1、考研数学（数学二）模拟试卷 393 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)满足 f(x)-t-xf(x)2=sinx，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C）曲线 y=f(x)在点(0 ，f(0) 左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的（D）曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的2 下列命题设 f(x)均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续；设 f (x0)与 f+(x0)均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续；设 f(x0 )与 f(x0+)均存
2、在，则 f(x)在x=x0 处必连续； 设 f(x)中至少有一个不存在，则 f(x)在 x=x0 必不可导正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设区域 D=(x，y) 1，其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限的部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 f(x，y)d=4 f(x，y)d 成立的一个充分条件是 ( )（A）f(x， y)=f(x，y)（B） f(x，y)=f(x，y)（C） f(x，y)=f(x，y)= f(x ，y)（D）f(x， y)=f(x，y)=f(x，y)4 设 f(x)在( ，+)上连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设
3、F(x)= tnf(t)dt则下列选项中正确的是 ( )（A）F(x)在(，0) 内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加（B） F(x)在(一，0)内严格单调增加，在 (0，+)内严格单调减少（C） F(x)在(一，0)内严格单调减少，在 (0，+)内严格单调增加（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少5 设 f(x)在区间(，+)上连续，且满足 f(x)= f(xt)sintdt+x则在(，+)上，当 x0 时，f(x) ( )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 x 同号（D）与 x 异号6 设 f(x)在( ，+)上连续，下述命题若对任意 a， f(x)
4、dx=0，则 f(x)必是奇函数；若对任意 a， f(x)dx=2 f(x)dx，则 f(x)必是偶函数；若 f(x)为周期为 T 的奇函数，则 F(x)= f(t)dt 也具有周期 T 正确的个数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 已知向量组 1， 2， s 线性相关，其中 i=(ai1，a i2，a in)T， i=1，2，S 则下列向量组可能线性无关的是 ( )（A） i=(ai2，a i1，a i3，a in)T，i=1 ，2，S （B） i=(ai1，a i1a i2，a i3，a in)T，i=1，2，S（C） i=(ai1，a i2，a i(n1) )T，i=1 ，
5、2，S （D） i=(ai1， ai2，a in，a i(n+1)T，i=1，2，s8 设 1， 2， 3， 1+a22 3 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解 ( )（A）2 1+a2+3（B） 21+322a 3（C） a1+22 3（D）3 12a 2+3二、填空题9 函数 f(x)= 的间断点的个数为_ 10 设 f(x0)=2，则 =_11 dx=_12 设常数 a 0，双纽线(x 2+y2)2=a2(x2y 2)围成的平面区域记为 D，则二重积分(x2+y2)d=_13 设 z=f(xy， ，其中 f，g 均可微，则 =_14 设 A，B 是
6、 2 阶矩阵，且 A 相似于 B，A 有特征值 =1，B 有特征值 =2，则A+2AB 4B2E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)f(x)ydx+f(x)+x 2ydy 为某二元函数 u(x，y) 的全微分 () 求 f(x)； ()求 u(x，y)的一般表达式16 设 D=(x， y)x 2+y2x+y)，计算二重积分 maxx，yd17 设 a 为常数，讨论方程 ex=ax2 的实根个数18 设微分方程 xy+2y=2(ex1)()求上述微分方程的通解，并求使 y(x)存在的那个解(将该解记为 y
7、0(x)，以及极限值 y0(x)；( )补充定义之后使 y0(x)在x=0 处连续，求 y0(x)，并请证明：无论 x=0 还是 x0，y 0(x)均连续19 设 x 与 y 均大于 0，且 xy，证明： 120 ()证明如下所述的 “ ”型洛必达(LHospital)法则：设(1) g(x)=0；(2)存在 x0 的某去心邻域 (x0)，当 x (x0)时，f(x)与 g(x)都存在，且 g(x)0；(3) =A(或)，则有 (只要求对于 x 的情形给出证明)； ()并请举例说明，若条件(3) 不成立，但 仍可以存在21 设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，
