1、考研数学（数学二）模拟试卷 326 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 考虑二元函数的下面 4 条性质 ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续； ()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处可微； ()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在； 若用 P Q 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )6 7 曲线 y(x 1)2(x3) 2 的拐点个数为（A）0 （B） 1（C） 2（D）38 （A） （B） （C） （D） 二
2、、填空题9 10 11 12 13 已知当 x0 时函数 f(x)一 sin(sinx)与 x4 是等价无穷小量，则 f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是 f(x)=_14 (2008 年试题，23) 设 A 为三阶矩阵 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3=2+3，(I) 证明 1， 2， 3 线性无关；()令P=(1， 2， 3)，求 -1PAP三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 设函数 yy(x) 由方程 ylnyxy0 确定，判断曲线 yy(x)在点(1，1)附近的凹凸性21 22 设曲线
3、 yax 2(a0，x0) 与 y1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形，问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少 ?23 考研数学（数学二）模拟试卷 326 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，
4、y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点 (x0，y 0)处连续所以() ()( )(A)为答案6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 分析 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点) 的符号进行判断即可 详解 1 因为 y4(x1)(x2)(x3)， y“4(3x 212x11)， y24(x2) 显然 y“0 有两个零点，且在此两点处三阶导数 y0，因此曲线有两个拐点故应选(C) 详解 2 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐
5、点的个数首先，y 是 4 次多项式，其曲线最多拐 3 个“弯儿”，因此拐点最多有 2 个其次，x1，x3 是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为 x0又，y 的大致图形如图 125 所示于是在(1，x 0)和(x 0，3)内各有一个拐点故应选 (C) 评注 本题从一阶导函数有三个零点即知 y“有两个零点，且显然不为 2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点 一般地，若 f“(x0)0，y(x 0)0，则点(x0，f(x 0)一定是曲线 y f(x)的拐点，事实上，由，知 f(x0)在 xx 0 的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x 0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数
6、微分学8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 4【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由题设知当 x0 时 f(x)一 sin(sinx)=x4+o(x4)下求 sin(sinx)的四阶麦克劳林公式 而 sin3x=x+o(x2)3=x3+3x2.o(x2)+3x.o(x4)+o(x6)=x3+o(x4)，o(sin 4x)=o(x4)，代入即得于是14 【正确答案】 (I)假 1， 2， 3 线性相关，则 3 可由 1,2 线性表出，可设3=k31+k22 其中后 k1，
7、k 2 不全为 0，否则由等式 A3=2+3 得到 2=0，不符合题设因为 1， 2 为矩阵 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，所以 1， 2 相互独立，且有 A1=一 1，A 2=2，则 A=A(k 11+k22)=一k11+k22=2+k11+k22又 1， 2 相互独立，等式中 1， 2 的对应系数相等，即显然此方程组无解故假设不成立，从而可知 1， 2， 3 线性无关( )因为 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵 P=(1， 2， 3)可逆由于AP=A(1， 2， 3)=(一 1， 2， 2+3)=(1， 2， 3) 等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得【知识模块
8、】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 对方程 ylnyxy0 两边求导得21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 当 x0 时，由 ，故直线 OA 的方程为 ，于是旋转体的体积为从而有令 ，并由 a0 得唯一驻点a4由题意知，此旋转体体积在 a4 时取最大值，其最大体积为【试题解析】 本题是高等数学在几何上的综合应用问题(如图 136)应先求出交点 A 的坐标，再导出旋转体的体积，它是参数 a 的函数，求此函数的最值即可【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】
