1、考研数学（数学二）模拟试卷 310 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小又设x0 时， 与,a k 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k=( )（A）mn+n （B） 2n+m（C） m+n（D）mn+n 12 ( )（A）0（B）（C） 1（D）3 下述论断正确的是( )（A）设 f(x)在(一，+) 上有定义，除 x=0 外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在( 一，+)上严格单调增加（B）设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点，则 f(
2、0)=0（C）设 f(x)在 x=x0 处存在二阶导数，且 f(x0)0，则 x=x0 是 f(x)的极小值（D）设 f(x)在 x=x0 处连续但不可导，并设 则 f(x0)是 f(x)的极小值4 设 f(x)在 x=0 处存在 2 阶导数，且 f(0)=0，f (0)=0，f (0)0则( )（A）（B）（C）（D）5 设 下述命题成立的是( )（A）f(x)在一 1，1上存在原函数（B）存在 g(0)（C） g(x)在一 1，1上存在原函数（D） 在 x=0 处可导6 设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则 ( )（A）0。（B
3、） 2（C）（D）17 设 A 是 3 阶非零矩阵。满足 A2=A，且 AE，则必有 ( )（A）r(A)=1（B） r(A 一 E)=2（C） r(A)一 1r(AE)一 2=0（D）r(A)一 1(AE)一 1=08 设 A，B 是 n 阶可逆阵，且 AB，则A -1B -1A TB T A*B *ABBA其中正确的项数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 在(一，+) 内连续的充要条件是a=_，b=_.10 设 y=y(x)是南方程 y3+xy+x2 一 2x+1=0 确定的满足 y(1)=0 的可微函数，则=_.11 =_.12 =_.13 微分方程 yy+y2=
4、yy满足初始条件 的特解是_14 A 是二阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，f(x)=x 2 一 3x+4，则 f(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设不定积分 的结果中不含对数函数，求常数 ， 应满足的充要条件，并计算此不定积分16 设 D=(x,y)x 2+y2x+y，计算二重积分17 设 x 为常数讨论方程 ex=ax2 的实根个数18 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且存在反函数，其反函数为 g(x)，若求 f(x)19 设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明20 计算21 设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且
5、 f(12)=2 ，f y(1,2)=3，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x ，2x)求21 设 3 维向量组 1， 2 线性无关， 1， 2 线性无关22 证明：存在非零 3 维向量 1， 2 既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出；23 若 1=1，一 2，3 T， 2=2，1，1 T， 1=2，1，4 T， 2=一 5，一 3，5 T求既可由 ， 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的所有非零向量 24 (I)设 A，B 是 n 阶矩阵， A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；(II)对一般的 n 阶矩阵 A，B ，是否必有
6、 ABBA?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 310 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0时，f(x)Ax m，从而 f(xn)Ax nm于是由题意，上式为不等于零的常数，故k=nm+n2 【正确答案】 B【试题解析】 设 由于当 x0 时, ，从而 f(x)=x；当 x=0 时,当 x0 时， 所以故应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 由 于是知存在 x=x0，的某去心邻域 当 且xx 0，时，f (x)0；当 且 xx0 时，f (x)0
7、故知 f(x0)为极小值故应选DA 不正确，例如 符合 A 的一切条件，但不成立B 不正确，因未设 f(0)存在例如 f(x)=x，f(0)是极小值，但 f(0)不存在C 不正确，因未设 f(x0)=0例如 f(x)=ex，处处 f(x)=ex0，但无极小值4 【正确答案】 C【试题解析】 先作积分变量代换，令 x 一 t=u，则由二阶导数定义， 所以5 【正确答案】 C【试题解析】 g(x) 在-1 ， 1上连续，故存在原函数 A 不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点，那么在包含此点的区间上，该函数必不存在原函数B 不正确按定义容易知道 g(0)不存在D 不正
8、确可以具体计算出 F(x)，容易看出 F(0)=0，F -(0)=1，故 F(0)不存在6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 A 是三阶非零阵，则 A0，r(A)1AE ，A E0，r(AE)1，因 A2=A，即 A(AE)=0，得 r(A)+r(AE)3，且 1r(A)2，1r(AE)2故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和，一(A E)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是 2(不会是 3，也不会是 0，也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1)故A，B，C 均是错误的，故应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 AB，有A=B，且存在可逆阵 P，使
