1、考研数学（数学二）模拟试卷 280 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为 R 上不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)=f(x)/x( )（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=02 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=O（B）若 fx(x0，y 0)=0，
2、则 fx(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fx(x0，y 0)03 设非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( ) （A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)4 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2)dx 等于( )（A）1/2(1-x 2)2+C（B） - 1/2(1-x2)2+C（C） 2(1-x2)2+C（D
3、）-2(1-x 2)2+C5 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小，则( )（A）a=1 ，b=-(1/6)（B） a=1，b=1/6（C） a=-1，b=-(1/6)（D）a=-1，b=1/66 设函数 g(x)可微，h(x)=lng(x)，h (1)=1，g (1)=2，则 g(1)等于( )（A）e（B） 1（C） 2（D）37 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=
4、PAP T8 设向量组 a1，a 2，a 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A）a 1+a2，a 2+a3，a 3-a1（B） a1+a2， a2+a3，a 1+2a2+a3（C） a1+2a2， 2a2+3a3，3a 3+a1（D）a 1+a2+a3，2a 1-3a2+2a3，3a 1+5a2+3a3二、填空题9 设函数 f(x)= 在(-，+)内连续，则 c=_10 _11 曲线 ，在点(0，1)处的法线方程为_12 =_13 曲线 的渐近线方程为_14 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限1
5、6 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体积为 V(t)=/3t2f(t)-f(1)试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y x=2=2/9 的解17 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a，b)，使得18 求连续函数 f(x)，使它满足 f(x)+20xf(t)dt=x219 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解20 已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于 =/6 处的切线与法线的直角
6、坐标方程21 设 f(lnx)= ，计算f(x)dx 22 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 A= ，x=(x 1，x n)T， b=(1，0，0) T ()证明行列式A=(n+1)a n； ()a 为何值时，方程组有唯一解?求 x1； ()a 为何值时，方程组有无穷多解 ?求通解23 设 n 阶矩阵 A= ()求 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 280 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(-x)=-f(x)，则有 f(0)=0，从而即 g
7、(x)在 x=0 处极限存在，但 x=0 时 g(x)无定义， 因此可补充定义 g(0)=f(0)，则 g(x)在 x=0 处连续 综上，g(x)有可去间断点 x=0，所以选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 依题意知(x 0，y 0)是拉格朗日函数，F(x，y，)=f(x，y)+(x，y) 的驻点，即(x 0，y 0)使得 因为 y(x0，y 0)0，所以从(2)式可得 代入(1)式得即 fx(x0，y 0)y(x0，y 0)=x(x0，y 0) 当fx(x0，y 0)0 且 y(x0，y 0)0 时，f x(x0，y 0)y(x0，y 0)0， 从而 fy(x0，y 0)0，故选(D)
8、3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的一个非零解，又 y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(x)-y2(x)是原非齐次线性微分方程的通解，其中 C 为任意常数故选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 故 a=1，(D)错误，所以选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件有 h(x)=g(x)/g(x) 令 x=1，得 h(1)=g(1)/g(1)，即1=2/g(1)，所以 g(1)=2故选(C
9、) 7 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，观察四个选项： 关于(A)，由于 (a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0， 则 a1+a2，a 2+a3，a 3-a1 线性相关 关于(B)，由于(a 1+a2)+(a2+a3)-(a1+2a2+a3)=0， 则 a1+a2，a 2+a3，a 1+2a2+a3 也线性相关 关于(C)，由定义，设有一组数k1，k 2， 3，使得 k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0 即(k 1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)
10、a3=0，由已知 a1，a 2，a 3 线性无关，则 该方程组的系数矩阵的行列式为 从而 k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为 0，则(D)中向量组线性相关综上选(C) 二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 函数 f(x)连续，则需满足 ，即c2+1=2/c，解得 c=110 【正确答案】 -(1/4)【试题解析】 原式=11 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知 x=0，y=1 时，t=0， 因此 ，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2， 从而
11、法线方程为 y-1=-2x，即2x+y-1=012 【正确答案】 -cotx*lncosx-x+C【试题解析】 原式=-lncosxdcotx=-cotx*lncosx-dx=-cotx*lncosx-x+C13 【正确答案】 y=x+ 1/e【试题解析】 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线由题设，因此无水平渐近线又由因此也无铅直渐近线关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为 y=x+ 1/e14 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2，因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元 素的代数余子式均为 0，即 A*=0，故 r(A*)=0三、解答题解答应写出文字
12、说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设，旋转体体积应为 1tf2(x)dx，则 1tf2(x)dx=/3t2f(t)-f(1)，从而 1tf2(x)dx=1/3t2f(t)-f(1)两边对 t 求导，得f 2(t)=1/32tf(t)+t2f(t)，即 t2f(t)-3f2(t)+2tf(t)=0令 因此 从而17 【正确答案】 由题设，引入辅助函数，即 g(x)=ez，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足 柯西中值定理的条件，所以知存在一点 E(a，b)，使得又 f(x)在区间a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点 (a，b)，使得 f(b)-
13、f(a)=f ()(b-a) (2)将(2)式代入(1)式可得 整理得18 【正确答案】 方程 f(x)+202f(t)dt=x2 两边对 x 求导得 f(x)+2f(x)=2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=0于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+2f(x)=2x 满足初始条件f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得 f(x)=e -2dx(2x*e2dxdx+C)=e-2x(2xe2xdx+C)=Ce-2x+x- 1/2代入初始条件 f(0)=0，得 C=1/2，从而 f(x)=19 【正确答案】 先化为一阶线性微分方程的标准形式 由一阶线性微分方程的通解公式，得 代入
14、初始条件 y(1)=1 得 C=1，所以所求特解为20 【正确答案】 由题设，曲线极坐标方程为 r=1-cos，则曲线的直角坐标参数方程为 该点切线斜率为因此，该点切线方程为该点法线方程为21 【正确答案】 由已知条件，应先求出 f(x)的表达式再进行积分，22 【正确答案】 () 利用行列式性质，有()若使方程组 Ax=b 有唯一解，则 A=(n+1)a n0，即 a0则由克莱姆法则得()若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则 A=(n+1)a n=0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有 =r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为 k(1，0，0，0) T(
15、k 为任意常数)代入 a=0后方程组化为 特解取为(0，1，0，0) T，则方程组 Ax=b 的通解为 k(1，0，0，0) T+(0，1，0，0) T，其中的 k 为任意常数23 【正确答案】 () 由题设，先由特征值多项式A-E=0 求 A 的特征值，即=1-+(n-1)b(1-b)n-1，因此 A 的特征值为 1=1+(n-1)b， 2=3= n=1-b当 b0 时，对应于1=1+(n-1)b， 不难求出 1= 是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向量为 Cn= ，其中 C 为任意非 0 常数。对应于 2=3= n=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为 2=从而特征向量为 C22+C33+Cnn，其中C2，C 3， Cn 是不全为 0 的常数当 b=0 时，A= =E，从而 A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量 ()由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， 3， n)，则 P-1AP=而当 b=0 时，A=E ，任取 P 为可逆矩阵，都有 P-1AP=E
