1、考研数学（数学二）模拟试卷 299 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设正数列a n满足 则极限 =（A）2（B） 1（C） 0（D）2 设 0，f(x)在( 一 ，) 有连续的三阶导数，f (0)=f(0)=0 且 则下列结论正确的是（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（A）（
2、B）（C）（D）4 已知累次积分 其中 a0 为常数，则，可写成（A）（B）（C）（D）5 设 (a 为常数) ，则（A）当 a0 时，f(x) 不可能无零点（B）当 a=0 时，f(x)不可能仅有一个零点（C）当 a=一 3 时，f(x)不可能仅有一个零点（D）当一 3n，则 d，必可由 1， 2 s 线性表示（D）如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2 s 线性表示二、填空题9 曲线 在其交点处的切线的夹角 =_10 设函数 f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则11 设 f(x，y)为连续函数，且 ，其中D：u 2+v2a2(a0)，则 f(x，y
3、)=_ 12 设 f(u)连续，且 du(x， y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x，y)=_13 二阶微分方程 y=e2y，满足条件 y(0)=0，y (0)=1 的特解是 y=_14 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵 A 的特征向量是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有15 求 f(1) 及 f(1)；16 若又设 f(1)存存，求 f(1)17 求不定积分18 设 D 是曲线 y=2x 一 x2 与 x 轴围成的平面图形，直线y=kx 把 D 分成为 D1 和 D2 两部分( 如图)，若 D1
4、 的面积 S1 与 D2 的面积 S2 之比S 1：S 2=1：7求平面图形 D1 的周长以及 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积18 设 其中 f(s，t)有连续的二阶偏导数19 求 du20 求21 计算二重积分 其中积分区域D=(x，y) x 2+y2121 设 xOy 平面第一象限中有曲线 F:y=y(x)，过点 y(x)0M(x ，y)为 F上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处厂的切线在 x 轴上的截距之差为22 导出 y=y(x)满足的微分方程和初始条件；23 求曲线 F 的表达式23 设函数 f(x)在a,+)内二阶可导且 f(x)a，f (b)0，f (b)24 2
5、5 方程 f(x)=0 在b，+)内有且仅有一个实根26 设又有 f(a)0，则方程 f(x)=0 在a，+)内有且仅有一个实根.26 已知 1=(1，3,5，一 1)T， 2=(2，7，n，4) T， 3=(5，17，一 1，7) T，27 若 1,2,3 线性相关，求 的值；28 当(z=3 时，求与 1,2,3 都正交的非零向量 4；29 当 =3 时，证明 1,2,3,4 表示任一个 4 维列向量29 已知 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，满足 A1=一 1 一 3233，A 2=41+42+3，A 3=一 21+3330 求矩阵 A 的特征值；31 求矩
6、阵 A 的特征向量；32 求矩阵 A*一 6E 的秩考研数学（数学二）模拟试卷 299 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 又因此 故应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，当 00 时， f (x)在(一 0， 0)单调上升 (0，f(0) 是 y=f(x)的拐点故应选 C.3 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy由于它们均连续 即故应选 B.4 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成
7、由 D 的极坐标表示即 r2=x2+y2arcos=(ax，可知 ，如右图若是先 y 后 x 的积分顺序，则 D：0xa， 于是故应选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 有零点等价于曲线 与直线 y=a 有交点令 则有 现列表格标出 y的正负号区间，相应地得到 g(x)的单调性区间： 所以 g(x)在(一，一 3)和(3，+)内单调增加，在( 一 3，3)内单调减少，并且 g(x)取最小值g(3)=一 3y=g(x)在每个单调性区间上与直线 y=a 是否相交取决于 a 值是否介于单调性区间端点的函数值或极限值之间故还要算出综上计算结果结合 y=g(x)的图形(如右图所示)，可得 当 a0 时
