1、考研数学（数学二）模拟试卷 400 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，+)上可导，且对任意 x1 和 x2，当 x1x 2 时都有 f(x1)f(x 2)，则( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加2 曲线 的拐点的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)=min1，x 2)，则 0xf(t)dt 等于( )（A）（B）（C）（D）4 若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则xf(1 一 x2)dx=(
2、)（A）arctan(1-x 2)+C（B）（C） xarctan(1-x2)+C（D）5 =( )（A）（B）（C）（D）6 设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 =( )（A）（B）（C）（D）7 若两向量组的秩相等，那么必有( )（A）两组向量可以互相线性表示（B）两组都是线性相关组 （C）两组都是线性无关组 （D）如从某组中任取单个向量放入到另一组中，所得新向量组都线性相关，则这两组向量能互相线性表示8 设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同，但不相似的是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 =_(a，b 为常数)10 设 f(t=e2，且 0xf(
3、t)dt=xf(ux)则 =_11 曲线 y=lnx 在点_ 处曲率半径最小12 如右图所示，函数 f(x)是以 2 为周期的连续周期函数，它在0，2上的图形为分段直线g(x) 是线性函数，则 02f(g(x)dx=_.13 设 f(x，y)连续，且 其中 D 是由 y=x，y=0,x=1 所围成的区域，则 fxy(x，y)=_14 设 A，B 是 n 阶方阵，且 AB=BA，其中 试求矩阵B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 a0， b0，证明存在 (a，b) ，使 aebbe a=(1 一 )e(a 一 b)17 设(1)f(x)在 a，b(a0)上有连
4、续的非负导数，且 f(A)=1；(2)对任意 xa，b，在曲线 y=f(x)上从 a 到 x 这一段的弧长为 求由 x=a，x=b，y=0 及 y=f(x)所围图形绕 x 轴旋转的旋转体体积18 设函数 f(x)在(0，+)内连续， ，且对所有 x，t (0，+)，满足条件1stf(u)du=t1xf(u)du+x1tf(u)du，求 f(x).19 解微分方程 y2dx 一(y 2+2xyx)dy=020 作出函数 的图形20 设函数 f(x)在(一 a，a)(A 0) 内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)021 求证：对任意给定的 x(0xa) ，存在 0 1，使 0xf(t)dt+0
5、-xf(t)dt=xf(x)一f(x)；22 求极限23 已知 A，B 为三阶矩阵，且 试求 AX=0 的通解24 设 A 为实对称矩阵，则当 0 且充分小时，E+A 为正定的，又当 r0 且充分大时，A+rE 是正定的，这里的 E 是单位矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 400 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y=一 f(-x)的图形与 y=f(x)的图形关于原点对称，当 x1x 2 时，有 f(x2)f(x 2)，则函数一 f(一 x)必单调增加f(x)单调增加，但其导数不一定满足f(x)0，也可能有 f(x)=
6、0例如 y=x3 单调增加，但 y(0)=3x2 x=0=0至于函数f(-x)与 f(x)是两个不同函数，它是否单调增加及其导数是否小于 0 不得而知，故A、B、C 不成立，仅 D 入选2 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y： 因在(一，+)上连续，且在 的两侧 y变号，故均为 的拐点另外在 x=0 处 y不存在，但在 x=0 的两侧少变号，因此(0，0) 也是曲线 的拐点此外再无其他拐点仅 D入选3 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)=min1 ，x 2)=x2，则仅 B 入选4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)=(arctanx)，于是仅 B 入选
