[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷310及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 310 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,且当 x0 时,f(x)与 xm 为同阶无穷小又设x0 时, 与,a k 为同阶无穷小,其中 m 与 n 为正整数则 k=( )(A)mn+n (B) 2n+m(C) m+n(D)mn+n 12 ( )(A)0(B)(C) 1(D)3 下述论断正确的是( )(A)设 f(x)在(一,+) 上有定义,除 x=0 外均可导,且 f(x)0,则 f(x)在( 一,+)上严格单调增加(B)设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点,则 f(

2、0)=0(C)设 f(x)在 x=x0 处存在二阶导数,且 f(x0)0,则 x=x0 是 f(x)的极小值(D)设 f(x)在 x=x0 处连续但不可导,并设 则 f(x0)是 f(x)的极小值4 设 f(x)在 x=0 处存在 2 阶导数,且 f(0)=0,f (0)=0,f (0)0则( )(A)(B)(C)(D)5 设 下述命题成立的是( )(A)f(x)在一 1,1上存在原函数(B)存在 g(0)(C) g(x)在一 1,1上存在原函数(D) 在 x=0 处可导6 设 F(u,v)具有一阶连续偏导数,且 z=z(x,y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零,则 ( )(A)0。(B

3、) 2(C)(D)17 设 A 是 3 阶非零矩阵。满足 A2=A,且 AE,则必有 ( )(A)r(A)=1(B) r(A 一 E)=2(C) r(A)一 1r(AE)一 2=0(D)r(A)一 1(AE)一 1=08 设 A,B 是 n 阶可逆阵,且 AB,则A -1B -1A TB T A*B *ABBA其中正确的项数是 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)4二、填空题9 在(一,+) 内连续的充要条件是a=_,b=_.10 设 y=y(x)是南方程 y3+xy+x2 一 2x+1=0 确定的满足 y(1)=0 的可微函数,则=_.11 =_.12 =_.13 微分方程 yy+y2=

4、yy满足初始条件 的特解是_14 A 是二阶矩阵,有特征值 1=1, 2=2,f(x)=x 2 一 3x+4,则 f(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设不定积分 的结果中不含对数函数,求常数 , 应满足的充要条件,并计算此不定积分16 设 D=(x,y)x 2+y2x+y,计算二重积分17 设 x 为常数讨论方程 ex=ax2 的实根个数18 设函数 f(x)在0,+)上可导,f(0)=0,且存在反函数,其反函数为 g(x),若求 f(x)19 设 x 与 y 均大于 0 且 xy,证明20 计算21 设 z=f(x,y)在点(1,2)处存在连续的一阶偏导数,且

5、 f(12)=2 ,f y(1,2)=3,f y(1,2)=4,(x)=fx,f(x ,2x)求21 设 3 维向量组 1, 2 线性无关, 1, 2 线性无关22 证明:存在非零 3 维向量 1, 2 既可由 1, 2 线性表出,也可由 1, 2 线性表出;23 若 1=1,一 2,3 T, 2=2,1,1 T, 1=2,1,4 T, 2=一 5,一 3,5 T求既可由 , 线性表出,也可由 1, 2 线性表出的所有非零向量 24 (I)设 A,B 是 n 阶矩阵, A 有特征值 =1,2,n证明:AB 和 BA 有相同的特征值,且 ABBA;(II)对一般的 n 阶矩阵 A,B ,是否必有

6、 ABBA?说明理由考研数学(数学二)模拟试卷 310 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小,从而知存在常数 A0,当 x0时,f(x)Ax m,从而 f(xn)Ax nm于是由题意,上式为不等于零的常数,故k=nm+n2 【正确答案】 B【试题解析】 设 由于当 x0 时, ,从而 f(x)=x;当 x=0 时,当 x0 时, 所以故应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 由 于是知存在 x=x0,的某去心邻域 当 且xx 0,时,f (x)0;当 且 xx0 时,f (x)0

7、故知 f(x0)为极小值故应选DA 不正确,例如 符合 A 的一切条件,但不成立B 不正确,因未设 f(0)存在例如 f(x)=x,f(0)是极小值,但 f(0)不存在C 不正确,因未设 f(x0)=0例如 f(x)=ex,处处 f(x)=ex0,但无极小值4 【正确答案】 C【试题解析】 先作积分变量代换,令 x 一 t=u,则由二阶导数定义, 所以5 【正确答案】 C【试题解析】 g(x) 在-1 , 1上连续,故存在原函数 A 不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点,那么在包含此点的区间上,该函数必不存在原函数B 不正确按定义容易知道 g(0)不存在D 不正

8、确可以具体计算出 F(x),容易看出 F(0)=0,F -(0)=1,故 F(0)不存在6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 A 是三阶非零阵,则 A0,r(A)1AE ,A E0,r(AE)1,因 A2=A,即 A(AE)=0,得 r(A)+r(AE)3,且 1r(A)2,1r(AE)2故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和,一(A E)或者都是 1,或者一个是 1,另一个是 2(不会是 3,也不会是 0,也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1)故A,B,C 均是错误的,故应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 AB,有A=B,且存在可逆阵 P,使

9、P-1AP=B,(*)(*)式两边求逆得 P-1A-1P=B-1,(*) 从而 A-1B -1(成立)(*)式两边转置,得 pTAT(P-1)T=BT,记(P -1)T=Q,p T=Q-1,即 Q-1ATQ=BT,从而 ATB T(成立)(*)式两边乘A,P -1A A -1P=P-1A*P=B B -1=B*,从而 A*B *(成立)因 A 可逆,故 BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A,即 ABBA(成立 )故应选 D二、填空题9 【正确答案】 a=0,b=1【试题解析】 应先写出 f(x)的分段表达式当x1 时,f(x)=a 2x+bx;当 x=1时, 当 x=一 1 时,当x1