8、，f(x)有两个零点；当 a=0 时，f(x) 只有一个零点 x=0；当一 36 【正确答案】 B【试题解析】 线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 对应于特征根1=1+2i， 2=12i 与 3=一 1，由此可得特征方程是 (一 12i)(1+2i)(+1)=03 一 2+3+5=0由此即知以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 y一 y+3y+5y=0应选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是aii0C 中 a33=一
9、1 794 必不正定；D 中三阶顺序主子式A =一 18 【正确答案】 D【试题解析】 r( 1， 2 s)=r 1， 2 s 中一定存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量必线性相关当向量组的秩为 r 时，向量组中既可以有 r 一 1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故 A、B 均错误例如向量 1,2,3,4分别为(1 ，0，0，0) ，(0，1，0，0) ，(0，0，1，0) ，(3 ，0，0，0)，其秩为 3，其中 1， 4 线性相关， 1,2,4 也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关当
10、sn 时，表明 1， 2 s 必线性相关，此时有 i 可以由 1， i-1， i+1， s 线性表示，但 s 不一定能由 1， s-1 线性表示故 C 不正确若r(1， 2， ， s)=n，则对任何凡维向量 必有 r(1， 2， s，)=n故 D 正确因此应选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 解得 x=0，即两条曲线的交点为点(0，1) 由于1 因此两条切线在交点处的斜率分别为0 和 1，故其夹角10 【正确答案】 【试题解析】 所求极限是“一” 型未定式，可通分化为“ ”型未定式求极限11 【正确答案】 e -(x2+y2)+(1 一 e 一 e-a2)xy2【试题解析】 注
11、意 为常数，记为 A，由于 xy2 对 u、v 为常数，因此对u，v 积分时可提出积分号外f(x，y)=e -x2-y2+Axy2求 f(x，y)归结为求常数 A等式两边在 D 积分得作极坐标变换又 (D 关于 y轴对称，被积函数对 x 为奇函数)，将它代入式A=(1 一 e-a2)因此 f(x，y)=e -(x2+y2)+(1一 e-a2)xy212 【正确答案】 其中 C 为 1304 常数【试题解析】 由于 因此 ，其中 C 为 常数13 【正确答案】 一 ln(1 一 x)【试题解析】 题设的二阶微分方程不显含自变量 x，令 y=P 并以 y 为自变量可降阶为关于 P 的一阶微分方程注
12、意当令 y=P 时, 代入原方程即得 ，把它改写为 =2e2y，分离变量有 2pdp=2e22ydy，积分即得其通解为 P2=e2y+C利用题设的初值知当 y=0 时 P=1，由此可确定常数 C=0于是得到新方程 P2=e2y，因为初值 p=10，故可求 p0 的解，即应解微分方程 p=ey，即分离变量可得 e-ydy=dx，积分即得其通解为 e-y=C1/sub一 x，即 y=一 In(C1x)利用初值 y(0)=0 可确定常数 C1=1，故所求特解是 y=一 In(1 一 x)【分析二】此二阶方程不显含 x 且不显含 y 将方程两边同乘 y得 yy=e2yy，即 积分得 y12=e2y+C
13、1 由 y(0)=0，y (0)=1，定出 C1=0因 y(0)=10，故可求y0 的解 y=ey，其余同【分析一】可求出 y=一 ln(1 一 x)14 【正确答案】 k(一 1，1，1) T，k=0 为任意常数【试题解析】 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0 必是 3 重根，且秩 r(0EA)=2由 知30=4+(一 2)+1，得特征值 =1(3重)又 因为秩 r(EA)=2，因此有 a=一 2此时(EA)x=0 的基础解系是(一 1，1，1) T故A 的特征向量为 k(一 1，1，1) T，k0 为任意常数三、解答题解答应写出文字说明、
14、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由条件知又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价尢穷小因子替换：当 x0 时，lnI+f(x+1)+3sin 2x一 f(x+1)+3sin2x，16 【正确答案】 方法 1。由 在 x=1 的某邻域内可导方法 2。当 f(1)存在时，可用阶泰勒公式得或由及极限与无穷小的关系得17 【正确答案】 【分析与求解一】作变量替换 则有再分部积分得其中于是根据三角形示意图，易变量还原得【分析与求解二】为了作分部积分，先求 同样由三角形示意图，变量还原得 于是由分部积分得18 【正确答案】 由方程组 可解得直线 y=kx 与曲线 y=
