1、考研数学（数学二）模拟试卷 385 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ，0，若 f()在 0 出可导数不为零，则k 为( ).（A）3（B） 4（C） 5（D）62 曲线 y 的渐近线条数为( )（A）3 条（B） 2 条（C） 1 条（D）0 条3 设函数 F()是连续且单调增加的奇函数，() 0(2u)f(u)du，则 ()是( )（A）单调增加的奇函数（B）单调减少的奇函数（C）单调增加的偶函数（D）单调减少的偶函数4 设函数 f()具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（A）若 f()只有一个零点，则 f()必至少有两个零点（B）
2、若 f()至少有一个零点，则 f()必至少有两个零点（C）若 f()没有零点，则 f()至少有一个零点（D）若 f()没有零点，则 f()至多有一个零点5 设 f(，y) 在 (0，0)处连续，且 4，则( )（A）f(，y)在(0 ，0)处不可偏导（B） f(，y)在(0，0) 处可偏导但不可微（C） f(0，0)f y(0，0)4 且 f(，y)在(0，0)处可微分（D）f (0，0)f y(0，0)0 且 f(，y)在(0，0) 处可微分6 设函数 yf() 的增量函数 ，且 f(0) ，则 f(1)为( )（A）（B） e（C） （D）e -7 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)mn
3、，则下列结论正确的是 ( )（A）A 的任意 m 阶子式都不等于零（B） A 的任 m 个列向量线性无关（C）方程组 AXb 一定有无数个解（D）矩阵 A 经过初等行变换化为( )8 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 极限 _10 设 f()二阶可导且满足 0t2f(t)dt 3f()，则 f()_11 12 yy()由 _13 若 f()2n(1) n，记 _14 设 ，且 ABATE BA T，则 B_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算极限 16 设 uf(y，y，z
4、)由 z p(t)dt 确定 z 为 ，y 的函数，又 f 连续可偏导，P 可导，且 P(yz)P(z) 10 ，求 17 设 f()在0，2上二阶可导，且 f() 02()d318 设抛物线 y 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) (1)求 SS(a)的表达式； () 当 a 取何值时，面积 S(a)最小?19 计算二重积分 ddy。其中 D 是由 ya (a0)及 y 所围成的区域20 讨论 ，在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性21 设曲线 yy()(0)是微分方程 2yyy(46)e -的一个特解，此曲
5、线经过原点且在原点处的切线平行于 轴 () 求曲线 yy()的表达式； ()求曲线yy()到 轴的最大距离； ()计算积分 0 y()d22 设非齐次线性方程组 有三个线性无关解1， 2， 3， () 证明系数矩阵的秩 r(A)2； ()求常数 a，b 及通解23 设 1 为矩阵 A 的一个特征向量 (I)求常数 a，b 及 1 所对应的特征值； () 矩阵 A 可否相似对角化? 若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角化，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 385 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为
6、 f()在 0 处可导，所以 k23，即 k5，选 C.2 【正确答案】 A【试题解析】 ，所以曲线 y 无水平渐近线； 因为，所以 0 为曲线 y 的铅直渐近线 又因为 ，所以 1 为曲线 y 的铅直渐近线； 因为，所以曲线的斜渐近线为 y2，故曲线有 3 条渐沂线，故选 A3 【正确答案】 B【试题解析】 所以 ()为奇函数； 又 f() 0f(t)dtf()， 当 0 时，() 0f(t)dtf()f()f()0(0) 当 0 时，() 0f(t)dtf()f() f()0(0) 所以（ ）为单调减少的奇函数，故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 若 f()至少有两个零点，根据罗尔定