9、P-1AP=B，(*)(*)式两边求逆得 P-1A-1P=B-1，(*) 从而 A-1B -1(成立)(*)式两边转置，得 pTAT(P-1)T=BT，记(P -1)T=Q，p T=Q-1，即 Q-1ATQ=BT，从而 ATB T(成立)(*)式两边乘A，P -1A A -1P=P-1A*P=B B -1=B*，从而 A*B *(成立)因 A 可逆，故 BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，即 ABBA(成立 )故应选 D二、填空题9 【正确答案】 a=0，b=1【试题解析】 应先写出 f(x)的分段表达式当x1 时，f(x)=a 2x+bx；当 x=1时, 当 x=一 1 时,当x1
10、 时, 写成分段表达式为 可见，在 x=一 1 处连续；在 x=1 处连续 解得a=0，b=110 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导有 得有 (*)式为 型，对(*)式再用洛必达法则，得 将式(*)再对 x 求导，有当 x=1 时，已知 y(1)=0，y (1)=0，经计算得 y(1)=一 2于是11 【正确答案】 e -1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 画出积分区域(如图所示)，并用极坐标，得13 【正确答案】 【试题解析】 此为缺 x 的可降阶二阶方程令 方程yy+y2=yy化为 分解成 p=0 与 方程 p0 即 不满足初始条件，解第二个方程此为 p 关于 y 的
11、一阶线性方程为 解得由初始条件所以 C1=0，得 ，即 解得再将 y x=0=1 代入，得 C2=0故解得 14 【正确答案】 2E【试题解析】 利用矩阵 A 的相似对角阵由题设条件 A 是二阶矩阵，有两个不同的特征值，故 AA，即存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，A=PAP -1，其中且 f(x)=x2 一 3x+4=(x 一 1)(x 一 2)+2f(A)=(AE)(A 一 2E)+2E=(PA-1一 PP-1)(PA-1 一 2PP-1)+2E 或直接计算 f(A)=A2 一 3A+4E=(PAP-1)2 一 3PAP-1+4PP-1=PA2P-13PA-1+4PP-1 一 P(A2
12、 一3A+4E)P-1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由部分分式若 A0则积分之后会出现埘数函数；若 C0也会出现对数函数，因此 A=0 且 C=0将它们代入(*)式后，通分并令两边分子相等，得 ax3+x2+x+=B(x2+x+1)一 D(x1)2=(B+I)x2+(B 一 2I)x+(B+I)所以 =0，=B+D=B 一 2D=B+D从而推得0 = 以及 可以任意当满足上述条件时。被积函数为16 【正确答案】 作直线 y=x，将 D 分成两部分 D1=(x,y)yx,x(x,y)D,D 2(x,y)yx(x,y)D仅在 y=x(x,y)D)处 D1与
13、D2 公共，不影响二重积分的值。17 【正确答案】 当 a0 时，当然无实根以下讨论当 a0 时的情形易知 x=0不是根，改写并令 有 当 x(x)0；当 0x2时f (x)0；x2 时,f (x)0 所以当 a0 时，f(x)在区间(一 0)上有唯一实零点又在区间(0，+)上 所以当时，在区间(0，-)无实零点；当 时 f(x)在(0，+)上有唯一实零点；当时 所以在区间(0，+)上 f(x)正好有 2 个实零点综上所述，当 a0 时，f(x)=0 无实根；当 时仪当 x0 时，f(x)=0有唯一实根，当 时，f(x)=0 仅有两个实根。一正一负；当 时，f(x)=0 恰有 3 个实根，一负
14、两正。18 【正确答案】 将 两边对 x 求导数，得 g(f(x)f(x)+f(x)=xey即 xf(x)+f(x)=xex或写成 【注】 (xf(x)=xex，两边积分得即 因 f(x)在 x=0 处连续，所以只有 C=1 时上式才能成立，所以【注】也可将 xf(z)+f(x)=xex 改写为用线性常微分方程的解的公式求出 f(x)19 【正确答案】 不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左式不变 由柯西中值公式，存在一点 (x，y)，使得上式 记 f(u)=en 一 uen，有 f(0)=1，f (u)一uen0(当 u0 时)，所以当 u0 时，
15、f(u) 一 e 1，于是证得20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 1,2， 1， 2 均是 3 维向量，4 个 3 维向量必线性相关，由定义，存在不全为零的数 k1，k 2， 1， 2使得 k11+k22+11+22=0，得k11+k22+k11 22取 =k11+k22=一 1122，若 =0则k11+k22= 11 22=0.因 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关，从而得出1=2=0，且 1=2=0。这和 4 个 3 维向量线性相关矛盾，故 0, 即为所求的既可由 1,2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的非零向量23 【正确答案】 设 =k11+k22
16、=11 22，则得齐次线性方程组k11+k22+11+22=0，将 1,2， 1， 2 成矩阵，初作初等行变换得解得k1，k 2， 1,2=k一 12，一 1，1故既可由 1,2 线性表出，又可以由 1， 2 线性表出的所有非零向量为 =k11+k22=一 k1+2k2= 其中 k是任意的非零常数(或 =11 一 22=k1k 2= 其 k 是是任意的非零常数)24 【正确答案】 (1)因 A 有 n 个互不相同的非零特征值， A=n!0，站 A 可逆，从而有E AB=A(A -1B)=AEBA -1= EBA即 AB和 BA 有棚同的特征多项式，故有相同的特征值又若取可逆阵 P=A，则有 P-1ABP=A-1ABA-1=BA故有 ABBA()一般 ABBA，例如，则有 显然 r(AB)=0，r(BA)=1,故 ABBA(1)要证明相似，应找出可逆阵 P，使得 P-1ABP=BA(2)要说明可能不相似，只要举出一个反例即可由(I)已知 A 可逆时，必有 ABBA，故举反例应举 A 是不可逆矩阵(3)相似必有相同的 ，但 相同不一定相似
