1、考研数学（数学三）模拟试卷 441 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ，则 f()在 0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f()在 0 处不连续（D）可导且 f()在 0 处连续2 设 f() ，当0 时，f()是 g()的( ) （A）等价无穷小（B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 ，且D(，y) (1) 2(y1) 22，则有( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I14 设级数 (1) nan2n 收敛，则级数 an( )（A）
2、绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不定5 已知 n 维向量组(i) 1， 2， s(ii)1， 2， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是( ) （A）若 st，则向量组(i)与(ii)等价（B）若向量组(i)是(ii) 的部分组，则向量组 (i)与(ii) 等价（C）若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i) 与 (ii)等价（D）若向量组(iii) 1， 2， s， 1， 2， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价6 矩阵 与( ) 相似（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(2，2)，Z N(3，7)，记 a
3、PX Y，bPYZ ，则( )（A）ab（B） ab（C） ab（D）无法确定8 当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是( ) （A）P(C)P(AB)（B） P(C) P(A)P(B)（C） P(C)P(A)P(B)1（D）P(C)P(A)P(B) 1二、填空题9 _10 设 aed，则常数 a_11 设函数 f(t)有二阶连续的导数， r ，g(，y)f( )，则_12 设 f() 若 f()在 0 处的二阶导数存在，则a_13 设 Dn ，则 Dn 中所有元素的代数余子式之和为_14 设总体 XN(，2 2)，X 1，X 2，X n 为取自总体的一个样本，
4、为样本均值，要使 E( ) 201 成立，则样本容量 n 至少应取 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 就常数 a 的不同取值情况，讨论方程 e a(a0)的实根17 设 f(，y) 求 f(，y)ddy ，其中D(，y) 2y 22y18 讨论函数 f(，y) 在点(0，0)处 ()是否连续； ()偏导数是否存在； ()是否可微； ( )偏导数是否连续19 设有级数 ()求此级数的收敛域； ()证明此级数的和函数y()满足微分方程 yy1； ()求微分方程 yy1 的通解，并由此确定该级数的和函数 y()20 设齐次线性方程组 AO 的基础解系为 1(1，3
5、，0，2)T， 2(1，2，1，3) T B0 的基础解系为 1(1，1，2，1)T， 2(0，3，1，a) T 若 A0 和 B0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解21 已知矩阵 A 和 B 相似，求 a，b 及一个可逆矩阵 P，使P-1APB22 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 UXY 的方差23 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中0，0 是常数，引入随机变量 Z ()求条件概率密度fX Y(y) ； ()求 Z 的分布律和分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 441 答案与
6、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(0) 当 0 时，f() ， 当 0 时，f()所以，f(0) 因此 f()在 0 处可导，且 f()在 0处连续 故应选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 所以，当 0 时，f()是 g()的同阶但不等价的无穷小 故应选 B3 【正确答案】 A【试题解析】 当被积函数连续时，在同一积分区域上比较积分大小即可只要比较被积函数的大小，由题目知被积函数为 的方幂，因此只需看 是否小于或大于 1，如图 11 所示当(，y) D 时，有 0 1，从而有 (等号不恒成立)， 所以 I1I 2I 3
7、故应选 A4 【正确答案】 A【试题解析】 因为级数 (1) nan2n 收敛，故 (1) nan2n0，即 a n 220，于是有 0，又因为级数 收敛，所以 a n收敛，即 an 绝对收敛 故应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 取向量组(i)： 和向量组(ii)：则向量组(i)的秩为 2，向量组(ii)的秩也为 2但显然(i) 与(ii)不等价 故应选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 令矩阵 A ，则 A 的特征值为 1 和 2 而(A)选项中矩阵的特征值为1 和2，故矩阵 A 不与 A 选项的矩阵相似 又因为 2，而B 选项中 0，C 选项中 2，故矩阵 A 不与 B、C 选项
