1、考研数学（数学二）模拟试卷 298 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）1（B）（C）（D）一 12 设 f(x)是( 一，+)上的连续奇函数，且满足f(x)M，其中常数 M0，则函数 F(x)= 是(一 ，+) 上的（A）有界奇函数（B）有界偶函数（C）无界偶函数（D）无界奇函数3 设有以下函数 则在点 x=0 处可导的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 定积分 取值（A）为正（B）为负（C）为零（D）的符号无法直接判定5 设 D 是以点 A(1，1) ，B(一 1，1)，C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，则（A）
2、2（B） 5（C） 8（D）66 函数 u=xyz2 在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是（A）（B） 1（C） 2（D）37 设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程(I)A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（D）(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解8 已知 4 维列向量 1,2,3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1,2,3 均正交，则秩 r(1， 2， 3， 4)
3、=（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 已知 在点 x=0 处连续，则 a=_10 设 f(x)=arcsin(1 一 x)，且 f(0)=0，则 =_11 曲线 y=xe-x(0x12 函数 f(x)=e-xsinx(x0，+) 的值域区间为_ 13 设 则其中常数 P 的取值范围是_14 已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，耶么矩阵(A *)*的最大特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0 且15 求 f(x)；16 求证：f(x)在(0，+)上有界16
4、 设 f(x)满足17 讨论 f(x)在(一，+)是否存在最大值或最小值，若存在则求出；18 求 y=f(x)的渐近线方程18 设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，并当 x0 时满足 xf(x)+3 戈f (x)21e-x19 求证：当 x0 时 f(x)20 又设 f(0)=f(0)=0，求证：当 x0 时,20 设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)021 证明至少存在一点 (a，b)，使22 对(I)中的 (a，b)，求22 证明下列命题：23 设 f(x，y)定义在全平面上，且 则 f(x,y)恒为常数；24 设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足则 u(x，y
5、)，v(x，y)恒为常数25 计算二重积分 其中 D=(x，y)x 2+y2a2，常数a025 一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为 v0，穿出铁板时的速度为 v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为 t1子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数 k026 求子弹在铁板内的运动速度 v 与时间 t 的函数关系 v=u(t)；27 求铁板的厚度28 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，其中 1,2,3,4 是 4 维列向量若齐次方程组Ax=0 的通解是 k(1，0，一 3，2) T，证明 2,3,4 是齐次方程组 A*x=0 的基础解系28 设 n 阶实对称矩阵 A
6、满足 A2=E，且秩 r(A+E)=k29 求二次型 xTAx 的规范形；30 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求行列式B的值考研数学（数学二）模拟试卷 298 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个 型未定式，使用洛必达法则，有故选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 首先，由于被积函数 te-x2f(t)是(一，+)上的偶函数，故 F(x)是(一，+)上的奇函数其次，对任何 x0，有利用 F(x)的对称性，当 x0 时上面的不等式也成立从而，函数 F(x)还是( 一 ，+)上的有界函数故应选 A3
7、 【正确答案】 B【试题解析】 按定义分析，即分析 的存在性，并要逐一分析由 在点 x=0 处可导由 在点 x=0 处不可导由在点 x=0 处可导由在点 x=0 处不可导因此选 B4 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2=t，则 又于是故选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 D 如图所示，连 OB 将 D 分成 D=D1D2，D 1，D 2 分别关于 x，y 轴对称 对 x，y 均为奇函数D 的面积 因此选 C6 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】用拉格朗日乘子法求解令 F(x，y,z)=xyz 2+(x2+y2+x24)，则 由，得 ，代入得 因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为
8、 应选 C【分析二】化为简单最值问题由条件解出 z2=4 一 x2 一 y2(02+y22 一 y2)在区域 D=(x，y)0 2+y2即 得 x=1，y=1u(1，1)=2又 u 在 D 的边界上取零值，因此 应选 C7 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I)的解，即 An=0，显然 An+1=A(An)=AO=0，即 必是()的解可排除 C 和 D若 是()的解，即 An+1=0假若 不是(I) 的解，即An0，那么对于向量组 ，A ，A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k1A+k2A2+kA n=0，用 An 左乘上式，并把An+1=0，A
