1、考研数学（数学二）模拟试卷 289 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(-，+) 内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） -x0 必是函数-f(-x) 的最小值点（C） -x0 必是函数-f(-x) 的极小值点（D）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)2 如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2 ，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0 ，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )3
2、 设 f(x)连续且 F(x)= 为( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在4 函数 y=C1ex+C22e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y -y-2y=3xex（B） y-y-2y=3ex（C） y+y-2y=3xex（D）y +y-2y=3ex5 设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为奇函数的是( )6 设 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）607 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关8
3、设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()ATAX=0 必有( ) （A）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解（B） ()的解是( )的解，( )的解也是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解二、填空题9 设 =_10 设 =_11 =_12 改变积分次序 =_13 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 F(x)= 在 x=0 处连续，则C=_14 没 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且A=a，B=b， ，则C =_三、解答题解答应
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性17 已知 f(x， y)=x2arctan(y/x)-y2arctan(x/y)，求18 设函数 f(x)连续，且19 计算20 确定常数 a，b，c 的值，使21 ()证明积分中值定理：设 f(x)在a，b上连续，则存在 a，b，使 abf(x)dx=f()(b-a)； ()若 (x)有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 23(x)dx，证明至少存在一点 (1，3)，使得 ()022 设 4 维向量组 a 1=(1+a，1，1，1)
5、 T，a 2=(2，2+a，2，2) T，a 3=(3，3，3+a，3)T， a4=(4，4， 4，4+a) T，问 a 为何值时，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关?当a1，a 2，a 3，a 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出23 设矩阵 A= ，且A=-1 又设 A 的伴随矩阵 A 有特征值 A*，属于 0 的特征向量为 a=(-1，-1 ，1) T，求 a，b，c 及 0 的值考研数学（数学二）模拟试卷 289 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为“函数 f(x)
6、的极值点不一定是函数 f(x)的驻点”，如 f(x)=3-x-1在 x 0=1 点处取得极大值 f(1)=3，但 x0=1 点还并不是函数 f(x)的驻点(A) 不对又“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的最值点”，如 f(x)=x3-6x2+9x-1，因为f(x)在(- ，+) 内没有最大值，但却在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3而当 x4 时，都有 f(x)f(x 0)(D)不对，至于(B)，我们在否定(D)时，实际上已经得到结论了仍然可举(D) 中用过的例子为反例。因此选 (C)2 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)= 0xf(t)dt 的大小与曲线 f(x)与 x
7、 轴所围面积的大小有关因为故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 依题意，y=C 1ex+C2e-2x+xex 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解 相应的齐次方程的特征根是 1=1， 2=-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，所以相应的齐次方程为 y+y-2y=0，在(D)中，方程 y+y-2y=3ex 有形如 y*=Axex 的特解(eax 中 a=1 是单特征根) 通过验证知，y *=Axex 是 y+y-2y=3ex 的特解，所以选(D)5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，逐一分析 4 个选项， 由于 f(x)的奇偶性未给定，所以(A)
8、、(B)的奇偶性不确定设 则因此 f3(x)为奇函数设f4(x)= 则因此 f4(x)为偶函数，综上，选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 由解的判定定理知 Ax=0 仅有零解 r(A)=r=n，即 A 的 n 个列向量线性无关，故应选(A) 8 【正确答案】 B【试题解析】 若 xu 是 AX=0 的解，即 Axi=0，显然 ATAxi=0； 若 xi 是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=o，则 xiTATAxi=0，即(Ax i)T(Axi)=0若 Axi0，不妨设Axi=(b1，b 2，b n)T，b 10，则(Ax i)T(Axi)= 与(Ax
9、 i)T(Axi)=0 矛盾，因而 Axi=0，即 ()、( )同解选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 于是 f (x)=2*(-1)(1+x)-2， f (x)=2*(-1)(-2)(1+x)-3， f (n)(x)=2*(-1)nn!(1+x)-(n+1)=10 【正确答案】 -(1/2)【试题解析】 由题设，11 【正确答案】 /4e【试题解析】 由题设原积分=12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 a+b【试题解析】 因为F(x)在 x=0 处连续，所以 C=a+b14 【正确答案】 -(1) m*nab【试题解析】 利用拉普拉斯展开定理，行列式 的 n 阶
10、子式B的代数余子式为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 对方程 ylny-x+y=0 两边求导得故曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是向上凸的17 【正确答案】 利用求复合函数偏导的方法，得18 【正确答案】 题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 dy=-dt，19 【正确答案】 令20 【正确答案】 由题设表达式，因为 -sinx=0，但原式极限 c0，因此分母极限(x0)也为 0，即 当 b0 时，t (0，b)，则 当 b0 时，t max(-1，b) ，0，则21 【正确答案】 () 设 M 和 m 分别是
11、连续函数 f(x)在区间a，b(ba)上的最大值和最小值，则有 m(b-a)abf(x)M(b-a)不等式两边同除以 (b-a)，得到显然 是介于函数 f(x)的最大值和最小值之间的，根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间a， b上至少存在一点 ，使得函数f(x)在该点处的函数值和 等式两边同乘以(b-a)可得 ()由积分中值定理可得，至少存在一点 (2，3)，使得 23(x)dx=()又 (2) 23(x)dx，所以有 (2)(1)，(2)()。因为 (x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点1(1， 2)，使得 且至少存在一点 1(2，)，使得再由拉格朗日微分中值定
12、理可知，至少存在一点 (1， 2)，使得22 【正确答案】 对(a 1，a 2，a 3，a 4)作初等行变换，有 (a1，a 2，a 3，a 4)=若 a=0，则秩 r(a1，a 2，a 3，a 4)=1，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关可取极大线性无关组为 a1，且a2=2a1，a 3=3a1，a 4=4a1由于 a0，继续作初等行变换有(a 1，a 2，a 3，a 4)所以，当 a=-10 时，r(a 1，a 2，a 3，a 4)=3，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关， 可取极大线性无关组为 a2，a 3，a 4，且 a1=-a2-a3-a423 【正确答案】 由题设，A *a=0a，由公式 AA*=A E=-E ，则 AA *a=0Aa -a=0Aa，从而 0 ，写成方程组的形式如下：联立(1)式和(3)式可解得 0=1将0=1 代入(1)式和(2)式，得 a=c，b=-3又由已知A =-1 ，则 =a-3=-1，从而 a=2，即 c=2综上，a=c=2，b=-3 ， 0=1