7、理，f()至少有一个零点，故若 f()没有零点，则 f()至多一个零点，选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 由 4 得 f(0，0),1，因为 1 2y 2，所以 4，其中 为当(， y)(0 ，0)时的无穷小，于是 ff(，y)f(0，0)0 0yo()，故 f(，y)在 (0，0)处可微，且 f(0，0)f y(0，0)0，选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 由y o( )得 yf()为可导函数，且，则 yf() ，因为 f(0)，所以 C，于是 f()e arctan故 f(1) ，选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 都是 m 行，所以 r(A)一 r( )mn
8、，所以方程组AXb 一定有无数个解，选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 令 AXX，则 A2X 2X，因为 ， 正交，所以T T0，A 2 T.T0，于是 2X0，故 1 2 3 40，因为 ，为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)r( T)r()1，所以 r(A)1 因为 4r(OEA)4r(A)3所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 令 则10 【正确答案】 【试题解析】 对 0t2f(t)dt 3f() 两边求导得 2f()3 2f()，整理得 f() 2f()3 2，解得 f() 当 0时，f()0，于是 C
9、 3，故 f()3 311 【正确答案】 【试题解析】 .12 【正确答案】 2(e -2e -1)【试题解析】 当 t0 时，0,y1， 2t1，由 teyy10，得 eyte y0，解得 .于是.13 【正确答案】 【试题解析】 令 f()2n(1) n2n 2(1) n-1 0，得 ，由 f(0)f(1)0，得.14 【正确答案】 【试题解析】 由 ABATE2BA T，得 ABAT(A T)-1AT2BA T，因为 AT 可逆，所以 AB(A T)-12B 或 B(A2E) -1(AT)-1A T(A2E) -1， 解得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案
10、】 当 0 时，1 ，则.16 【正确答案】 将 uf(y，y，z)及 z p(t)dt 两边对 求偏导得.17 【正确答案】 首先 f()0，所以 f()在(0 ，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)f(2)1 为最小值，故 f()10，2)，从而 02f()d018 【正确答案】 () 设另一个切点为( 0， 02)，则抛物线 y 2 的两条切线分别为 L1：y2a a2，L 2：y2 0 02. 因为 L1L2，所以 0 ，两条切线 L1，L 2的交点为 1 ，y 1a 0，L 1，L 2 及抛物线 y 2 所围成的面积为 因为当 a(0， )时，S(a)0，当 a 时，S(a)0，所
11、以当 a 时，面积S(a)取最小值19 【正确答案】 令 其中 0， 0r一 2asin，则20 【正确答案】 因为0， 所以f(，y) 0f(0，0)，即函数 f(，y)在点(0，0)处连续. 因为0，所以 f(0，0)0，根据对称性得 fy(0，0)0，即函数f(，y) 在(0 ，0)处可偏导. 因为不存在，所以函数 f(，y)在(0，0)处不可微 .21 【正确答案】 () 微分方程的特征方程为 2210 特征值为 11， 2则微分方程 2yyy0 的通解为 yC 1e- C2 令非齐次线性微分方稗2yyy(46)e -的特解为 y0()(a b)e -，代人原方程得 a1，b0，故原方
12、程的特解为 y0() 2e-，原方程的通解为 由初始条件 y(0)y(0) 0 得 C1C 20，故 y 2e- ()曲线 y 2e-到 轴的距离为 d 2e-，令 d2e - 2e-(2)e -0.得 2. 当 (0，2)时，d0；当 2 时， d0，则 2 为 d 2e-的最大值点，最大距离为 d(2) ()0 y()d 0 2e-d222 【正确答案】 () 令 r(A)r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以 f(A)2. 1 2， 1 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k1(1 2)k 2(1 3)0，即(k 1k 2)1k 12 k230 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 k1k 20，即1 2， 1 3 线性无关，于是对应的齐次线件方程绢的基础解系至少含两个线性无关解向量，即 4r2 或 r2，故 r(A)2解得a2，b 3，于是 通解为23 【正确答案】 () 根据特征值特征向量的定义，有 A1 1，即，于是有 解得 a1，b1， 3，则 A() 由EA0，得 1 2 2， 33. 2EA ，因为 r(2EA)2，所以 A 不可对角化.