9、 n+2=0，代入，得 kAn=0由于 An0，必有后=0对k1A+k2A2+kA n=0，用 An-1 左乘上式可推知 k1=0类似可知ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A ，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有 An=0，即()的解必是(I)的解由此可排除 B故应选 A8 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(11,12， 13， 14)T， 2=(21， 22， 23， 24)T， 3=(31， 32， 33， 34)T，那么 i 与 1， 2， 3 均正交，即内积1Ti=0(j=1，2，3，4) 亦即 i(j=1，2，3，4)是齐次方程组的非零解由于 1,2,3 线性无关
10、，故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 43=1 个解向量从而 r(1， 2， 3， 4)=1故应选 A二、填空题9 【正确答案】 一 3【试题解析】 在点 x=0 处左连续，要使 f(x)在点 x=0 处连续而 其中故 a=一 310 【正确答案】 【试题解析】 已知 f(x)=arcsin(x 一 1)，求 ，我们不必先求出 f(x)，而是把求，转化为求与 f(x)有关的定积分，就要用分部积分法或把再积分方法 1。利用分部积分法可得也可用分解法求出方法 2。由于于是 代入即得其中 D=(x，y)0x1，0yx，因D 又可表为 D=(x，y)0y1，yx1 ，从而交换累次积分的积分次序即得(此
11、处积分 的计算过程可参阅方法 1。)11 【正确答案】 【试题解析】 所求体积为12 【正确答案】 【试题解析】 定义在某区间上的连续函数 y(x)，若有最大值 M 和最小值 m，则y(x)的值域就是 m，Mf(x)=e -xsinx 在0，+)内连续由 f(x)=e-x(cosxsinx)=0，解得 f(x)的驻点为 于是其中 f(x0)，f(x 2)，f(x 4)，为正数，最大者为 而 f(x1)，f(x 3)，f(x 5)，为负数，最小者为 又f(0)=0， 所以 f(x)的值域为13 【正确答案】 区间(3，+)(或集合PP3)【试题解析】 当 x=y0 时, 由于故当 P3 时 不可
12、能等于零令并利用x，y ，可得 注意当 3 时有 由夹逼定理即得此时 这表明的充分必要条件是其中常数 P3，即符合要求的常数 P的取值范围是区间(3，+) (也可表示为集合的形式 PP3)14 【正确答案】 18【试题解析】 因为(A *)*=A n-2A，又 所以(A *)*=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 18三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 题没中等式左端的极限为 1型，先转化成由导数的定义及复合函数求导法得于是积分得即 由得 C=1因此16 【正确答案】 证法 1。因 f(x)在(0 ，+)连续，又 ，所以f(x
13、)在(0，+)上有界证法 2。当 x(0，+) 时显然有 ，即 f(x)在(0，+) 有下界为证明 f(x)在(0，+)也有上界可利用熟知的不等式：当时有 ，从而当 0 又当 时直接可得，故当 x(0,+)时 f(x)17 【正确答案】 先求出 f(x)的表达式由 得上式中令 x=0，等式显然成立又两边求导得 f(-x)=一 xe-x因此， f(x)=x 一 ex/sup，x (一，+)下面讨论 f(x)的最值问题由f(0)=一 1 是 f(x)在(一，+)的最大值f(x)在(一，+)无最小值18 【正确答案】 由x一时有渐近线y=x又 f(x)无间断点，且 y=f(x) 无其他渐近线19 【
14、正确答案】 由假设条件有 因此只需证 令 F(x)=x 一(1 一 e-x)=x+e-x 一 1，F(0)=0，F (x)=1 一 e-x0(x0)F(x)在0，+) 单调增加，F(x)F(0)=0(x0) ，即于是20 【正确答案】 方法 1。由泰勒公式得其中 x0，0方法 2。要证 ，即证由于 F(0)=0，F (x)=x 一 f(x)，F (0)=0，F (x)=1 一 f(x)，于是由(*)式 F(x)=1-f(x)0(x0)F (x)在0 ，+)单调增加 F (x)F(0)=0(x0)F(x)在0，+) 单调增加F(x)F(0)=0(x0)，即 f(x)21 【正确答案】 令 即证
15、(x)在(a， b) 零点因 f(x)在故由闭区间上连续函数的性质知存在 (a，b)，使得 ()=0，即22 【正确答案】 由上式知 从而于是将 b 看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得分子、分母同除ba 得23 【正确答案】 方法 1。即证 f(x，y)=f(0，0)( x,y)，由于 f(x，y)一 f(0，0)=f(x，y)一 f(0，y)+f(0 ，y)一 f(0，0)因此 方法 2。偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上 即 给定 y，作为 x的一元函数 f(x，y)对 x 的导数 于是 f(x，y)=(y)(y) 是 可导函数(当 y 给定时它是 x 的常数函数)将上式两端关于
16、 y 求偏导数与导数有因此 f(x，y) 恒为常数24 【正确答案】 由所给条件即词 由 u2+v2=C将 代入上式 此方程组的系数行列式 若 C=0u=0，v=0；若 c0,为常数同理可证：v(x，y)为常数25 【正确答案】 ，将 D 中的x 与 y 交换，D 不变，所以 中，将被积函数中的 x 与 y 交换，该积分的值亦不变于是有 从而又由于 sinx 是 x的奇函数，siny 是 y 的奇函数，且 D 既对称于 y 轴，义对称于 x 轴，所以于是26 【正确答案】 首先考察子弹在铁板内的运动速度 v=v(t)满足的规律子弹在铁板内所受阻力为一 kv2，于是由牛顿第二定律得 其中 m 为
17、子弹的质量以入射时为起始时间，得初条件 v(0)=v0解这个变量分离的微分方程得积分得 由初值得 ，于是 令 t=t1 得27 【正确答案】 铁板的厚度 d 即子弹在铁板内所走过的距离28 【正确答案】 由解的结构知 nr(A)=1，故秩 r(A)=3又由得 1 一 33+24=0因 A*A=A E=0，即A*(1,2,3,4)=0，故 2,3,4 都是 A*x=0 的解由 1=3324 与 r(A)=3 有A=(1,2,3,4)=(3324， 2， 3， 4)(0， 2， 3， 4)，可知 2， 3， 4 线性无关由 r(A)=3 得 r(A*)=1，那么 n 一 r(A*)=3综上可知，
18、2， 3， 4 是 A*x=0 的基础解系29 【正确答案】 设 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即A=A，0，则 2=2由于 A2=E，从而( 2 一 1)=0又因 0，故有 2 一1=0，解得 =1 或 =一 1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是 那么矩阵 A 的特征值为： 1(k 个)，一 1(nk个)故二次型 XTAx 的规范形为 y12+yk2 一 yk+12 一一 yn230 【正确答案】 因为 A2=E，故 B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个) ， 1(nk 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且B=5 k.1n-k=5k