15、2x 一 x2 有两个交点(0 ，0) 和 (2 一 k，k(2 一 k)，其中 0 又由题设 S1：S 2=1：7，知 于是k=1，相应的交点是(1，1)注意这时 D1 的边界由 y=x 上 0x1 的线段与曲线y=2xx2 上 0x1 的弧构成，从而 D1 的周长于是 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积19 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得20 【正确答案】 由 du 中 dy，dz 的系数分别得【试题解析】 是 u=f(s，t)与 复合而成的三元函数先求du(从而也就求得 或先求 也可求得 du，然后由 求 或由求21 【正确答案】 被积函数分块表示：记
16、要用分块积分法将 D 分为两块，D 1 与 D2：(因点 到原点(0，0)的距离所以圆域 全在区域 D 内)D 2=DD 1，于是D=D1D2， D2 上积分不易计算，将它转化为求 D 与 D1 上积分之差 代入上式得其中 D1是圆域 作平移变换 则再作极坐标变换：(D 关于 x，y 轴均对称，而x 与 y 都是奇函数，故 )因此 I=I1+I222 【正确答案】 先求出 f 在点 m(x，y)处的切线方程 Y 一 y(x)=y(x)(x 一 x)，其中(x，y)是切线上点的坐标在切线方程中令 y=0，得 x 轴上的截距 又弧殷 的长度为 ，按题意得 这是积分、微分方程，两边对 x 求导，就可
17、转化为二阶微分方程：又由条件及式得 因此得初值问题 问题 与是等价的23 【正确答案】 下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得 分离变量得 两边积分，得 由 时 P=1C =0将上面两式相减 再积分得 其中 则 就是所求曲线 F 的表达式24 【正确答案】 (I)方法 1。f (x)(b)(xb)(xa，+)，xb)令方法 2。由泰勒公式可得其中25 【正确答案】 ()f(x)在 a，+)连续 在(a,+)有一个零点因 f(x)(x)在a ，+) 由 f(b)(x)b)f(x) 在b，+) (x)在(b，+)只有唯一零点26 【正确答案】 () 由题() 只须
18、证 f(x)0(xa，b)当 xa，b时，由于 f(b)(x) ，只有以下两种情形：1。f (a)0，f (x) ，如图(1)f(x)f(b)0(xa ，b)；2。 x0(a，b) ，如图(2) ，f(x)f(a)0(axx 0)，f(x)f(b)0(x 0xb)f(x)0(x a，b)因此 f(x)在a，+)有唯一零点，即方程 f(x)=0 在a，+)有且仅有一个实根27 【正确答案】 1,2,3 线性相关 秩 r(1,2,3)所以 a=一 328 【正确答案】 设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即 所以 4=k(19
19、，一6，0，1) T，其中 k029 【正确答案】 由于 1,2,3,4= 所以x11+x22+x33+x44= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1,2,3,4 线性表出或者由(I) 知 =3 时， 1,2,3 必线性无关，那么：若 k11+k22+k33+k44=0，用 4T 左乘上式两端并利用 4T1=4T3=0，有 k44T4=0，又 40，故必有 k4=0 于是k11+k22+k33=0由 1,2,3 线性无关知必有 1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1,2,3,4 必线性无关。而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由1,2,3,4 线性表出30 【正
20、确答案】 据已知条件，有 A(1,2,3)=(一 1 一 3233，4 1+42+3，一21+33) 记 及 P1=(1,2,3)，那么由1,2,3 线性无关知矩阵 P1 可逆，且 P1-1AP1=B，即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式 得矩阵 B 的特征值是1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3.31 【正确答案】 由(E B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值=1 的特征向量，由(2EB)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值=2 的特征向量，由(3E 一 B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值=3 的特征向量，那么令 P2=(1， 2， 3)，则有 P2BP2= 于是令P=P1P2(1,2,3) =(1+2+3，2 1+32+33， 1+32+43)，则有 P-1AP=(P1P2)-1A(P1P2)=P2-1(P1-1AP1)P2=P2-1BP2= 所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为 k1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k 3(1+32+43)，ki0(i=1，2，3)32 【正确答案】 由 及A=6 知， 从而所以秩 r(A*一 6E)=2