7、5 【正确答案】 C【试题解析】 故仅 C 入选6 【正确答案】 B【试题解析】 在所给方程两边对 x 求导，求解时应注意 y 是 x 的函数，得到exy(y+xy)+2yy=一 sinx， y(xexy+2y)+yexy=一 sinx，故 仅 B 入选7 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D考虑向量组(I) 1,2 s；向量组() 12 s，若从 1,2 s 中任取一个放入向量组 ()中后线性相关，则向量组 (I)可以由向量组()线性表示又秩 (I)=秩() ，由上述结论知，向量组(I)和向量组()等价从而向量组() 也可由向量组 (I)线性表示仅 D 入选8 【正确答案】 D【试题解
8、析】 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，一 3，0，故秩(A)=2二次型 XTAX 的正、负惯性指数均为 1A 中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；C 中矩阵的特征值为 3，一 3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也相似，不符合题意而 B 中矩阵的特征值为 1，4，0，正惯性指数为 p=2，负惯性指数 q=0，与 A 既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)对于 D，记其矩阵为 D，由 可知 D 的特征值为 1，一 1，0X TAX 与 XTDX 的正、负惯性指数一样，所以它们合同，但不相似(因特征值不同) ，符合题意仅 D 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【
9、正确答案】 令 Rx=0 得显然，当 时，R x 0；当 时，R x0由一阶导数判别法可知， 为 R(x)的极小值点又因驻点唯一，该极小值也是 R(x)的最小值，故曲线 y=lnx 在点 处的曲率半径最小12 【正确答案】 由上图易知，线性函数 g(x)的斜率由于 f(x)是以2 为周期的周期函数，由其性质与 得到 17f(t)dt=12.2+3f(t)dt=02+3f(t)dt=302f(t)dt根据定积分的几何意义知13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 B=b ijnn，AB=c ijnn，BA=d ijnn，显然 c ij=ibij，d ij=jbij又因 AB=BA，故 ibij
10、=jbij(i，j=1，2，n) ，其中，当 ij 时，有(i 一 j)bij=0，故bij=0(ij)因此三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 设 f(x)=exx，g(x)=1x显然 f(x)，g(x)在a ，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a，b)，使即 ae bbe a=(1 一 )e(a 一 b)17 【正确答案】 先求出 f(x)的表示式由曲线弧长公式，有将上式两边对 x 求导，得到因而 f(x)=1(舍去 f(x)=-1，因题设 f(x)0)，解得f(x)=x+c将 f(A)=1 代入上式得 c=1 一 a，因而 f(x)
11、x+1a故所求旋转体体积为18 【正确答案】 因 1xtf(u)du=t1xf(u)du+x1tf(u)du，在上式两端关于 x 求导得 tf(xt)=tf(x)+1tf(u)du令 x=1，得 tf(t)=tf(1)+ 1tf(u)du，又 将其代入上式，有在等式两端再对 t 求导，得 又t(0，+)，即得 将 代入上式，得 ，则于是19 【正确答案】 原方程可变形为 解此一阶线性方程：20 【正确答案】 间断点为 x=一 1，而 令 y=0，得 x=1，x= 一 5；令 y=0，得 x=1铅直渐近线：x=一1(如右图所示) 21 【正确答案】 令 F(x)=0xf(x)dt+0-xf(t)
12、dt，则 F(x)在0 ，x上可微，且 F(0)=0，对F(x)在0 ，x上使用拉格朗日中值定理，得到 x(0 1)，使 F(x)一 F(0)=F(x).x，即 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(-x) 22 【正确答案】 利用式，令 x0 +，两边分别取极限，左边得到右边得到23 【正确答案】 因秩(B)=2，秩(AB)=1，则 A 为不可逆矩阵这是因为：如果 A为可逆矩阵，则秩(AB)=秩(B)=2，这与秩(AB)=1 矛盾故再由三阶行列式的对角线求法即得A =一 k+2+0 一 k 一00=一 2k+2=0，故 k=1对 A 施行初等行变换，将 A 化为含最高阶的单位矩阵的矩阵： 则 AX=0 的基础解系只含一个解向量 =一 1，2，1 T，其通解为 c，其中 c 为任意常数24 【正确答案】 (1)显然 E+A 为实对称矩阵设 A 的特征值为 1， 2， n，则 E+A 的特征根为 1+1，1+ 2，1+ n因 A 为实对称矩阵，故1， 2， n 为实数当 充分小时，可使 1+1，1+ 2，1+ n全部都大于 0，故 E+E 为正定矩阵 (2)设 A 的特征值为 1， 2， n，则 A+rE 的特征值为 1+r， 2+r， n+r，因 r0，且 r 充分大时，也可使 1+r， 2+r， n+r全部大于 0，因而 A+rE 也为正定矩阵
