1、考研数学（数学三）模拟试卷 438 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(n)(3)=（A）（B）（C）（D）2 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 已知 则（A）df(x， y) (0,0)=0（B） fx(0， 0)，f y(0，0)都不存在（C）仅 fx(0，0)存在（D）仅 fy(0，0)存在4 设 x(一 1，1
2、)，则幂级数 的和函数为（A）ln(1 一 x2)（B）（C） ln(1+x2)（D）5 设 A 为 3 阶可逆矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的(-1)倍加到第 2 列得 C，记 则矩阵 C 的伴随矩阵 C*等于（A）P 一 1A*P（B） PA*P 一 1（C） PTA*P（D）PA *PT6 设向量 =(1，1，一 1)T 是矩阵 的一个特征向量，则（A）矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)=3（B）矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)=3（C）矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)3（D）矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)37 设 X
3、和 Y 是任意两个随机变量，若 D(X+Y)=D(XY)，则（A）X 和 y 相互独立（B） X 和 Y 不独立（C） D(XY)=DX.DY（D）E(XY)=EX.EY8 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，考虑下列命题： X2+Y2 服从 2 分布； XY服从 t 分布； X2Y 2 服从 F 分布； X Y 服从正态分布， 其中正确的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设当 x0 时, 是等价的无穷小，则常数 a=_10 微分方程 tanydx 一(1+e x)sec2y dy=0 满足条件 的特解为_11 函数 z=z(x，y)由方程
4、 y=xf(z)+(y，z)确定，其中 f， 分别具有连续的导数和偏导数，且 xf+z0，则 =_。12 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =一 3p3，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件) ，则需求函数为_13 设三维列向量 1,2,3 线性无关，且向量 1=1+22+33， 2=2+33=1+3，则秩 r(1， 2， 3)=_14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(01)，Y 在区间一 13上服从均匀分布，则概率 Pmax(X，Y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设 f(x)=0xtg(xt)dt，其中试求
5、 f(x)，并问 f(x)在(0，+) 内是否可导 ?16 已知某商品的需求量 Q 和供给量 S 都是价格 p 的函数：其中常数 a0，b0，又价格 p 是时间 t 的函数，且满足 假设当 t=0 时价格为 1，试求17 价格函数 p(t)；18 极限 ，并解释此极限值的含义19 设区域 D 由曲线 y=一 x3，直线 x=1 与 y=1 围成，计算二重积分20 将函数 展开成(x 一 1)的幂级数，指出级数的收敛范围，并利用展开式求数项级数 的和21 已知两个向量组() ： 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T 与() 1=(一 1，2，k)T， 2=(4，1，5) T，试问 k
6、 取何值时( )与()等价? 并写出等价时()与()相互表示的线性表示式21 设矩阵 已知 A 的特征值之和为 4，且某个特征值为 222 求 a，b 的值；23 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵24 设二维随机变量的联合概率密度为 (I)求常数 k；()求关于 X，Y 的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)，并问 X 与 Y 是否独立?()计算 PX+Y1；( )求 Z=YX 的概率密度25 某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以 X 表示命中时已射击的次数假设他共进行了 10 轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人
7、命中率 P 的矩估计和最大似然估计考研数学（数学三）模拟试卷 438 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 利用极限的保号性分析求解由 及 f(x)连续可知f(0)=0；再由极限的保号性知，存在 x=0 的某邻域 U(0，)，使得 于是在 U(0，)内，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0，即点(0，f(0) 是曲线y=f(x)的拐点3 【正确答案】 D【试题解析】 因 不存在，故 fx(0，0)不存在又 故fy(0，0)存在4 【正确答案】 B【试题解析】 因 x(一 1，1)
8、 时，故由幂级数的运算性质，有5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件有6 【正确答案】 A【试题解析】 设 =(1，l，一 1)T 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，则有A=，即 解得 =一 1，a=2，b=0，于是显然 r(A)一 3，且 A 的特征值为 1=2=2， 3=一 1矩阵 A 能否相似对角化取决于 1=2=2 是否有两个线性无关的特征向量由可知二重特征值 =2 有两个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化7 【正确答案】 D【试题解析】 由 D(X+Y)=D(XY)，得DX+DY+2cov(X，Y)=DX+DY 一 2cov(X，Y)，故 cov(X，Y)=0，即有E
9、(XY)一 EX.EY=0 即 E(XY)=EX.EY8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件与 2 分布、t 分布、F 分布的定义和性质可知 X2 2(1)，Y2 2(1)， X2+Y2 2(2)； 又由正态分布的性质知，XYN(0，2)，故四个命题都正确二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 x0 时， 因 x0 时，10 【正确答案】 【试题解析】 原方程变形为11 【正确答案】 【试题解析】 方程两边微分，得 dy=f.dx+xf.dz+y.dy+z.dz解 dz，得12 【正确答案】 x=e -p3【试题解析】 根据弹性定义，有积分，得 x=Ce-p3由题设知 p=0时，
10、x=1 ，从而 C=1于是所求的需求函数为 x=e-p313 【正确答案】 2【试题解析】 因( 1， 2， 3)=(1+22+33， 2+3， 1+3)由 1,2,3 线性无关易知 2+3， 1+3 线性无关，故 r(2+3， 1+3)=2，从而r(1， 2， 3)=214 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 xt=u，则 f(x)=x0(xu)g(u)(一 du)=0x(x 一 u)g(u)du可见 f(x)在 处可导，因此 f(x)在(0，+) 内可导17 【正确答案】 由条件得分离变量，得18 【正确
11、答案】 令 Q(p)=S(p)，即可见上述极限值为当需求量等于供给量时的均衡价格19 【正确答案】 如图所示，用 y=x3 分区域 D 为 D1，D 2 两部分显然 D1，D 2 分别关于 y 轴、x 轴对称，故20 【正确答案】 因 f(x)=lnxln(1+x)，由21 【正确答案】 对矩阵( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，得可见 k=1 时，1， 2 均可由 1， 2 线性表示，此时由当 k=1 时，对矩阵( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，得 可见 1， 2 均可由 1， 2 线性表示，因此 k=1 时，向量组(I) 与()等价由22 【正确答案】 由 ，得 a+b+2=4又
12、由矩阵 A 有一个特征值为 2，知行列式2EA=0，即得 a=0，从而 b=223 【正确答案】 因 A 是实对称矩阵，故(AP) TAP=PTA2P，其中求可逆矩阵 P，使(AP) TAP 为对角矩阵，即相当于对 A2 作合同变换，使之对角化可求出 A2 的特征值、特征向量，再把 A2 的特征向量正交单位化后，以其为列组成的矩阵即为所求但这样做比较繁琐，故考虑借助二次型求解考虑二次型 x TA2x=4x12+4x22+5x32+5x42+8x3x4，用配方法将它化为标准形，得 令则由线性变换24 【正确答案】 (I)(X，Y)的概率密度 f(x，y)的非零区域如图所示由 -+-+f(x，y)dxdy=1 ，得 01dx0xk(x+y)dy=1，k=2()f X(x)=-+f(x，y)dy25 【正确答案】 由题设条件可得 X 的分布律为 PX=k=(1 一 P)k-1p， k=1，2 ，3， 求矩估计因求最大似然估计似然函数L(p)=PX1=1，X 2=2，X 3=3，X 10=3)=p10(1 一 P)20，于是 ln L(p)=10lnp+20ln(1一 P)令 得 是 p 的最大似然估计值