8、2)=2 ， (1，2)=3， (1， 2)=4， (x)=f(x，2x)求 3(x) x=122 设 3 维向量组 1， 2 线性无关， 1， 2 线性无关 ()证明：存在非零 3 维向量 ， 既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出； ()若 1=(1，2，3)T， 2=(2，1，1) T， 1=(2，1，4) T， 2=(5， 3，5) T求既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的所有非零向量 23 ( )设 A， B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；()对一般的 n 阶矩阵 A， B，证明 AB
9、 和 BA 有相同的特征值，并请问是否必有ABBA?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 393 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)+xf(x)2=sinx，有 f(0)=0，再求导，得 (x)+f(x)2+2xf(x)f(x)=cosx， (0)=1所以 由保号性知，存在 x=0 的去心邻域 ，当 x 且 x0 时，f(x) 0，故应选(D)2 【正确答案】 A【试题解析】 (x0)存在，即 f(x)在 x=x0 处左导数存在，推知 f(x)在 x=x0 处左连续； (x0)存在，推知 f(x)在 x=x0 处
10、右连续故 f(x)在 x=x0 处连续，正确与都不正确，因为这两种情形，f(x 0)可能没有定义也不正确，反例：f(x)=f(x)不存在，但 f(0)却存在3 【正确答案】 D【试题解析】 当(C) 成立时， f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数，积分应为零，而题中未说 f(x，y)d=0类似地，可知，也不选 (A)、(B) 当(D)成立时，f(x，y)关于x 和 y 分别都是偶函数，将 D 在各个象限中的部分分别记为 D1、D 2、D 3 与 D4，于是 f(x，y)d4 【正确答案】 C【试题解析】 设 x0，则0n xn，0f()f(x)，故 0 nf()x nf(x)，从而 F(x
11、)0；设 x0，则x0，x n n0，f(x)f()0，故 xnf(x) nf()，从而 F(x)0故应选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u ，作积分变量代换，得 f(x)= f(u)sin(xu)du+x =sinx f(u)sinudu+x，f(x)=cosx f(u)sinuducosxsinx. f(x)+1 =cosx f(u)sinudu+1，f(x)=sinx f(u)cosudu+cos2x.f(x)+cosx f(u)sinudu+sin2x .f(x) =f(x)f(x)+x=x，所以f(x)= +C1x+C2又因 f(0)=0，f(0)=1 ，所以 C1
12、=1，C 2=0从而 f(x)= +1)故应选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 是正确的记 F(a)= f(x)dx，有 F(a)=f(a)+f(a) 由于 F(a)0，所以 F(a)=0，即 f(a)=f( a)，f(x)为奇函数 是正确的记 F(a)=f(x)dx，F(a)=f(a)+f( a) 2f(a)0 ，所以 f(a)=f(a) ，f(x)为偶函数 所以 F(x)具有周期 T故应选(D)7 【正确答案】 D【试题解析】 n 维向量 i 后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i，讨论线性相关性时，相当于以 i 为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组 1x1
13、+2x2+ sxs=0 变得只有零解，即 1， 2， s 可能线性无关故应选(D) (A)、(B) 相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性 (C)中向量减少分量，仍保持线性相关8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 Ai=b，i=1，2，3 及 A(1+a22 3)=b+ab2b=b ， 得(1+a2)b=b，b0，即 1+a2=1，故 a=2 当 a=2 时，将选项逐个左乘 A，看是否满足 Ai=0，i=1，2，3，4 A 1=A(21+22+3)=5b0， A 2=A(2 1+324 3)=3b0， A 3=A(21+22 3)=3b0， A 4=A(314 2
14、+3)=0 故 4 是对应齐次方程组 Ax=0 的解，故应选(D)二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 应先写出 f(x)的表达式， 故知 f(x)有且仅有两个间断点 x= 10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 ln2【试题解析】 =0ln(e x+1)= ln212 【正确答案】 a4【试题解析】 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以13 【正确答案】 2xy【试题解析】 14 【正确答案】 -36【试题解析】 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值 1，2A+2AB4B2E= A(E+2B)2(2B+E)=(A2E)(2B+E)=A2E2B+E A