10、 时, 写成分段表达式为 可见,在 x=一 1 处连续;在 x=1 处连续 解得a=0,b=110 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导有 得有 (*)式为 型,对(*)式再用洛必达法则,得 将式(*)再对 x 求导,有当 x=1 时,已知 y(1)=0,y (1)=0,经计算得 y(1)=一 2于是11 【正确答案】 e -1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 画出积分区域(如图所示),并用极坐标,得13 【正确答案】 【试题解析】 此为缺 x 的可降阶二阶方程令 方程yy+y2=yy化为 分解成 p=0 与 方程 p0 即 不满足初始条件,解第二个方程此为 p 关于 y 的

11、一阶线性方程为 解得由初始条件所以 C1=0,得 ,即 解得再将 y x=0=1 代入,得 C2=0故解得 14 【正确答案】 2E【试题解析】 利用矩阵 A 的相似对角阵由题设条件 A 是二阶矩阵,有两个不同的特征值,故 AA,即存在可逆阵 P,使得 P-1AP=A,A=PAP -1,其中且 f(x)=x2 一 3x+4=(x 一 1)(x 一 2)+2f(A)=(AE)(A 一 2E)+2E=(PA-1一 PP-1)(PA-1 一 2PP-1)+2E 或直接计算 f(A)=A2 一 3A+4E=(PAP-1)2 一 3PAP-1+4PP-1=PA2P-13PA-1+4PP-1 一 P(A2

12、 一3A+4E)P-1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由部分分式若 A0则积分之后会出现埘数函数;若 C0也会出现对数函数,因此 A=0 且 C=0将它们代入(*)式后,通分并令两边分子相等,得 ax3+x2+x+=B(x2+x+1)一 D(x1)2=(B+I)x2+(B 一 2I)x+(B+I)所以 =0,=B+D=B 一 2D=B+D从而推得0 = 以及 可以任意当满足上述条件时。被积函数为16 【正确答案】 作直线 y=x,将 D 分成两部分 D1=(x,y)yx,x(x,y)D,D 2(x,y)yx(x,y)D仅在 y=x(x,y)D)处 D1与

13、D2 公共,不影响二重积分的值。17 【正确答案】 当 a0 时,当然无实根以下讨论当 a0 时的情形易知 x=0不是根,改写并令 有 当 x(x)0;当 0x2时f (x)0;x2 时,f (x)0 所以当 a0 时,f(x)在区间(一 0)上有唯一实零点又在区间(0,+)上 所以当时,在区间(0,-)无实零点;当 时 f(x)在(0,+)上有唯一实零点;当时 所以在区间(0,+)上 f(x)正好有 2 个实零点综上所述,当 a0 时,f(x)=0 无实根;当 时仪当 x0 时,f(x)=0有唯一实根,当 时,f(x)=0 仅有两个实根。一正一负;当 时,f(x)=0 恰有 3 个实根,一负

14、两正。18 【正确答案】 将 两边对 x 求导数,得 g(f(x)f(x)+f(x)=xey即 xf(x)+f(x)=xex或写成 【注】 (xf(x)=xex,两边积分得即 因 f(x)在 x=0 处连续,所以只有 C=1 时上式才能成立,所以【注】也可将 xf(z)+f(x)=xex 改写为用线性常微分方程的解的公式求出 f(x)19 【正确答案】 不妨认为 yx0因若 xy0,则变换所给式子左边的 x 与 y,由行列式性质知,左式不变 由柯西中值公式,存在一点 (x,y),使得上式 记 f(u)=en 一 uen,有 f(0)=1,f (u)一uen0(当 u0 时),所以当 u0 时,

15、f(u) 一 e 1,于是证得20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 1,2, 1, 2 均是 3 维向量,4 个 3 维向量必线性相关,由定义,存在不全为零的数 k1,k 2, 1, 2使得 k11+k22+11+22=0,得k11+k22+k11 22取 =k11+k22=一 1122,若 =0则k11+k22= 11 22=0.因 1, 2 线性无关, 1, 2 也线性无关,从而得出1=2=0,且 1=2=0。这和 4 个 3 维向量线性相关矛盾,故 0, 即为所求的既可由 1,2 线性表出,也可由 1, 2 线性表出的非零向量23 【正确答案】 设 =k11+k22

16、=11 22,则得齐次线性方程组k11+k22+11+22=0,将 1,2, 1, 2 成矩阵,初作初等行变换得解得k1,k 2, 1,2=k一 12,一 1,1故既可由 1,2 线性表出,又可以由 1, 2 线性表出的所有非零向量为 =k11+k22=一 k1+2k2= 其中 k是任意的非零常数(或 =11 一 22=k1k 2= 其 k 是是任意的非零常数)24 【正确答案】 (1)因 A 有 n 个互不相同的非零特征值, A=n!0,站 A 可逆,从而有E AB=A(A -1B)=AEBA -1= EBA即 AB和 BA 有棚同的特征多项式,故有相同的特征值又若取可逆阵 P=A,则有 P-1ABP=A-1ABA-1=BA故有 ABBA()一般 ABBA,例如,则有 显然 r(AB)=0,r(BA)=1,故 ABBA(1)要证明相似,应找出可逆阵 P,使得 P-1ABP=BA(2)要说明可能不相似,只要举出一个反例即可由(I)已知 A 可逆时,必有 ABBA,故举反例应举 A 是不可逆矩阵(3)相似必有相同的 ,但 相同不一定相似

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