x，y)在(0， 0)处可微，应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 若 ，收敛，则a n有界，即存在 M0，使得
8、a nM，于是有0a nbnM.b n，由绝对收敛，选C5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1， 2， n，且存在可逆矩阵 P1，使得 P1 一 1AP1=B，即 A=P1BP1 一 1；因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P2，使得 P2 一 1AP2= 即 于是有6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1 不可由 1,2,3 线性表示，而 2 可由 1,2,3 线性表示，所以1+2 不可由 1,2,3 线性表示，从而 1,2,3， 1+2 线性无关，故选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 P(A)=P(B)，再由因为 P(AB)P(A
9、)P(B)，所以 A，B 不独立，故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 P( Xa)=1 一 P(1 X la)=1 一 P(一 aXa)=1 一 F(a)+F(一 a)，所以 PX a)=2 2F(a)，选 A二、填空题9 【正确答案】 2dx-dy【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序得11 【正确答案】 xy 2+ysinx-x-sinx【试题解析】 由 fyy(x，y)=2x 得 fy(x，y)=2xy+(x) ，因为 fy(x，0)=sinx，所以(x)=sinx，即 fy(x，y)=2xy+sinx，再由 fy(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)
10、=xy2+ysinx+(x)，因为 f(x，1)=0，所以 (x)=一 xsinx，故 f(x，y)=xy 2+ysinx一 x 一 sinx12 【正确答案】 y=e cscx-cotx【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13，所以B= AE 12(2)E 13=一 3，又因为 B*=BB 一 1，所以 B*=一 3E13 一 1E12 一 1(2)A 一 1=一 3E13E12(一 2)A 一 1，14 【正确答案】 【试题解析】 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 2y+y
11、一 y=(46x)e-x 的特征方程为 22+ 一 1=0，特征值为 1=一 1， ，2y+y一 y=0 的通解为 ，令 2y+y一 y=(46x)e-x的特解为 y0=(ax2+bx)e-x，代入得 a=1，b=0 ，原方程的通解为由 得 y(0)=0，y(0)=0，代入通解得 C1=C216 【正确答案】 0+y(x)dx=0-x2e-xdx=r(3)=2!=217 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得18 【正确答案】 因为 F(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数()因为 F(0)=-a0f(x)dx
12、一 0af(x)dx 且 f(x)为偶函数,所以 F(0)=0，又因为 F(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)=-aatf(t)dt 一 2 0atf(t)dt19 【正确答案】 边际需求函数为 当 P=4 时，边际需求为其经济意义在于，在价格为 P=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位20 【正确答案】 需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 P=4 的基础上，若价格提高1，则产品的需求量就减少 05421 【正确答案】 当 p=4 时，若价格提高 1，因为 ，该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的22 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有23 【正确答案】 24 【正确答案】 由 A=，得 解得 a=一 3，b=0 ，=一 125 【正确答案】 由E 一 A=(+1) 3=0，得 =一 1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2，所以 =一 1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化26 【正确答案】 (I)27 【正确答案】
