1、考研数学（数学二）模拟试卷 347 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 设 f(x)在( 一，+)上有定义，在(一 ，0)(0，+)内可导，且 x=0 为 f(x)的可去间断点，则（A）x=0 为 f(x)的可去间断点（B） x=0 为 f(x)的跳跃间断点（C） 的可去间断点（D） 的连续点7 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小又设x0 时， 与,a k 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k=( )（A）mn+n （B） 2n+m（C） m+n（D）mn+n 18 函数
2、 的反函数 f1 (x)是 （A）奇函数（B）偶函数（C）既是奇函数，又是偶函数（D）既非奇函数，也非偶函数二、填空题9 已知 1，2，3， ，设 A T，其中 T 是 的转置，则AN_10 11 12 13 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f (2)=5，则 01xf(2x)dx=_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，问： (I) 1 能否由2， 3 线性表出 ?证明你的结论 () 4 能否由 1， 2， 3 线性表出?证明你的结论16 17 18 19 设 A，B 为同
3、阶方阵，()如果 A， B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等()举一个二阶方阵的例子说明() 的逆命题不成立()当 A，B 均为实对称矩阵时，试证()的逆命题成立19 证明下列命题：20 设 f(x，y)定义在全平面上，且 则 f(x,y)恒为常数；21 设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足则 u(x，y)，v(x，y)恒为常数22 设 yf(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在 x0，1 上以 yf(x)为曲边的梯形面积(2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 ，证明(1)
4、中的 x0 是唯一的23 用函数极限的定义证明下列极限：24 考研数学（数学二）模拟试卷 347 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】因 f(x)在( 一，0)(0， +)内可导，从而 f(x)分别在(一，0)与 (0，+)上连续，又因 x=0 是 f(x)的可去间断点，从而补充定又补充定义后的函数 f(x)就存区间( 一，+)上连续于是 在(一，
5、+)内可导，特别在 x=0 处连续由于改变函数在个别点的函数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一)，所以 也存 x=0处连续即应选 D【分析二】用排除法对于 A：取 则从而可知 x=0 为 f(x)的跳跃间断点故 A 不对对于 B：取则对任何 x0 都有 f(x)=0，从而可知 x=0 为 f(x)的可去间断点故 B 不对对于 C 同样取 则不仅有 而且对任何 x0都有 不是 的可去间断点故 C 也不对由排除法可知，应选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0时，f(x)Ax m，从而 f(xn)Ax
6、nm于是由题意，上式为不等于零的常数，故k=nm+n8 【正确答案】 A二、填空题9 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵10 【正确答案】 n 2【试题解析】 11 【正确答案】 -6【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 14 【正确答案】 【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1) 1 能由 2， 3 线性表示16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 (1)由题设，19 【正确答案】 (I)若 A， B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 E-Bl = E-P-
7、1AP-1=P -1EP-P-1AP =P -1(AE-A)P=P -1E-AP=E-A ( )令 A= ，B= ，那么E-A= 2=E-B 但 A，B 不相似，否则，存在否逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0从而 A=POP-1=0，矛 盾，亦可从 r(A)=1，r(B)=0 而知 A 与 B 不相似 ()由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有 A 相似于 ，B 也相似于 即存在可逆矩阵 P，Q 使 P-1AP= =Q-1BQ于是 (PQ-1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知，A 与 B 相似20 【
8、正确答案】 方法 1。即证 f(x，y)=f(0，0)( x,y)，由于 f(x，y)一 f(0，0)=f(x，y)一 f(0，y)+f(0 ，y)一 f(0，0)因此 方法 2。偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上 即 给定 y，作为 x的一元函数 f(x，y)对 x 的导数 于是 f(x，y)=(y)(y) 是 可导函数(当 y 给定时它是 x 的常数函数)将上式两端关于 y 求偏导数与导数有因此 f(x，y) 恒为常数21 【正确答案】 由所给条件即词 由 u2+v2=C将 代入上式 此方程组的系数行列式 若 C=0u=0，v=0；若 c0,为常数同理可证：v(x，y)为常数22 【
9、正确答案】 (1)令 (x)x x1f(t)dt则 (x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 (0)(1)0由罗尔定理知，存在 x0(0，1)，使 (x0)0，即 (x 0)x 0f(x(0) x01f(t)dt0， 也即 x0f(x0) x01f(x)dx (2)令 F(x)xf(x) x1(t)dt，则 F(x) xf(x)f(z)f(x)2f(x) xf(x)0， 即 F(x)在(0，1)内严格单调增加，从而 F(x)0 的点 xx 0 必唯一，故(1)中的 x0 是唯一的【试题解析】 分析(1)要证的结论相当于存在 x0(0，1)，使 x0f(x0)x 00f(x)dx
10、，可考虑对辅助函数 (x)xf(x) x 00f(x)dt 在闭区间0，1上用连续函数的介值定理，但 (0)(1)0 是否成立?仅由 f(x)是非负连续函数无法推证，可改用微分中值定理，(x)是某函数导数的结果，这只需令 (x)xf(x) x1(t)dt， 然后积分得 (x) x1f(t)dt，再对其应用罗尔定理即可 (2)唯一性一般用单调性证明，而这只需证明 (x)定号即可 评注 本题表面上用连续函数的介值定理，而实际上要用微分叶中值定理，其关键又存于构造合适的辅助函数本题先令 (x)xf(x) x1f(t)df， 用介值定理无法证明，再改令 (x)xf(x) x1f(t)dt， 然后通过不定积分，得到所需辅助函数 (x)x x1f(t)dt，这种处理技巧值得注意【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 24 【正确答案】 x 4【试题解析】 将其余各列都加到第一列【知识模块】 综合