8、的矩阵相似 所以，矩阵 A 与 D 选项的矩阵相似 事实上， 均与对角阵相似再由相似的传递性， 相似 故应选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 XyN(1，4)，yZN(1，9)，则 aPXYPXY0 ， bPYZPYZ0， 由于分布函数 ()单调增加，所以 ab 故应选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 AB C 及概率广义加法公式 P(AB)P(A) P(B) P(AB)，得 P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AUB)P(A)P(B)1 故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 故应填 10 【正确答案】 2【试题解析】 由题意知 ea (a1)e a，解得
9、 a2 故应填 211 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，则利用对称性可得故应填12 【正确答案】 2【试题解析】 当 0 时，f()2e 2；当 0 时，f()2a2； 由于 f(0)存在，则 f()在 0 处连续，且 f(0)limf() 2，则故 f (0)f (0)，即 a 2 故应填 213 【正确答案】 n!【试题解析】 因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以 1.A 111.A 121.A 1nD nn! 因第一行元素与第 i 行(i2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.A i11.A i21.A in0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应
10、填 n!14 【正确答案】 40【试题解析】 ， 解得 n40故 n40 故应填 40三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 f()e a，则 f()(1)e ，f()( 2)e 令f()0，得驻点 1 由于当 ( ，1)时，f() 0，f() 在(，1)单调增加，当 (1， )时，f()0，f()在(1，)内单调减少， 所以 f()在 1 处取得极大值，即最大值为 f(1)e -1a 则当 e-1a 0 时，即 a 时，f()f(1)0，方程 e-a 无实根 当 e-1a0，即 a 时，只有 f(1)0，而当 1时，f()f(1)0，方程
11、 e-a 只有一个实根 1 当 e-1a 0，即 a 时，由于 (e-a) ，f(1) e -1 a0，f()在(，1)内单调增加，则 f() 0 在( ，1)内只有一个实根 又因a0，f(1) e -1a 0， f()在(1，)内单调递减，则 f()0 在(1 ，)内只有一个实根 所以方程 e a 正好有两个实根17 【正确答案】 设 D1(，y)1 2y 22y 且 0，如图 61 所示，则当 0 时，由 得交点 M() 令 rcos，yrsin 引入极坐标系(r，)，则点 M 的极坐标为(1， )，从而，在极坐标系下 D118 【正确答案】 () 当(，y)(0，0)时，f(，y) 2y
12、 2，故 f(，y)0f(0，0)，所以函数在(0 ，0)处连续 ()在(0，0)处，即 f(，y)在(0，0)处关于 的偏导数存在，且 f(0，0)0 同理，f y(0，0)也存在，且fy(0，0)0 ()由(2)知，f (0，0)f y(0，0) 0， 函数在(0，0)处的全增量： zf(，y)f(0，0)( )2( y)2sin 2sin ， 其中 故 z f (0，0) f y(0，0)y 2sin 因为所以z f (0，0)f y(0，0) yo() 故函数 f(，y)在(0 ，0)处可微，且 dzf (0，0) f y(0，0) y0 () 当 (，y)(0，0)时故 均不存在 所
13、以 f(，y)，f y(，y) 在(0，0)处都不连续19 【正确答案】 () 对于任意 ，有所以收敛域为( ，) ( ) 应用幂级数和函数的性质证明： y()2 ， ( ，)即 y()满足微分方程 yy1 ()yy0 的特征方程 r210 的特征根为 r1，于是对应齐次方程的通解为 YC 1eC 2e ，又特解为 y*1，故yy1 的通解为 yC 1eC 2e 1 又幂级数的和函数 y()满足 y()y()1，且 y(0)2，y(0)0，则 y()即为微分方程 yy1 满足初值条件 y 0 2，y 0 0 的特解， 即 则 C1C 2 所以和函数 y() 120 【正确答案】 设非零公共解为
14、 ，则 既可由 1 和 2 线性表示，也可由 1 和2 线性表示 设 11 22 31 42，则 11 22 31 4200 1， 2， 3， 4 不全为零 R(1， 2， 1， 2)4 a0 当 a0 时，则 12t， 2t， 3t， 4t 所以非零公共解为 2t1t 2t(1， 4，1，1) T，其中 t 为非零常数21 【正确答案】 因为 A，B 相似，所以AB，且 tr(A)tr(B)，EA (3)(5) 16 221516 221(1) 2 故 A 的两个特征值为1，1 但(E A) 因此 R(EA) 1，所以不能对角化 设 P ，满足 P-1APB，即有 APPB ，从而整理得解得
15、基础解系为所以可令 P，则有 P-1AP B22 【正确答案】 三角形区域为 G(，y)01，0y1，y1；随机变量X 和 Y 的联合密度为 以 f(u)表示 UX Y 的概率密度，当 u1 或 u2 时，显然 f(u)0 设 1u2，当 01 且 0u1 时，f(，u)2，否则 f(， u)0由随机变量之和的概率密度公式，有 f(u) f(，u)d u-112d2(2u) 因此 E(X Y)E(U) uf(u)du2 12u(2 u)du ， E(XY)E(U *) u2f(u)du2 12u2(2u)du ， D(U) D(Xy)E(XY) 2E(X Y) 2 23 【正确答案】 () 由 X 和 Y 相互独立，故 f(，y)f X().fY(y) 当 y0 时，()由于 Z且故 Z 的分布律为 Z 的分布函数为
