1、考研数学（数学三）模拟试卷 433 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)在点 x0 处的左导数 f-(x0)和右导数 f+(x0)都存在，则( )（A）函数 f(x)在点 x0 处必可导（B）函数 f(x)在点 x0 处不一定可导，但必连续（C）函数 f(x)在点 x0 处不一定连续，但极限 必存在（D）极限 不一定存在2 设 f(x)连续，且 则下列结论正确的是( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1
2、)是曲线 y=f(x)的拐点3 设 t0，则当 t0 时， 是 t 的 n 阶无穷小量，则 n 为( ) （A）2（B） 4（C） 6（D）84 微分方程 y一 4y=x2+cos2x 的特解形式为( ) （A）(ax 2+bx+c)+(Acosx+Bsin2x)（B） (ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)（C） (ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)（D）(ax 3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 ATB=0，则 r(B)等于( ) （A）0（B） 1（C） 2（D）36 设三阶矩阵
3、A 的特征值为一 2，0，2，则下列结论不正确的是 ( )（A）r(A)=2（B） tr(A)=0（C） Ax=0 的基础解系由一个解向量构成（D）一 2 和 2 对应的特征向量正交7 设随机变量 向量组 1， 2 线性无关，则 X1 一 2，一 1+X2 线性相关的概率为( ) （A）（B）（C）（D）18 设 X，Y)9 两个随机变量，其中 E(X)=2，E(y)=一 1，D(X)=9 ，D(Y)=16，且X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 PX+Y 一 110( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 =_.10 设 f(x)为连续函数，且 x2+y2+z2=xy(x+y 一 t
4、)dt，则 =_.11 设 连续，且 x2+y2+z2=xy(x+y 一 t)dt，则 =_.12 幂级数 的和函数为_13 设矩阵 不可对角化，则 a=_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上二阶可导， f(x)1(x 0，1)，f(0)=f(1) 证明：对任意的x0，1，有 16 某商品进价为 30 元件，根据经验，当销售为 80 元件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10，可使日销售量增加 30，该商家在
5、一日内以 72元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润?17 计算 ，其中 D=(x，y)x 2+y21，x0，y0)18 设方程 求常数 a19 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程20 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解? 在有无穷多个解时，求出其通解20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 2x1x2 一 2x1x3+2ax2x3(a0)通过正交变换化为标准形 2
6、y12+2y22+by3221 求常数 a， b 的值；22 求正交变换矩阵；23 当X=1 时，求二次型的最大值24 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 令U=maxX，Y)，V=minX，Y)(I) 求(U，V)的联合分布； ()求 PU=V)；()判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数25 设总体 X 的分布律为 PX=k)=(1 一 p)k-1p(k=1， 2，)，其中 p 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 433 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
7、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f一(x 0)存在，即 ，即 f(x0一 0)=f(x0)；由 f+(x0)存在，即 即 f(x0+0)=f(x0)，从而 f(x0-0)一 f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，而左、右导数存在函数不一定可导，应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当0x 一 1 时，有 即当 x(1 一 ，1)时，f(x)0；当x(1，1+)时，f(x)0根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4 【正确答案】 C【试题解析
8、】 特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=0， 2=4，方程 y一 4y=x2 的特解为 y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程 y一 4y=cos2x 的特解为Acos2x+Bsin2x，故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ATB=0 且 B 为非零矩阵，所以方程组 ATX=0 有非零解，从而r(AT)=r(A)n ，于是 r(A*)=0 或 r(A*)=1，又因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1由 r(A*)=1 得 r(A)=n 一 1，从而 r(AT)=n1由 ATB=0 得 r(AT)+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r
9、(B)1，于是 r(B)=1，选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化，从而 r(A)=2， A 是正确的；由 tr(A)=一 2+0+20 得 B 是正确的；因为 =0 是单特征值，所以 =0 只有一个线性无关的特征向量，即方程组(0E 一 A)X=0 或 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，C 是正确的；一 2 与 2 对应的特征向量一般情况下线性无关，只有 A 是实对称矩阵时才正交，选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2 线性无关，所以向量组 X1 一 2，一 1+X2 线性无关的充分必要条件是即 X=1，故向量
10、组X1 一 2，一 1+X2 线性相关的概率为选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 (y)一 (x)一 2(x+y)【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 得1=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0或 a=4当 a=0 时，由 r(OE-A)=r(A)=2 得 1=2
11、=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 合题意；当 a=4 时，由 r(4E-A)=2 得 2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化，A=4 合题意14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品)，B=两件产品都是次品)，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对任意的 x0，1 ，由泰勒公式得16 【正确答案】 当该商品的售价从 p1 降到 p2 时，对应的日销售量从 q1 上升为q2，由题意有 即 商家以 72 元件的价格出售该商品的日销售量为 设该商品一次性降价处理的价格设为 p 元件，则相
12、应的日销售量为 利润为得 p=63，即若一次性以 63 元件出售其余商品时，商家获得最大利润17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为 2y12+2y22+by32，所以矩阵 A 的特征值为1=2=2， 3=b由特征值的性质得 解得 a=一1，b=一 122 【正确答案】 当 1=2=2 时，由(2EA)X=0，得 当 3=一 1 时，由23 【正确答案】 因为 Q 为正交矩阵，所以X=1 时，Y=1，当Y=1 时，二次型的最大值为 224 【正确答案】 (I)U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 PUV)=0，于是(U，V) 的联合分布律为25 【正确答案】