15、，B 有特征值 1，2，A2E 有特征值1，4，2B+E 有特征值 3，3，故A+2AB4B2E= A2E2B+E =(1)( 4)3(3)= 36三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由题知，存在二元函数 u(x，y)，使 du=xy(1+y)f(x)ydx+f(x)+x2ydy， 即 =xy(1+y)f(x)y， =f(x)+x2y 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y)f(x)=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x连同已知 f(0)=0，可求得 f(x)=x1+e x () 由()有，du=
16、(xy2+yye x )dx+(x1+e x +x2y)dy求 u(x，y)有多个方法凑微分法du=(xy 2+yye x )dx+(x1+e x +x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(ye x dx+ex dy)dy =d (xy)2+xy+yex y，所以 u(x，y)= (xy)2+xy+yex y+C，其中 C 为任意常数16 【正确答案】 作直线 y=x，将 D 分成两部分 D1=(x，y)yx，(x，y) D，D2=(x，y) yx ，(x ，y)D仅在 y=x(x，y)D)处为 D1 与 D2 的公共区域，不影响二重积分的值 maxx，yd= xd =
17、r2cosdr = (cos+sin)3cosd = (sin+cos)3cos+(cos+sin)3cosd = (3sin2cos+cos3)cosd = (1+2sin2)cos2d =17 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根，以下讨论当 a0 时的情形，易知 x=0不是根，改写并令 f(x)= a (x0)有 f(x)= (x2)当 x0 时，f(x)0；当0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x) 0 f(x)=+所以当 a0 时， f(x)在区间( ，0) 上有唯一零点又在区间(0，+)上 f(x)的最小值f(2)= a 时，f(x)在区间(0 ，+)上无零点；当 =a 时
18、，f(x)在(0，+)上有唯一零点；当 f(x)=+，所以在区间(0，+) 上 f(x)正好有 2 个零点综上所述，当 a0 时，f(x)=0 无实根；当a0 时，原方程有 1 个实根；当 =a 时，原方程有 2 个实根；当 a 时，原方程有 3 个实根18 【正确答案】 () 当 x0 时，原方程化为 y+ 由一阶线性方程的通解公式，得通解 其中 C 为任意常数由上述表达式可知， y(x)存在的必要条件是 (2xex2e xx 2+C)=0，即C=2当 C=2 时，对应的 y(x)记为 y0(x)= ，()令而当 x0 时，所以 y0(x)=y0(0)，y 0在 x=0 处连续，又 y0(x
19、)在 x0 处也连续(初等函数 )，故无论 x=0 还是 x0，均连续 19 【正确答案】 不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与y，由行列式性质知，左式的值不变 由柯西中值定理，存在一点 (x，y)，使得上式= =ee 记 f(u)=euue u，有 f(0)=1，当 u0 时 f(u)=ue u0，所以 f(u)1，从而知 ee 1于是证得20 【正确答案】 () 令 在区间x0，x上 F(x)与 G(x)满足柯西中值定理条件，于是有(x0)，x 0x由于 =A(或)，所以 =A(或)，故 ()举例：f(x)=x2sin ，g(x)=x(x0) g(x)=0f(x)=2
20、xsin ， g(x)=10(x0)， =0，而 却不存在，洛必达法则不成立，原因在于条件(3)不满足21 【正确答案】 3(x)=32(x)(x)，(1)=f1 ， f(1，2)=f(1 ，2)=2，(x)=f(x，2x) =(x，2x)，(1)=(1，2) = (1，2) =3+4(3+8)=47， =32(1)(1)=32247=56422 【正确答案】 () 因 1， 2， 1， 2 均是 3 维向量，4 个 3 维向量必线性相关，由定义知，存在不全为零的数 k1，k 2， 1， 2，使得 k11+k22+11+22=0，得 k11+k22= 11 22取 =k 11+k22= 11
21、22，若 =0，则 k11+k22= 11 22=0因 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关，从而得出k1=k2=0，且 1=2=0，这和 4 个 3 维向量必线性相关矛盾，故 0 即为所求的既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出的非零向量()设=k11+k22= 11 22，则得齐次线性方程组 k 11+k22+11+22=0，将1， 2， 1， 2 合并成矩阵，并作初等行变换得( 1， 2， 1， 2)=解得 (k1，k 2， 1， 2)=k(1，2，1，1)故既可由 1， 2 线性表出，又可以由 1， 2线性表出的所有非零向量为 =k11+k22=k 1+2k2=k
22、 ，其中 k 是任意的非零常数(或 = 11 22=k1k 2=k ，其中 k 是任意的非零常数)23 【正确答案】 () 因为 A 有 n 个互不相同的非零特征值=1，2，n，A=n!0，故 A 为可逆矩阵，从而有EAB=A(A 1 B)=AEBAA 1 = EBA ，即 AB和 BA 有相同的特征多项式，故有相同的特征值又若取可逆矩阵 P=A，则有P1 ABP=A 1ABA=BA，故有 ABBA()若 AB 有特征值 =0，则AB=A B =BA= BA=0故 BA 也有特征值 =0若 AB有特征值 0，按定义，有 AB=(0)其中 是 AB 的特征值 对应的特征向量左乘 B，得 BAB=B，即 BA(B)=(B)，其中 B0BA 也有非零特征值，对应的特征向量为 B(若 B=0，则有 AB=0因 0，得 =0，这和 0矛盾)故 AB 和 BA 有相同的特征值一般 AB BA例如，A=则有 显然 r(AB)=0，r(BA)=1，故 AB BA
